离散数学 集合证明

1、2022-6-25集合论与图论第4讲1第4讲 集合恒等式内容提要 1. 集合恒等式与对偶原理 2. 集合恒等式的证明 3. 集合列的极限 4. 集合论悖论与集合论公理2022-6-25集合论与图论第4讲2集合恒等式(关于与)等幂律(idempotent laws)AA=AAA=A交换律(commutative laws)AB=BAAB=BA2022-6-25集合论与图论第4讲3集合恒等式(关于与、续)结合律(associative laws)(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(distributive laws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)202

2、2-6-25集合论与图论第4讲4集合恒等式(关于与 、续)吸收律(absorption laws)A(AB)=AA(AB)=A2022-6-25集合论与图论第4讲5集合恒等式(关于)双重否定律(double complement law)A=A德摩根律(DeMorgans laws)(AB)=AB(AB)=AB2022-6-25集合论与图论第4讲6集合恒等式(关于与E)零律(dominance laws)AE=EA=同一律(identity laws)A=AAE=A2022-6-25集合论与图论第4讲7集合恒等式(关于,E)排中律(excluded middle)AA = E矛盾律(contr

3、adiction)AA = 全补律 = EE = 2022-6-25集合论与图论第4讲8集合恒等式(关于-)补交转换律(difference as intersection)A-B=AB2022-6-25集合论与图论第4讲9集合恒等式(推广到集族)分配律德摩根律)()(ABABSS)()(ABABSS)()(ABABSS)()(ABABSS)()(AASS )()(AASS 2022-6-25集合论与图论第4讲10对偶(dual)原理对偶式(dual): 一个集合关系式, 如果只含有, , E,=, , 那么, 同时把与互换, 把与E互换, 把与互换, 得到的式子称为原式的对偶式. 对偶原理:

4、 对偶式同真假. 或者说, 集合恒等式的对偶式还是恒等式.2022-6-25集合论与图论第4讲11对偶原理(举例)分配律A (B C) = (A B ) (A C )A (B C) = (A B ) (A C )排中律A A=E矛盾律A A= 2022-6-25集合论与图论第4讲12对偶原理(举例、续)零律A E =EA = 同一律A =AA E=A2022-6-25集合论与图论第4讲13对偶原理(举例、续) A B AA B A AE A2022-6-25集合论与图论第4讲14集合恒等式证明(方法)逻辑演算法: 利用逻辑等值式和推理规则集合演算法: 利用集合恒等式和已知结论2022-6-25

5、集合论与图论第4讲15逻辑演算法(格式)题目: A=B. 证明: x, xA (?) xB A=B. #题目: AB. 证明: x, xA (?) xB AB. #2022-6-25集合论与图论第4讲16分配律(证明)A(BC)=(AB)(AC)证明: x, xA(BC) xA x(BC) (定义) xA (xB xC) (定义) (xAxB)(xAxC) (命题逻辑分配律) (xAB)(xAC) (定义) x(AB)(AC) (定义) A(BC)=(AB)(AC)2022-6-25集合论与图论第4讲17零律(证明)A = 证明: x, xA xA x (定义) xA 0 (定义) 0 (命题

6、逻辑零律) A = 2022-6-25集合论与图论第4讲18排中律(证明)AA = E证明: x, xAA xA xA (定义) xA xA (定义) xA xA (定义) 1 (命题逻辑排中律) AA = E2022-6-25集合论与图论第4讲19集合演算法(格式)题目: A=B. 证明: A =(?) =B A=B. #题目: AB. 证明: A (?) B AB. #2022-6-25集合论与图论第4讲20吸收律(证明)A(AB)=A证明: A(AB) = (AE)(AB) (同一律) = A(EB) (分配律) = AE (零律) = A (同一律) A(AB)=AAB2022-6-2

7、5集合论与图论第4讲21吸收律(证明、续)A(AB) = A证明: A(AB) = (AA)(AB) (分配律) = A(AB) (等幂律) = A (吸收律第一式) A(AB) = AAB2022-6-25集合论与图论第4讲22集合演算法(格式,续)题目: A=B. 证明: () AB () A B A = B. #说明: 分=成与题目: AB. 证明: AB (或AB) =(?) = A (或B) AB. #说明: 化成=AB=AABAB=BAB 2022-6-25集合论与图论第4讲23集合恒等式证明(举例)基本集合恒等式对称差()的性质集族(AS)的性质幂集(P( )的性质2022-6-

8、25集合论与图论第4讲24补交转换律A-B = AB证明: x, xA-B xA xB xA xB x ABA-B = AB. #2022-6-25集合论与图论第4讲25德摩根律的相对形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)证明: A-(BC) = A(BC) (补交转换律) = A(BC) (德摩根律) = (AA)(BC) (等幂律) = (AB)(AC) (交换律,结合律)= (A-B)(B-A) (补交转换律). #2022-6-25集合论与图论第4讲26对称差的性质交换律: AB=BA结合律: A(BC)=(AB)C分配律: A(BC)=(AB)(AC

9、)A=A, AE=AAA=, AA=E2022-6-25集合论与图论第4讲27对称差的性质(证明2)结合律: A(BC)=(AB)C证明思路： 分解成 “基本单位”, 例如: 1. ABC 2. A BC 3. A B C 4. ABCABCABC12342022-6-25集合论与图论第4讲28对称差的性质(证明2、续1)结合律: A(BC)=(AB)C证明: 首先, AB = (A-B)(B-A) (定义) = (AB)(BA) (补交转换律) = (AB)(AB) (交换律) (*)A BAB2022-6-25集合论与图论第4讲29对称差的性质(证明2、续2) 其次, A(BC) = (A

10、(BC)(A(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律)2022-6-25集合论与图论第4讲30对称差的性质(证明2、续3) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律)2022-6-25集合论与图论第4讲31对称差的性质(证明2、续4) 同理, (AB)C = (AB)C)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB

11、)(AB)C) (德摩根律)2022-6-25集合论与图论第4讲32对称差的性质(证明2、续5) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律) A(BC)=(AB)C. #2022-6-25集合论与图论第4讲33对称差的性质(讨论)有些作者用表示对称差: AB=AB 消去律: AB=AC B=C (习题一,23) A=BC B=AC C=AB对称差与补: (AB) = AB = AB AB = AB问题: ABC=ABC ?2022-6-25集合论与图论第4讲34对称差的

12、性质(讨论、续)如何把对称差推广到n个集合: A1A2A3An = ? x, xA1A2A3An x恰好属于A1,A2,A3,An中的奇数个特征函数表达: A1A2An(x) = A1(x)+A2(x)+An(x) (mod 2) = A1(x)A2(x)An(x) (mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余数)2022-6-25集合论与图论第4讲35特征函数与集合运算: AB(x) = A(x)B(x)A(x) = 1-A(x)A-B(x) = AB(x)=A(x)(1-B(x)AB(x) = (A-B)B(x) = A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x) = A(x)+B(x

13、) (mod 2) = A(x)B(x)AB2022-6-25集合论与图论第4讲36对称差的性质(讨论、续)问题: ABC = ABC ? 答案: ABC = (ABC) = (ABC) = ABC ABCD = ABCD = ABCD = (ABCD) =A = (A)2022-6-25集合论与图论第4讲37对称差的性质(证明3)分配律: A(BC)=(AB)(AC)证明 A(BC) = A(BC)(BC) = (ABC) (ABC)ABCA(BC)2022-6-25集合论与图论第4讲38对称差分配律(证明3、续)(续) (AB)(AC) = (AB)(AC)(AB)(AC) =(AB)(A

14、C)(AB)(AC) =(ABC)(ABC) A(BC)=(AB)(AC). #2022-6-25集合论与图论第4讲39对称差分配律(讨论)A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) ?A(BC)=(AB)(AC) ?A(BC)=(AB)(AC) ?2022-6-25集合论与图论第4讲40集族的性质设A,B为集族集族, 则1. AB A B2. AB A B 3. A AB B A4. AB B A5. A A A2022-6-25集合论与图论第4讲41集族的性质(证明1)AB A B证明: x, xA A(AA xA) (A定义) A(AB xA) (AB) xB (B定义)

15、 A B. #2022-6-25集合论与图论第4讲42集族的性质(证明2)AB A B 证明: x, xA AB xA (AB, 合取) A(AB xA) (EG) xB A B. #2022-6-25集合论与图论第4讲43集族的性质(证明3)A AB B A说明: 若约定 =E, 则A的条件可去掉.证明: x, x B y( yB xy ) y( yA xy ) (AB) x A B A . #2022-6-25集合论与图论第4讲44集族的性质(证明4)AB B A证明: x, x B y( yB xy ) AB x A (UI) xA (AB) B A . #2022-6-25集合论与图论

16、第4讲45集族的性质(证明5)A A A说明: A的条件不可去掉!证明: A y(yA), 设 AA. x, x A y( yA xy ) AA xA xA (AA) AA xA y( yA xy) x A A A . #2022-6-25集合论与图论第4讲46幂集的性质AB P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) = P(AB)P(A-B) (P(A)-P(B)2022-6-25集合论与图论第4讲47幂集的性质(证明1)AB P(A)P(B)证明: () x, xP(A) xA xB (AB) xP(B) P(A)P(B)2022-6-25集合论与图论第4讲48幂集的性

17、质(证明1、续)AB P(A)P(B)证明(续): () x, xA xP(A) xP(B) (P(A)P(B) xB AB. #2022-6-25集合论与图论第4讲49幂集的性质(证明2)P(A)P(B) P(AB)证明: x, xP(A)P(B) xP(A)xP(B) xAxB xAB xP(AB) P(A)P(B) P(AB)2022-6-25集合论与图论第4讲50幂集的性质(证明2、续)P(A)P(B) P(AB)讨论: 给出反例, 说明等号不成立: A=1, B=2, AB=1,2, P(A)=,1, P(B)=,2, P(AB)= ,1,2,1,2 P(A)P(B) ,1,2 此时

18、, P(A)P(B) P(AB). #2022-6-25集合论与图论第4讲51幂集的性质(证明3)P(A)P(B) = P(AB)证明: x, xP(A)P(B) xP(A) xP(B) xA xB x AB xP(AB) P(A)P(B) = P(AB). #2022-6-25集合论与图论第4讲52幂集的性质(证明4)P(A-B) (P(A)-P(B)证明: x, 分两种情况, (1) x=, 这时 xP(A-B) 并且 x(P(A)-P(B) (2) x, 这时 xP(A-B) x A-B xAxB xP(A)xP(B) xP(A)-P(B) P(A-B) (P(A)-P(B). #AB2022-6-25集合论与图论第4讲53集合运算的优先级分三级: 第一级最高, 依次降低第一级: 补, 幂P()第二级: 广义并, 广义交 第三级: 并, 交, 相对补-, 对称差同一级: 用括号表示先后顺序2022-6-25集合论与图论第4讲54集合列的极限2022-6-25集合论与图论第4讲55集合列的极限Infinite often( i.o.):Almost everywhere(a.e