第四讲趋势外推法

1、 趋趋 势势 外外 推推 法法 一、趋势外推法概念： 如果通过对时间序列的分析和计算, 能找到一条比较合适的函数曲线来近似反映社会经济变量y关于时间t的变化和趋势,那么当有理由相信这种规律和趋势能够延伸到未来时,便可用此模型对该社会经济现象的未来进行预测,这就是趋势外推法。 趋势外推法的两个假定：（1）社会经济现象的发展过程是渐进的,没有跳跃式突变；（2）社会经济现象未来与过去的发展变化规律基本一致。 二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：01tybb t2012tybb tb t230123tybbt

2、 btbt2012ktkybb tb tb t 指数曲线预测模型： 一般形式 ： 修正的指数曲线预测模型 ：bttyaettyabc对数曲线预测模型：生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：龚珀兹曲线预测模型 ： lntyabt1tbtLyaetbtyka 三、趋势模型的选择方法 经验法: 数学和经济分析结合,选定模型 图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。 有时所绘图形与几种数学模型的曲线相近,可试算,计算回溯拟合值,选择均方差最小的模型。

3、差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分(时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分的特点,选择适宜的数学模型。 差分法识别标准：差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型环比相等或大致相等指数曲线模型一阶差分比率相等或大致相等修正指数曲线模型 多项式趋势预测模型及应用 特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法 套用参数估计公式,注意到,yt一

4、般都是等间隔的时期或时点指标值,它与时间t并无严格的因果关系。时间t的取值只起到一种标明事物发展先后次序的作用,只要保持t的等间隔性及其先后次序,我们可以给t赋以任何数值。通常让t的T个取值以原点为对称,从而有 化简公式为 btayt0tttyTattyb12例1:某市最近几年工业总产值资料如下表所列,试预测1999年该市的工业总产值。年份年份199019911992199319941995199619971998t值值-4-3-2-101234工业总工业总产值产值yt5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一阶差一阶差分分_0.60.50.70.60.80.60.8 0.8解

5、:若画出散点图,看出,时间序列呈明显的线性趋势。计算一阶差分,基本上接近一个常数,其波动范围在0.50.8之间。因此,可配一元线性时间回归模型进行预测。 利用如上公式,易得 回归模型为 1999年对应的t=5 预测该年的工业总产值 54. 7,67. 0abtyt67. 054. 789.10567. 054. 71999y 指指 数数 曲曲 线线 趋趋 势势 外外 推推 法法 一、常见的指数曲线模型 指数曲线预测模型： 修正指数曲线预测模型: bttAeyttABKy 二、模型的选择 广义差分法 对于指数曲线,一阶差比率(也称环比)为常数 对修正的指数曲线,一阶差分比率 当时间序列算得的一阶

6、差分比率大致相等时,就可以配修正指数曲线模型进行预测。Byyyyyytttttt2111指数曲线模型的参数估计及应用对指数曲线模型 取对数,作变换,转化为直线模型。为计算方便,仍然约定于是 bttAey btaYAayYbtAyttttln,lnlnln0tttttyTYTatytttYbln11ln22aeAtbteAy例2:某自行车厂最近几年产量数据如下表所列,试预测该厂1999年的产量。指数曲线预测模型:预测1999年的产量年份19931994199519961997 1998t值-5-3-1135产量yt (万辆)8.710.613.316.520.626.0环比_1.21.31.21

7、.21.3ttey1098. 08768.141 .328768.1471098. 01999ey 曲线的拟合优度分析曲线的拟合优度分析 实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为优度好坏的指标：2()yySEn例例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额 。年份时序（t）总额 （ yt ）年份时序（t）总额 （ yt ）年份时序（t）总额（ yt ）19521276.8196312604.5

8、1974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31

9、983322849.4196211604.01973221106.7（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为： 适用的指数曲线模型为： 2012tybbtb tbttyae（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，得到估计模型为： 其中调整的 ， ， 则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。 (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 两边取对数： 产生序列 ，之后进行普通最小

10、二乘估计该模型,最终得到估计模型为： bttyae2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29)FFlnlntya btlnty0.0627303.69ttye 其中调整的 ， ，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程： 进行预测将会取得较好的效果。 20.9547R 0.05632.6(1 ,30)FF2577.24 44.333.29tytt修正指数曲线模型的参数估计及应用对于修正指数曲线模型 一般0B1, y=K为其渐进线水平。用三段总

11、和法来估计参数,设时间序列的数据为于是得A、B、K的估计式为ttABKy13, 2 , 1 , 0nt,ty1323122101,nnttnnttnttySySyS1111111121121211223nnnnBSSSnBBASnKBSSBASSSSB修正指数曲线预测模型 1）模型的形式 ttyKab2）模型的识别例例4 4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预测2003年我国卫生机构总人数。解: 绘制散点图，如图4.13所示。得: 所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为: 将 代入模型,得到2003年我国卫生机构总人数的预测值:615.641 205.667 (0.9172)tty1

12、9t 1919615.641 205.667 (0.9172)575.832y例例5:某商品1991年投放市场以来,社会总需求量统计资料如下表所列,试预测2000年的社会总需求量。解:描散点图,初步确定模型;计算一阶差分比率,进一步验证选用修正指数曲线模型是否合适; 估计模型参数。所求修正指数曲线预测模型:预测2000年的社会总需求量:年份年份199119921993199419951996199719981999总需求量总需求量50.060.068.069.671.171.772.372.873.2一阶差分一阶差分_1081.61.50.60.60.50.4一阶差分一阶差分比率比率_0.80

13、.20.940.41.00.830.8tty5556. 02719.221738.731 .735556. 02719.221738.739ty 此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就适宜用修正指数曲线来描述和预测。 生生 长长 曲曲 线线 趋趋 势势 外外 推推 法法一般产品(或技术)的发展,基本上都要经历一个萌芽、发展、成熟、衰落的过程。这里介绍两种能够较好地描述产品或技术生命周期规律的典型S型生长曲线模型:皮尔曲线和龚珀兹曲线模型。一、皮尔曲线模型及其

14、应用皮尔(Pearl)是美国生物学家和人口统计学家,提出了著名的S型生长曲线模型:其中,参数L、a、b为正数。1tbtLyae皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测; ;尤其适合处尤其适合处于成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测于成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测。 模型的识别:倒数的一阶差分比率为模型的参数估计及应用模型的参数估计及应用:令则有于是于是,可套用修正指数曲线的估计参数公式可套用修正指数曲线的估计参数公式。注意,L是生长曲线的上限,有时通过定性分析或专家咨询所定的L值往往比由公式计算得到的L值更接近实际,预测效果更好。 bttt

15、teyyyy2111111btteLaLy11btteBLaALKyY,1,1ttABKY例6:吉林省19661983年年度人口数如下表所列,试预测该省1984年以后年度人口数。年份年份t值值人口人口年份年份t值值人口人口年份年份t值值人口人口196601679.3197261962.71978122149.3196711722.1197372007.91979132184.6196821766.3197482034.51980142210.7196931808.2197592063.91981152230.9197041860.41976102092.61982162257.61971519

16、15.21977112117.91983172269.5解解:人口的数量变动一般符合皮尔曲线所反映的规律。通过计算时间序列数据倒数的一阶差分比率倒数的一阶差分比率,确定选用该模型。所求皮尔曲线趋势预测模型为:通过计算回溯拟合值回溯拟合值与观察拟合误差拟合误差,发现所建模型对1987年以前历史数据的拟合效果相当好。但是1988年以后,预测误差越来越大。通过调整吉林省2010年人口的上限值L,重新计算模型中相应的参数a,修正皮尔曲线模型。对照模型调整后模型调整后的人口预测值与实际值,计算预测误差,发现1992年开始,修正模型的预测效果大大优于原先的模型。故吉林省人口趋势宜用两个皮尔曲线模型刻画,分

17、时间段使用。tttey9016519.0475242.017625.2454475242.017625.24541035268.0二、龚珀兹曲线预测模型及应用龚珀兹曲线的数学表达式是:其中参数:0a1,0b0与皮尔曲线类似,龚珀兹曲线也适于对产品或技术作生命周期分析,尤其适于对各种新技术或产品市场容量的发展趋势作分析与预测。模型的识别:所以,当算得的时间序列各项对数的一阶差分比率各项对数的一阶差分比率几近相等时,就可配以龚珀兹曲线模型进行预测。模型的参数与应用:经变换,可化为修正指数曲线。tbtLaybyyyyyytttttt2111lnlnlnlnlnln龚珀兹(Compertz)是英国统计学家和数学家。龚珀兹曲线预测模型 1）模型的形式 tbtyK a2）模型的识别将其变换为对数形式abbbSnKbbbSSaSSSSbnnnlg111lg11lg121211223nnttnnttnttySySyS312321211lg,lg,lgttbaKy)(lglglg例例7 7 某品牌手机在一个中等城市的销售量统计数据如表4.15所示，