奥本海姆 信号与系统 中山大学

1、第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解 4.6 RLC系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一个信号f(t)假设满足绝对可积条件，那么其傅里叶变换一定存在。例如，e-t(t)(0)就是这种信号。假设f(t)不满足绝对可积条件， 那么其傅里叶变换不一定存在。例如，信号(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在， 而信号et(t)(0)的傅里叶变换不存在。假设给信号et(

2、t)乘以信号e-t()，得到信号e-(-)t(t)。信号e-(-)t(t)满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。 设有信号f(t)e-t(为实数)，并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积，那么该信号的傅里叶变换存在。 假设用F(+j)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 那么有 根据傅里叶逆变换的定义，那么 上式两边乘以et，得 4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域 任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-t的傅里叶变换，因此，假设f(t)e-t绝对可积，即 例 4.1 - 1 求时限信号f1(t)=(t)-(t-)的双边拉氏

3、变换及其收敛域。式中，0。 例 4.1 - 2 求因果信号f2(t)=e-t(t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。 解 设f2(t)的双边拉氏变换为F2(s), 那么 例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-t(-t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。 图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域(a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域 双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。 实际中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0)，假设起始时刻t0=0, 那么f(t)为因果信号。因果信号的双边拉

4、普拉斯变换的积分下限为“0，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。 4.1.3 单边拉普拉斯变换 信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为 与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，假设f(t)满足 那么f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。因为f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域，

5、可表示为 4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质 1. 线性 2. 时移性 3. 复频移 例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t), f2(t)=sin(0t)(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。 例 4.2-4 4. 尺度变换 假设那么式中， 为常数，证例 4.2-5 求f1(t)的象函数。 解 因为 5. 时域卷积 证 根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，那么 例 4.2-6 图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号f(t)的关系为f(t)=f(t)*f(t)，求f(t)的单边拉氏变换。 图 4.2-1 例

6、4.2-6 图(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形 6. 时域微分 式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。 证 先证明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根据单边拉普拉斯变换的定义， 那么有 反复应用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Res0。假设F(s)在s=0处有一阶极点，那么sF(s)中的这种极点被消去，f

7、(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。 假设f(t)为因果信号，那么f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此时，时域微分性质表示为 n=1, 2, ；Res0 例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。 解 (1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于 故根据线性得 假设应用时域微分性质求解，那么有 (2) 求f2(t)的单边拉氏变换。由于 因此得 7. 时域积分 假设f(t) F(s)，Res0, 那么有： 假设f(-n)(t)表示从-到t对f(t)的n重积分，那么有 (4.2-12)(4.2-13)证明式(4

8、.2-12)： 因为 根据时域卷积性质，那么 因为证明式(4.2-13): 因为 单边拉普拉斯变换为根据线性得 假设f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，那么f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。假设f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根据时域积分性质式(4.2 - 12)，那么f(t)的单边拉氏变换为 假设f(t)为非因果信号，那么Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，假设f(t)(t)的n次导数 的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，那么f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。 非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式

9、(4.2-13)求解。 假设f(t)在t=-的值f(-)=0，f (1)(t)是f(t)的一阶导数，那么 t- 假设f(1)(t)的单边拉普拉斯变换用F1(s)表示，那么f(t)的单边拉普拉斯变换为 假设f(-)0，那么 t- 对于t0-，有 那么f(t)的单边拉普拉斯变换为 例 4.2-8 求图 4.2-2(a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。 解 f(t)的二阶导数为 由于(t) 1, 由时移和线性性质得 由时域积分性质 图 4.2-2 例 4.2-8 图(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形 例 4.2-9 求图 4.2-3(a)所示信号f(t)的

10、单边拉普拉斯变换。 解 方法一 由于 根据单边拉氏变换的定义， 得 图 4.2-3 例 4.2-9 图 方法二 f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为 f(1)(t)的单边拉氏变换为 Res- Res0 8. 复频域微分 假设f(t) F(s), Res0， 那么有 Res0 n=1, 2, ; Res0 证 根据单边拉普拉斯变换的定义 Res0 例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的单边拉氏变换。 解 由于 Res0，根据式(4.2 - 21)，得 Res0于是得 Res0由于t2(t)=(-t)(-t)(t)， Res0 重复应用以上方法可以得到 Res0 9. 复频域积分 假设f(t

11、) F(s)，Res0，那么有 式中， 存在， 的单边拉普拉斯变换的收敛域为Res0和Res0的公共局部。 证 根据单边拉普拉斯变换的定义 Res0 对上式两边从s到积分，并交换积分次序得 因为t0, 所以上式方括号中的积分 在Res0时收敛。因此得 例 4.2-11 求f(t)的单边拉氏变换。 解 由于 根据复频域积分性质，得 10. 初值和终值定理 (1) 初值定理假设信号f(t)不包含冲激函数(t)及其各阶导数， 并且 Res0 那么信号f(t)的初值为 (2) 终值定理假设f(t)在t时极限f()存在，并且f(t) F(s) Res0; -00那么f(t)的终值为 例 4.2-12 解

12、 由于cos t(t) ，根据复频移性质， 那么有 由初值定理得由终值定理得表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质 表 4.2 常用信号的单边拉普拉斯变换 4.3 单边拉普拉斯逆变换 4.3.1 查表法 例4.3-1 ，求F(s)的原函数f(t)。解 F(s)可以表示为 由附录F查得编号为15的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号15的变换对为 与本例中F(s)的表示式比照，那么b1=1, b0=1，=2，代入变换对得 4.3.2 局部分式展开法 假设F(s)为s的有理分式，那么可表示为 式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均为实数。假设mn, 那

13、么 为假分式。假设mn，那么 为真分式。 式中，ci(i=0, 1, 2, , n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分式，可展开为局部分式后求逆变换。例如， 假设F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即 那么 假设 为有理真分式， 可直接展开为局部分式后求逆变换。要把F(s)展开为局部分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1, 2, , n)。si可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。si又称为F(s)的极点。F(s)展开为

14、局部分式的具体形式取决于si的上述性质。 1. F(s)仅有单极点 假设A(s)=0仅有n个单根si(i=1, 2, , n)，那么根据附录A中式(A-2)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为 式中，各局部分式项的系数Ki为 故F(s)的单边拉普拉斯逆变换可表示为 由于 例 4.3-2 ，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。 解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2, s2=-3。因此，F(s)的局部分式展开式为 所以 于是得 2. F(s)有重极点 假设A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或

15、复数，那么由附录A中式(A-8)和(A-11)可得 式中： 先求F1(s)的逆变换，因为 由复频移性质，可得 F(s)的单边拉普拉斯逆变换为 例 4.3-3 求 F(s)的单边拉氏逆变换。 解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为 于是得 3. F(s)有复极点 如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，那么F(s)可展开为 式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 那么有 由复频移和线性性质得F(s)的原函数为 对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就

16、可得到这一对共轭复极点对应的局部分式的原函数。 如果F(s)有复重极点，那么相应的局部分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例， 其F(s)可展开为 式中： 根据复频移和线性性质，求得F(s)的原函数为 例 4.3-4 求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。 解 F(s)可以表示为 F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2j2, 可展开为 于是得 于是得 例 4.3-5 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。 解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示为 式中，F1s由线性和常用变换对得到由时移性质得例 4.3-6 单边拉氏变换 求F(s)的原函数f(t)。 解

17、 F(s)为有理分式，可用局部分式法求f(t)。但F(s)又可表示为 因为 ， 根据复频域微分性质，那么F(s)的原函数为例 4.3-7 求F(s)的单边拉氏逆变换。 解 F(s)不是有理分式，不能展开为局部分式。F(s)可以表示为 对于从t=0-起始的周期性冲激序列 其单边拉氏变换为 由于因此，根据时域卷积性质得于是得 例4.3-7 中f(t)与F(s)的对应关系可以推广应用到一般从t=0-起始的周期信号。设f(t)为从t=0-起始的周期信号，周期为T，f1(t)为f(t)的第一周期内的信号。 f(t)和f1(t)如图4.3-1(a)、(b)所示。 f(t)可以表示为 令f1(t) F1(s

18、), f(t) F(s), 那么有 Res0 图 4.3-1 因果周期信号 * 4.3.3 反演积分法 单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求逆变换，这种方法称反演积分法。 单边拉普拉斯逆变换的定义为 留数定理的内容为：假设复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，那么G(s)沿闭合曲线L的积分等于2j乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即 图 4.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径 假设给积分路径AB补充一半圆C，如图 4.3 - 2 所示，那么构成一闭合路径L(ACBA)。假设令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇点全部是极点，根据留

19、数定理， 那么有 根据留数定理和约当引理，那么F(s)的单边拉普拉斯逆变换为 t0 t0 根据复变函数理论，假设F(s)为有理真分式，并且F(s)est的极点s=si为一阶极点，那么该极点的留数为 假设F(s)est的极点s=si为r重极点，那么该极点的留数为 (4.3 - 15)例 4.3-8 已知 Res-2。求F(s)的单边拉氏逆变换。 解 选a-2，那么F(s)est在a左侧的极点分别为一阶极点s1=-3和二重极点s2=-2。 于是，根据式(4.3 - 15)，得 t0 t0 4.4 连续系统的复频域分析 4.4.1 连续信号的复频域分解 根据单边拉普拉斯逆变换的定义，假设信号f(t)

20、的单边拉普拉斯变换为F(s)， 那么信号f(t)可以表示为 4.4.2 根本信号est鼓励下的零状态响应 假设线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t), 零状态响应为yf(t)，冲激响应为h(t)，由连续系统的时域分析可知: 假设系统的输入为根本信号，即f(t)=est,那么假设h(t)为因果函数，那么有式中：即，Hs是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性边续系统的系统函数，est称为系统的特征函数。4.4.3 一般信号f(t)鼓励下的零状态响应 对于-j到+j区间上的任一s，信号est产生的零状态响应为H(s)est。est与其响应的对应关系表示为 根据线性系统的齐次性，对于-j

21、到+j区间上的任一s， 为一复数，因此，信号产生的零状态响应可以表示为 根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号f(t)可以分解为-j到+j区间上不同s的指数信号 的和(积分)，因此，系统对f(t)的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。 对应关系为 即f(t)产生的零状态响应Yf(t)因为f(t)、h(t)是因果信号，所以yf(t)也是因果信号。 另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根据时域卷积性质，那么yf(t)的单边拉普拉斯变换为 式(4.4-6)和式(4.4-7)说明， 系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s);(2)

22、求系统函数H(s);(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)； 例 4.4-1 线性连续系统的输入为f1(t)=e-t(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。假设输入为f2(t)=t(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。 f2(t)的单边拉氏变换为 yf2(t)的单边拉氏变换为 于是得4.5 系统微分方程的复频域解 设二阶连续系统的微分方程为 式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f(0-)均为零。设初始时刻t0=0, y(t)的单边拉

23、普拉斯变换为Y(s)，对式(4.5-1)两端取单边拉普拉斯变换， 根据时域微分性质，得分别令 对式(4.5-4)取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即 由于Yf(s)=H(s)F(s), 那么二阶系统的系统函数为设n阶边续系统的微分方程为n阶系统的微分方程为关于响应的初始值需注意以下问题： 于是得1对于n阶线性连续系统，由于yx(t)+yf(t), 因此有 2对于n阶线性连续因果系统，假设在t0时yx(t)满足的微分方程相同，那么 对于因果系统，假设输入f(t)为因果信号，那么 一般不等于零，因此得例 4.5-1 线性系统的微分方程

24、为 求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。 f(t)的单边拉氏变换为 解 方法 1 根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得 求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得 方法 2 分别根据yx(t)和yf(t)满足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)满足的微分方程为 由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=yf(0-)=0。 yf(t)满足的微分方程为 yx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx(0-)=y(0-)。4.6 RLC系统的复频域分析4.6.1 KCL、KVL的复频域形式 KCL

25、和KVL的时域形式分别为 设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，对式(4.6 - 1)取单边拉普拉斯变换，根据线性性质， 得到 4.6.2 系统元件的复频域模型 1. 电阻元件(R) 设线性时不变电阻R上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 那么R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为 电阻R的时域模型如图 4.6-1(a)所示。设u(t)和i(t)的象函数分别为U(s)和I(s)，对式(4.6-3)取单边拉普拉斯变换， 得 图 4.6-1 R的时域和S域模型(a) 时域模型； (b) S域模型 2. 电感元件(L) 设线性时

26、不变电感L上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 那么电感元件VAR的时域形式为 (4.6-5) 图 4.6-2 电感L的时域和零状态S域模型(a) 时域模型； (b) 零状态S域模型 电感L的时域模型如图4.6-2(a)所示。设i(t)的初始值i(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.6-5)取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性质， 得 假设电感L的电流i(t)的初始值i(0-)不等于零，对式(4.6-5)取单边拉普拉斯变换，可得 图 4.6-3 电感元件的非零状态S域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型 3. 电容元件

27、(C) 设线性时不变电容元件C上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 那么电容元件VAR的时域形式为 电容元件的时域模型如图 4.6-4(a)所示。假设u(t)的初始值u(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.6-9)取单边拉普拉斯变换，得 假设电容元件C上电压u(t)的初始值u(0-)不等于零，对式(4.6-9)取单边拉普拉斯变换， 得 图 4.6-4 电容元件的时域和零状态S域模型(a) 时域模型； (b) 零状态S域模型 图 4.6-5 电容元件的非零状态S域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型 4.6.3 RLC系统的

28、复频域模型及分析方法 例4.6-1 图 4.6-6(a)所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。 解 (1) 求完全响应iL(t)： 图 4.6-6 例 4.6-1 图 那么S域的网孔方程为 式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程， 解网孔方程得 求IL(s)的单边拉氏逆变换，得 (2) 求零输入响应iLx(t)：设零输入响应iLx(t)的单边拉氏变换为ILx(s)，网孔电流的象函数分别为I1x(s

29、)和I2x(s)，如图 4.6 - 6(c)所示。列网孔方程，得 把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程， (3) 求零状态响应iLf(t)： 对图 4.6 - 1(b)所示电路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到开关S在位置2时零状态响应的S域电路模型，如图 4.6 -6(d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s)，可应用网孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。此外，也可以根据S域电路模型求出系统函数H(s)，然后通过H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s)，那么有 于是得 把Z(

30、s)的表示式代入上式得到H(s)为 因此得 求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得 4.7 连续系统的表示和模拟 4.7.1 连续系统的方框图表示 图 4.7-1 系统的方框图表示 一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示，如图 4.7-1 所示。 方框图左边的有向线段表示系统的输入f(t)，右边的有向线段表示系统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他局部， 是系统的主体。此外，几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的根本单元(子系统)连接

31、起来表示。这些根本单元有加法器、数乘器(放大器)、 积分器等。 1. 连续系统的串联 图 4.7-2 连续系统的串联(a) 时域形式； (b) 复频域形式 设复合系统的冲激响应为h(t)，根据线性连续系统时域分析的结论， h(t)与hi(t)的关系为 假设h(t)和hi(t)为因果函数，h(t)的单边拉普拉斯变换即系统函数为H(s)，根据单边拉普拉斯变换的时域卷积性质，H(s)与Hi(s)的关系为 2. 连续系统的并联 图 4.7-3 连续系统的并联(a) 时域形式； (b) 复频域形式 复合系统的冲激响应h(t)与子系统冲激响应hi(t)之间的关系为 h(t)的单边拉普拉斯变换，即系统函数H

32、(s)与hi(t)的单边拉普拉斯变换Hi(s)之间的关系为 例 4.7-1 某线性连续系统如图 4.7-4 所示。 其中，h1(t)=(t), h2(t)=(t-1), h3(t)=(t-3)。 (1) 试求系统的冲激响应h(t); (2) 假设f(t)=(t)， 试求系统的零状态响应yf(t)。解 (1) 求系统冲激响应h(t): 图示复合系统是由子系统h1(t)与子系统h2(t)串联后再与子系统h3(t)并联组成的。设由子系统h1(t)和h2(t)串联组成的子系统的冲激响应为h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得 复合系统的冲激响应和系统函数分别为 (2) 求f(t)=(t)时

33、系统的零状态响应yf(t): 设系统零状态响应yf(t)的单边拉氏变换为Yf(s)，那么 求Yf(s)的单边拉氏逆变换得 图 4.7-4 例 4.7-1 图 3. 用根本运算器表示系统 图 4.7-5 根本运算器的时域和S域模型(a) 数乘器； (b) 加法器；(c) 积分器 4.7-2 某线性连续系统如图 4.7-6 所示。求系统函数H(s), 写出描述系统输入输出关系的微分方程。 图 4.7-6 例 4.7-2 图 解 Y(s)为右边加法器的输出，该加法器有两个输入，如下图。 因此有 于是得 (4.7 - 6)(4.7 - 5)把式(4.7 - 5)代入式(4.7 - 6)， 得 系统函数

34、为 对上式应用时域微分性质， 得到系统微分方程为 4.7.2 连续系统的信号流图表示 图 4.7-7 信号流图的规那么 关于信号流图， 还有如下常用术语： (1) 节点：信号流图中表示信号的点称节点。 (2) 支路：连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。 (3) 源点与汇点： (5) 开路：一条通路与它经过的任一节点只相遇一次，该通路称开路。 (6) 环(回路)：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，那么该通路称为环或回路。 1. 连续系统的信号流图表示 图 4.7-8 信号流图与方框图的对应关系 例 4.7-3 某线性连续系统的

35、方框图表示如图 4.7-9(a)所示。画出系统的信号流图。 图 4.7-9 例 4.7-3 图(a) 方框图； (b) 信号流图 解 系统的方框图中，H1(s)、H2(s)、H3(s)分别是三个子系统的系统函数。设加法器的输出为X1(s), 子系统H1(s)的输出为X2(s)，那么有 例 4.7-4 某线性连续系统的方框图表示如图 4.7-10(a)所示。 画出系统的信号流图。 图 4.7-10 例 4.7-4 图(a) 方框图； (b) 信号流图 解 设左边加法器的输出为X1(s)，左边第一和第二个积分器的输出分别为X2(s)和X3(s)，那么有 2. 梅森公式(Masons Rule) 式

36、中，称为信号流图的特征行列式，表示为 例 4.7-5 连续系统的信号流图如图 4.7-11所示。求系统函数H(s)。 图 4.7-11 例 4.7-5 图 解 系统信号流图共有四个环，环传输函数分别为 系统信号流图中从F(s)到Y(s)只有一条开路，开路传输函数P1和对应的剩余流图特征行列式分别为 得到系统信号流图的特征行列式为 得到系统函数为 4.7.3 连续系统的模拟 1. 直接形式 以二阶系统为例， 设二阶线性连续系统的系统函数为 给H(s)的分子分母乘以s-2，得到 图 4.7-12 二阶系统直接形式信号流图(a) 直接形式; (b) 直接形式的方框图表示；(c) 直接形式; (d)

37、直接形式的方框图表示 2. 级联(串联)形式 如果线性连续系统由n个子系统级联组成，如图 4.7-2 所示， 那么系统函数H(s)为 例 4.7-6 线性连续系统的系统函数为 求系统级联形式信号流图。 解用一阶节和二阶节的级联模拟系统。H(s)又可以表示为 式中，H1(s)和H2(s)分别表示一阶和二阶子系统。 它们的表示式为 图 4.7-13 例 4.7-6 图(a) 子系统信号流图； (b) 系统的级联形式信号流图 3. 并联形式 假设系统由n个子系统并联组成，如图 4.7-3 所示，那么系统函数H(s)为 这种情况下，先把每个子系统用直接形式信号流图模拟， 然后把它们并联起来，就得到系统

38、并联形式的信号流图。 例 4.7-7 线性连续系统的系统函数H(s)为 求系统级联形式信号流图。 解 用一阶节和二阶节的级联模拟系统。H(s)又可以表示为 式中： 图 4.7-14 例 4.7-7 图 4.8 系统函数与系统特性 4.8.1 H(s)的零点和极点 线性时不变连续系统的系统函数H(s)通常是复变量s的有理分式， 可以表示为 H(s)的零、极点与时域响应 1. 左半平面极点 假设H(s)在左半平面负实轴上有一阶极点p=-(0)，那么H(s)的分母A(s)就有因子(s+)，h(t)中就有对应的函数Ae-t(t)；假设p=-为r重极点，那么A(s)中就有因子(s+)r，h(t)中就有对

39、应的函数Aitie-t(t)(i=1, 2, , r-1)。A、Ai为实常数。 假设H(s)在左半平面负实轴以外有一阶共轭复极点p1,2=-j，那么A(s)中就有因子(s+)2+2， h(t)中就有对应的函数Ae-tcos(t+)(t)；假设p1,2=-j为r重极点，那么A(s)中有因子(s+)2+2r，h(t)中就有对应的函数Aitie-tcos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)。A，Ai, i为实常数。 2. 虚轴上极点 假设H(s)在坐标原点有一阶极点p=0，那么A(s)中有因子s，h(t)中就有对应函数A(t), A为常数；假设p=0为r重极点，那么A(s)中有因子sr，h

40、(t)中就有对应函数Aiti(t)(i=1, 2, , r-1)，Ai为实常数。 假设H(s)在虚轴上有一阶共轭虚极点p1,2=j，那么A(s)中有因子(s2+2)，h(t)中就有对应函数A cos(t+)(t)，A、为实常数；假设p1,2=j为r重极点，那么A(s)中有因子(s2+2)r，h(t)中就有对应函数Aiti cos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)， Ai、i为实常数。 3. 右半平面极点 图 4.8-1 H(s)的极点分布与时域函数的对应关系 4.8.3 H(s)与系统的频率特性 由线性连续系统的频域分析可知，系统冲激响应h(t)的傅里叶变换H(j)表示系统的频率特

41、性，称为系统的频率响应。下面讨论H(j)与系统函数H(s)的关系。根据傅里叶变换的定义和单边拉普拉斯变换的定义，假设h(t)为因果信号， 那么有 H(s)的收敛域包含j轴，意味着H(s)的极点全部在左半平面。在这种情况下，H(s)对应的系统称为稳定系统。根据以上讨论，可以得到以下结论：假设因果系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 那么 设bm0，并且令 那么式又可以表示为 式中： 图 4.8-2 H(s)零、极点的矢量表示及差矢量表示 例 4.8-1 二阶线性连续系统的系统函数为 式中，0, 00, 0。粗略画出系统的幅频和相频特性曲线。 解 H(s)有一个零点s1=; 有两个极点，分

42、别为 式中， 。 于是H(s)又可表示为 由于H(s)的极点p1和p2都在左半平面，因此，系统的频率特性为 令 那么H(j)又可表示为 幅频特性和相频特性分别为 图 4.8-3 例 4.8-1 图(a) H(s)零、极点的矢量和差矢量表示； (b) 系统的幅频特性和相频特性 4.8.4 H(s)与系统的稳定性 1. 稳定系统 一个连续系统，如果对任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，那么称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定系统。 即对有限正实数Mf和My，假设|f(t)|Mf，并且|yf(t)|My，那么系统是稳定系统。 线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应h(t)绝对可积

43、。 设M为有限正实数，系统稳定的充分必要条件可表示为 充分性：设线性连续系统的输入f(t)有界，即|f(t)|Mf。系统的零状态响应yf(t)为 因此有 即 假设h(t)绝对可积， 必要性：所谓式(4.8-16)对系统稳定是必要的，是当h(t)不满足绝对可积条件时，那么至少有某个有界输入f(t)产生无界输出yf(t)。为此，设f(t)有界，那么f(-t)也有界，并且表示为 h(t)0 h(t)=0 h(t)0 于是有 因为 令t=0, 根据式(4.8 - 17)那么有 假设h(t)不绝对可积， 即 , 那么yf(0)=。 2. 罗斯-霍尔维兹准那么设n阶线性连续系统的系统函数为 式中，mn，a

44、i(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是实常数。H(s)的分母多项式为 H(s)的极点就是A(s)=0的根。假设A(s)=0的根全部在左半平面，那么A(s)称为霍尔维兹多项式。 A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。假设ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然， 假设A(s)为霍尔维兹多项式， 那么系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准那么，称为罗斯-霍尔维兹准那么(R-H准那么)。罗斯-霍尔维兹准那么包括两局部，一局部是

45、罗斯阵列，一局部是罗斯判据(罗斯准那么)。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准那么，称为罗斯-霍尔维兹准那么 (R-H准那么)。罗斯-霍尔维兹准那么包括两局部，一局部是罗斯阵列，一局部是罗斯判据(罗斯准那么)。 假设n为偶数，那么第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规那么计算： 罗斯判据(罗斯准那么) 指出： 多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 假设第一列元素的值不是全为正值， 那么说明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准那么和霍尔维兹多项式的定义，假设罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，那么H(s)的