[工学]第四章 拉普拉斯变换ppt课件

1、第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 本章要点本章要点拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅立叶变换到拉从傅立叶变换到拉氏变换氏变换拉氏变换的性质，收敛域拉氏变换的性质，收敛域延续时间系统呼应的求解延续时间系统呼应的求解(S域域)系统函数和单位冲激呼应系统函数和单位冲激呼应系统的零极点系统的零极点主要内容主要内容重点重点难点难点定义的引出定义的引出拉氏正变换的推导拉氏正变换的推导拉氏反变换的推导拉氏反变换的推导拉氏变换的物理意义拉氏变换的物理意义拉氏变换的物理意义拉氏变换的物理意义0-系统系统时域分析：时域分析：) t ( h) t ( f) t ( r) t ( h (零形状呼应零形状呼应)频域

2、分析：频域分析：)()()()()()()()( HFRtrHthFtf 频谱的概念：频谱的概念：)(),(1 FnF谱系数，谱系数， 频谱密度复频域分析：复频域分析： js),s(F)t (f拉氏变换拉氏变换l付氏变换不存在的信号，拉氏变换能够存在；付氏变换不存在的信号，拉氏变换能够存在；l用拉氏变换求反变换，运算简单。用拉氏变换求反变换，运算简单。采用拉氏变换的益处采用拉氏变换的益处tetf)(拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里有几种情况不满足狄里赫利条件：赫利条件：u(t)增长信号增长信号周期信号周期信号) 0( aeat假设乘一衰减

3、因子假设乘一衰减因子 为恣意实数，为恣意实数，那么那么 收敛，收敛，于满足狄里赫利条件于满足狄里赫利条件tetetu)()(aeetattet1cost1cos对对一一般般信信号号)(tf，乘乘以以衰衰减减因因子子te ，即即tetf )(在在 的的某某范范围围内内（ ）收收敛敛。依依定定义义：令令sj dteetfetfFtjtt )()(dtetftj)()( )( jF 那么那么 dtetfsFts拉氏正变换拉氏正变换对对于于 tetf 是是 jF 的的付付里里叶叶反反变变换换 dejFetftjt21两两边边同同乘乘te dejFtftjj21其中其中 js jdds jj:s:对对

4、dsesFjtftsjj21拉氏逆变换拉氏逆变换 js 具具有有频频率率的的量量纲纲拉氏变换对拉氏变换对 jjtstsdsesFjtfLtfdtetftfLsF211上两式为广义的付氏变换，也称为双边拉氏变换：上两式为广义的付氏变换，也称为双边拉氏变换： t。实实际际的的信信号号都都是是有有起起因因信信号号，即即0 t时时 0 tf。在在系系统统分分析析中中，感感兴兴趣趣的的是是0 t以以后后部部分分的的 sF复频率复频率 dtetfsFts 0 称称为为单单边边拉拉氏氏变变换换。拉氏变换已思索了初始条件拉氏变换已思索了初始条件)()()()()(ofsSFdttdfLTsFtfLT)()0(

5、)()()()(000sSFfefdtetfetfdtetfsststst 终值初值，假设有跳变那么为 )(of主要内容主要内容重点重点收敛域收敛域单边拉氏变化的收敛域单边拉氏变化的收敛域双边拉氏变化的收敛域双边拉氏变化的收敛域普通情况普通情况S平面及收敛域的表示平面及收敛域的表示例例1:解解得得：均均为为 s1；说说明明：不不但但要要找找到到)(sF，还还要要标标出出使使拉拉氏氏变变换换存存在在的的区区域域。 tetf ： tf乘乘以以te 增增加加收收敛敛的的可可能能性性，但但并并不不一一定定全全收收敛敛。 sRe 在在一一定定的的范范围围内内使使)(sF存存在在，使使)(sF存存在在的的

6、 s 区区域域称称为为收收敛敛域域。记为：记为：ROCregion of convergence tetf 取取极极限限 t，对对0 的的所所有有实实数数有有： 0lim ttetf ，那么拉氏变换存在。那么拉氏变换存在。收敛域：收敛域： 0Re s；收敛坐标：收敛坐标：0 ，是与，是与 tf有关的实数有关的实数s平面：平面： js ，为一复平面，为一复平面（s plane）。）。0 j0 j0 收敛轴收敛轴S平面平面例例1： 02 tetft指指数数衰衰减减 收收敛敛坐坐标标:2020limlimlim0022 ttttttteeeetf0 j2 例例2： tutf 00,01limlim0

7、 tttteetu例例3: 0)( tuetft 00,0limlim ttttteee例例4: 0limlim22 ttttteee2)(tetf 例例 2，例，例 3 都满足条件都满足条件 0lim ttetf ，称，称 tf为指数为指数阶阶信信号号。对对于于有有起起因因的的单单边边信信号号，其其单单边边拉拉氏氏变变换换的的收收敛敛域比较简单，不再注明其收敛域域比较简单，不再注明其收敛域（隐含隐含）0 j0 j 0 j 全时域信号全时域信号为实数）为实数） ,(00teteetttp0lim tttee ，则则 00lim tttee ，则则 0 收敛带收敛带)()()(tuetuetfb

8、tat0)(0)()(dtedtedtetftatbtbabaab,ab收敛，存在双边拉收敛，存在双边拉氏变换氏变换没有收敛域。不存在双边拉没有收敛域。不存在双边拉氏变换氏变换 根本信号的单边拉氏变换一一.阶跃函数阶跃函数 sesdtetuLstst1011)(0 二二.指数函数指数函数 ssedteeeLssttt 100三三.有限长信号有限长信号 其其他他00)(Ttetft TsTsttesdteesF 110四四.nt（n 为为正正整整数数） 01dtettLnst21011sessst 0dtettLstnn 01010dtetsndtetsneststnstnstn 1 nntLs

9、ntL 01sttdes 001dteetsstst 3222122ssstLstL 43236233ssstLstL 即即 1!: nnnsntLt五五.单位冲激信号单位冲激信号 10 dtettLsts域全平面收敛域全平面收敛 0000ststedtettttL 常用函数的拉氏变换表可查用。常用函数的拉氏变换表可查用。常用信号的拉氏变换S1)(tuat as 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste)(tu主要内容主要内容重点重点难点难点拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系dtetftj)(因果因果 0乘衰减因子乘衰减因子tedtetftj0)()(js0)(dtetfst

10、dtetfst)(jsdtetftj)()(00)(0tft从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号0)(0tft)(tueataat)(tf0) 1 (0assF1)(傅氏变换不存在，拉傅氏变换不存在，拉氏变换存在氏变换存在j从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号0)(0tft0)2(0)(tft)(tueataajassF1)(ajjF1)(js 从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号0)(0tft0)3(0存在傅氏变换，但存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能收敛于虚轴，不能简单用简单用 ，要，要包含奇特函数项。包含奇

11、特函数项。)(tussF1)()(1)(jjFnnnjsksFjF)()()(js K1=1从从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换的单边拉氏变换求它的傅氏变换)(.sin0tut)(.sin)(0tuttfLT2020)(ssFnnnjsksFjF)()()(00202022)(jsjjsjssF)()(2)(002200jjF2020)()(jjFK2K1主要内容主要内容重点重点难点难点线性线性 时移性时移性单边周期信号的拉氏变换单边周期信号的拉氏变换卷积定理卷积定理频移特性频移特性尺度变换特性尺度变换特性时间微分性质时间微分性质时间积分性质时间积分性质初始值定理初始值定理终值定理终值定理复频域

12、微分复频域微分复频域积分复频域积分卷积定理卷积定理尺度变换特性尺度变换特性时移性时移性 初始值定理初始值定理拉氏变换的根本性质拉氏变换的根本性质1线性线性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微分微分)0()( fsSF积分积分tdf)(sfssF)0()(时移时移)()(00ttuttf)(0sFest频移频移atetf)()(asF拉氏变换的根本性质拉氏变换的根本性质2尺度变换尺度变换)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst终值终值定理定理)(lim)()(lim0sSFftfst卷积卷积定理定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定

13、理初值定理)().(21tftf)(*)(2121sFsFj线性线性若若)()(11sFtf，)()(22sFtfC1,C2为任意常数，则为任意常数，则)()()()(22112211sFCsFCtfCtfC 例：例： tjtjeettf0021)cos()(0 202001121 ssjsjs同理：同理：20200001121sin sjsjsjt时移性时移性设设 )()()(sFtutf 则则 0)()()(00stesFttuttf 注注意意：有有起起因因信信号号的的时时移移，连连根根拔拔，向向)(tu靠靠拢拢21s021stes sts1102 证明自学证明自学例例)2()( tuet

14、ft)2()2(2 tueetsesesF221)( 【例】周期矩形脉冲信号的拉氏变换。【例】周期矩形脉冲信号的拉氏变换。【解解】设设 )(0)0()(1TttEtf ,（1）求求 sF11)用用定定义义求求：)1()(01 sstesEdteEsF 2)时时移移性性质质： )()()(1 tutuEtf sesEtEusEtEu )(,)( )1()(1 sesEtf （2）周周期期性性脉脉冲冲的的拉拉氏氏变变换换 )2()()()(111TtfTtftftfTsTsTsTsTsTTesFeesFesFesFsFsF 11)()1)()()()()(1212111所所以以：sTTesFsF

15、11)()(1，周周期期化化定定理理适适用用于于任任意意周周期期信信号号求求拉拉氏氏变变换换， sF1因因信信号号不不同同而而不不同同。单边周期信号的拉氏变换单边周期信号的拉氏变换(续续)周周期期矩矩形形脉脉冲冲的的拉拉氏氏变变换换： sTssTssTeeSEeesEesFsF 1111111)()(1 一一般般来来说说， sF中中分分子子含含 se 项项，时时延延因因子子分分母母中中含含sTe 1项项，周周期期化化因因子子求周期信号的拉氏变换求周期信号的拉氏变换例例1：)(tf12T0T2T1)(0tf0tt)2()(2sinTtututT22)1(2SeTLTT222211)1(2TSeS

16、eT信号加窗信号加窗第一周期第一周期抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换 抽抽样样信信号号的的（单单边边）拉拉氏氏变变换换 用用)(tT 抽抽样样时时只只需需单单边边信信号号： 0)()(nTttT 1)( sFt sTTetL 11)( 000)()()()(nnsTstsenTfdtenTtnTftfL 抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换(续续)抽样信号的抽样信号的 sFS可表示为可表示为 s 域的级数。域的级数。不是等比级数，因为不是等比级数，因为 nTf依依nT不同而不同：不同而不同： 000)()()()(nnsTstsenTfdtenTtnTftfL 若若tetf )(则则nTs

17、nnTsnnTseenTtetf)(0)(011)()( 频移特性频移特性)()(sFtf，)()(00ssFetfts 例例：求求tet0cos 的的拉拉氏氏变变换换。【解解】已已知知： 2020cos sstL 2020cos sstet同同理理： 20200sin stet尺度变换特性尺度变换特性 )()(sFtf，)(1)(asFaatfa0时时移移和和标标度度变变换换都都有有时时，abseasFabatf )(1)(注意：注意： batf 的含义是的含义是 batubatf ，如果不是，如果不是 batu ，需向其靠拢需向其靠拢。已已知知：)()4cos(2)()(tutttf ，求

18、求 sF)(sin)(cos)()()4sinsin24coscos2()()(tuttutttuttttf 222211111sssssssF 【解】【解】例例时间微分性质时间微分性质设)()(sFtf，则)0()()( fssFdttdf 证明：用定义证明：用定义dtedttdfst 0)(ststedtfetf 00)()(dtetfsfst 0)()()0()0()()( fssFdttdf分部积分分部积分0)(lim sttetf时间微分性质时间微分性质(续续)推广： )0()0()()0(0)(22 fsfsFsffssFsdttdf 10)(1)0()()(nrrrnnnfssF

19、sdttdf 式中， 0)()0(ttff， 0)()()()0(trrtff 若 tf为有起因信号，即0 t时， 0 tf，且无原始储能，即0)0()0( ff则)()(ssFtf ，),()(2sFstf tf的拉氏变换 sdteesFstt1)(0例例1已知 )0(001)( tettft，求 tf及其一阶导数的拉氏变换。(1)用定义用定义 00)(2)(tetttft sdteettftst 2)(2)(0(2)用性质用性质1)0(, 1)0( ff sssssfssFtf22)1(1)0()()(例例2求电感元件的求电感元件的s域模型域模型)(tiL)(tvLL设)()(sItiLL

20、，)()(sVtvLL,dttdiLtvLL)()( 运用时间微分性质：运用时间微分性质： )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILsV时间积分性质时间积分性质例例设)()(sItiCC，)()(sVtvCC tcCdiCtv )(1)()0(1)(1)0()(1)()1()1( CCCCCisCsIsCsissICsV)0()(1)0(10)1( CCCvdiCiC )0(1)(1)( CCcvssIsCsV若)()(sFtf则)()0()(limlim0ssFftfst 初始值定理初始值定理证明见书证明见书注注意意：若若 sF不不为为真真分分式式，则则应应变变成成真真分分

21、式式 ksFsF )()(1 )0()()()(limlimlim0 ftfksssFksFstss sF中有常数项，说明 tf项中有 t 项。 ssF相当于)(tf 的拉氏变换， tf的微分中有)(t 项，其拉氏变换为 ks 补充！补充！例例1ssF1)( ，求?)0( f解：1)()()0(limlim0 ssFtffst例例212)( sssF，求?)0( f解： 12212 ssssF ssssksssFfss2)12()()0(limlim211212limlim sssss 2)0( f， tf中有)(2t 项。终值定理终值定理设dttdftf)(),(的拉氏变换存在，若)()(s

22、Ftf，则)()(lim0 fssFs证明见书，自学证明见书，自学终值存在的条件：F(s)在右半平面和 j（原点除外）轴上无极点。 复频域微分复频域微分若)()(sFtf，则sdsFdtftnnnn)()1()( 证明：证明： 0)()(dtetfsFst两边对两边对s微分：微分： 0)()()(dtettfdssdFst 0)()(dtetftst )(ttfL dssdFttf)()( 对 s 微分n次，则得nnnndssFdtft)()1()( 复频域积分复频域积分若)()(sFtf， 则 sdssFttf)()(证明：证明： 0)()(dtetfsFst两边对两边对s积分：积分： ss

23、tsdsdtetfdssF0)()(交换积分次序交换积分次序dtettfdtettfdtdsetftsstssts 000)(1)()(卷积定理卷积定理 )()()()(2121sFsFtftfL )()(21)()(2121sFsFjtftfL （注意与付氏变换区别） 主要内容主要内容重点重点难点难点拉氏逆变换的三种方法拉氏逆变换的三种方法部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式展开法情况之一：实数单极点部分分式展开法情况之一：实数单极点部分分式展开法情况之二：极点为共轭复数部分分式展开法情况之二：极点为共轭复数部分分式展开法情况之三：高阶极点部分分式展开法情况之三：

24、高阶极点两种特殊情况两种特殊情况部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式展开法情况之三：高阶极点部分分式展开法情况之三：高阶极点拉氏逆变换的三种方法拉氏逆变换的三种方法F(s)的普通方式的普通方式01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm a,b为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。当当mn，F(s)为有理真分式为有理真分式)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF z1, z2, z3 zm是是 A(s)=0 的的 根根 ， 称称 为为 sF的的 零零 点点 A sF s( )(

25、)00）p1, p2, p3 pn是是 B(s)=0 的的 根根 ， 称称 为为 sF的的 极极 点点（ B sF s( )( ) 0）分解分解零点零点极点极点部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式法求拉氏逆变换的过程 找找出出 F(s)的的极极点点 将将 sF展展成成部部分分分分式式 查查拉拉氏氏变变换换表表 tf)()()()(21npspspssAsF p1, p2, p3 pn为不同的实数根。为不同的实数根。 )()()(2211nnpskpskpsksF 求出求出 k1, k2, k3 kn，即可将，即可将 sF展开为部分分式。展开为部分分式。为确定系数为确定系数ki，两边乘以因子，两

26、边乘以因子s-pi，再令，再令s=pi。右边仅留下右边仅留下ki一项一项.ki=(s-pi)F(s)s=Pi6116332)(232 ssssssF(1)找极点找极点 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式展成部分分式 321321 sksksksF362511)( ssssF根根据据 set1（单单边边）得得 )(65)(32tueeetfttt 求系数求系数(3)逆变换逆变换如何求系数如何求系数k1, k2, k3？逆变换逆变换对等式两边同乘以对等式两边同乘以s+1，且令，且令s=-1右边右边()sksksksks112312311左左边边1)()1( ssFs1)3

27、)(2)(1(332)1(12 sssssss11 k同理同理, 5)()2(22 ssFsk6)()3(33 ssFsk另一种求另一种求ki的方法的方法当当ips 时时，(s-pi)及及 B(s)均均为为零零 )()()(sBsApsi 将将成成为为不不定定式式 0/0 由由罗罗必必塔塔法法则则，得得 )()()(limsBsAsskipsii )()()()(limsBsAsAsskipsiiisssBsA )()(第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭复数)84)(1(73)(22 ssssssF例：例：极点：极点： jjpjjpp 22,22, 1321P2, P3为共轭复数

28、为共轭复数 )22)(22)(1(732jsjsssssF 22221321jskjsksk 求系数求系数1)84)(1(73)1(1221 sssssssk2222224141)84)(1(73)22( jjsejsssssjsk 234141 jejk *23kk 逆变换逆变换2241224111)(jsjjsjssF )(4141)()22()22(tujejeetftjtjt )()(41222tueejeetjtjtt )(2sin212tuteett )(22cos212tuteett 方法方法2利用利用22000)(sin stet841)(2 sscBssAsF通分，通分，分子

29、分子比较比较系数，系数，同阶同阶次系次系数一数一样样 222)2(111 sssF222)2(22111 ss2, 20 )()2sin21()(2tuteetftt 2)2)(1()2()1(2)2(2222 ssCsBssA 7283341CBACBABA 101CBA第三种情况：高阶极点第三种情况：高阶极点例：例：232122)1(12)1)(2()( skskskssssFk1,k3求解方法同第一种情况：求解方法同第一种情况：4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk32 k2)1(11324)( ssssF )(34)()(21tuteee

30、sFLtfttt 普通情况普通情况如何求如何求k 2 ?设法使部分分式只保管设法使部分分式只保管k2，其它分式为，其它分式为0对原式两边乘以对原式两边乘以(s+1)232222)1(2)1(2ksksksss 令令1 s时时，只只能能求求出出 k3=1，若若求求 k2，两两边边再再求求导导。右右 3212)1(2)1(kkssksdsd0)2()1()2)(1(222211 ksskkss左左= )()1(2sFsdsd 22222)2(4)2()2(22 sssssssssdsd此时令此时令s=-1右右=k2左左3)2(4122 ssss32 k逆变换逆变换普通情况普通情况211311121

31、111)()()()()( kkkkpskpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求 k11，方方法法同同第第一一种种情情况况：1)()(111psksFpsk 求其它系数，要用求其它系数，要用 1)()!1(1111psiiisFdsdik , i=1,2,3k 注意：注意：k次重根，要设次重根，要设k项项当当 i=2,1)(112pssFdsdK 当当 i=3,1)(2112213pssFdsdK 两种特殊情况两种特殊情况非真分式真分式多项式非真分式真分式多项式例：例：61161531258)(23234 ssssssssF作长除法作长除法)(261163322)(12

32、32sFssssssssF )(2)(21ttsL )()65()(3211tueeesFLttt )(65)(2)()(32tueeetttfttt 含含e-s的非有理真分式的非有理真分式e-s项不参与部分分式运算，用时移性质项不参与部分分式运算，用时移性质例：例：ssesFssse2122)(52 4)1(14)1(14)1()(2221 ssssssF )(2sin212cos)()(111tutetesFLtftt )(2sin2cos221tuttet 0)()(0stesFttf sesFLtf211)()( )2()2(2sin)2(2cos221)2( tuttet4.7 4.

33、7 瞬态分析的拉普拉斯变换法瞬态分析的拉普拉斯变换法主要内容主要内容重点重点微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换利用元件的利用元件的s s域模型求解瞬态电路域模型求解瞬态电路例例1 1例例2 2例例3 3例例4 4例例5(5(含互感含互感) )例例6 6例例7 7 例例8 8利用元件的利用元件的s s域模型求解瞬态电路域模型求解瞬态电路一一.用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤列列 s 域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的 s 域模型建立代数方程。

34、域模型建立代数方程。 求解求解 s 域方程。域方程。 )()(tfsF，得到时域解答。，得到时域解答。 二二. .微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换)0()()( fssFdttdf )0()0()()0(0)(22 fsfsFsffssFsdttdf)()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn 微分方程的普通方式微分方程的普通方式拉氏变换的微分性质拉氏变换的微分性质例例1:解：解：求求?)( tuc(1)求起始形状求起始形状Euc )0(2)列方程列方程)()()(tetud

35、ttduRCcc (3)等式两边取拉氏变换等式两边取拉氏变换(单边单边)： sEsUussURCccc )()0()(已已知知 0,0,)(tEtEte,求求?)( tuc求求?)( tuR- -+ +)(teRC )(tuC )(tuR)(tiC(4)求反变换求反变换 RCssEsUc121)()(2)(tuEeEtuRCtc 求求uR(t)(1)EuuRR2)0(, 0)0( (2)以以)(tuR为为变变量量列列微微分分方方程程)()()(1 tetudtRtuCRtR (3)对对上上式式两两边边进进行行微微分分dttdedttdutuRCRR)()()(1 )()()(tEutEute

36、)(2)(tEdttde (4)对对微微分分方方程程两两边边取取拉拉氏氏变变换换EussUsURCRRR2)0()()(1 00 RuRCsEsUR12)( )(2)(tuEetuRCtR - -+ +)(teRC )(tuC )(tuR)(tiC采用采用0+系统求系统求uR(t) dttdedttdutuRCRR)()()(1 EuR20 0)( dttde原方程取拉氏变换：原方程取拉氏变换：02)()(1 EssUsURCRR两种方法结果一致两种方法结果一致三三. .利用元件的利用元件的s s域模型求解瞬态电路域模型求解瞬态电路1.电路元件的电路元件的s域模型域模型电阻：电阻：R )(sU

37、R)(sIRRsIsURR )()(RsUsIRR)()( 电感：电感：)0()()( LLLLiLssIsU)0(1)()( LLLisLssUsIdttdiLtuLL)()( 电容元件的电容元件的s s域等效模型域等效模型)0(11)()( CCCussCsIsU)0()()( CCCCussCUsI tcCdiCtv )(1)(2.2.电路定理的推行电路定理的推行)()(sIti)()(sUtuKCL： 0)(0)(sItiKVL： 0)(0)(sUtu3.3.求呼应的步骤求呼应的步骤 画画 0等效电路，求起始状态等效电路，求起始状态 画画 s 域等效模型域等效模型 列列 s 域方程域方

38、程（代数方程）（代数方程） 解解 s 域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换 U(S)或或 I(S) 拉氏反变换求拉氏反变换求 tv或或 ti。4.4.例例2 2)()()(tEutEute EuC )0(列列s域方程：域方程：sEsEsCRsIC )1)()1(2)(sCRsEsIC sEsCsIsUCC 1)()(RCsEsEsUC12)( )()1()(tueEtuRCtC 5.例例3如如图图 R、L、C 串联电路，串联电路，已知已知, 0)0(, 0)0( CLui求求?)( tuR解：解：(1)画出画出s域电路模型域电路模型(2)列列s域方程域方程)15 . 01(1)

39、(2ssssI 1)1(11)1(111)()(22 sssssIsURR )(sincos1)(tuttetutR 1RsLs5 . 0 21s sUR sIs1 sI6.例例4如如图图电电路路，,1,12121HLLRR 开开关关在在 t=0 时时闭闭合合，求求0 t时时的的)(2tu。(1) t=0 时时 ，画画出出 0等等效效电电路路Aii2)0(, 0)0(21 (2) 0t，画出，画出 S 域电路模型域电路模型(3 )列列 方方 程程 ： 221122sLRsLRsIs 1R1L ti1 ti22R2L tu2 V21L1R2R2L V2 01i 02i 02u sI2R 1 11

40、 RssL 2 2022 iL sU2s2ssL 1反变换？反变换？2. t 1. t )(11122)(2sIsssssI 121)0()()(2222 iLssIsU)()(2ttu )(1)()(112tusLsILti )()()(22tdttdiLtu 210t ti27.7.含互感的电路含互感的电路 dttdiMdttdiLtu2111 dttdiMdttdiLtu2111 对方程两边进展拉氏变换对方程两边进展拉氏变换 00221111iSsIMissILsU 00112222issIMissILsUSM sI21SL2SL sU1 sU2 011iL 022iL 01Mi 02M

41、i * sI1* ti1 ti2 tu1 tu21L2L 8.例例5求求0 t时时的的 tutik,1(1)画画出出 0t时时的的等等效效电电路路 Aii100021 (2)0 t时时的的 s 域域电电路路图图(3)列列方方程程* 4 2 2V100 H4HM 2 H4 ti1 ti2 tuk 4 2 2 sVKs100ssL41 ssL42 sI2 sI1s 2. 01Li 02Li 02Mi 01Mi ssIMiLis42400100121 9.例例6已已知知 tutfvuAiCl2,20,10 ,求求 ty画出画出0 t的的 S 域等效电路模型如下图域等效电路模型如下图列列节节点点电电压

42、压方方程程： 111212111 sLsCsssUsLsCC 1H1F1 tvc 1 ty tf 1 SUCss1s2 ssUC20 1 sy 10 LLi 主要内容主要内容重点重点难点难点系统函数系统函数LTILTI互联的系统函数互联的系统函数并联并联级联级联反响衔接反响衔接系统函数系统函数反响衔接反响衔接系统的表征：系统的表征：1.微分方程微分方程 2.冲激呼应：冲激呼应：h(t)3.系统函数：系统函数：H(j )在在s域中，单输入单输出情况下，系统的零域中，单输入单输出情况下，系统的零形状呼应形状呼应)(th sH te sE tr sR,)()()(sEsRsH 当当)()(tte 系

43、统的零形状呼应：系统的零形状呼应：)()(thtr )()(sHsR )()(sHthL 系统函数系统函数 的定义：的定义：定义：系统零形状呼应的拉氏变换与鼓定义：系统零形状呼应的拉氏变换与鼓励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函数。数。)(sH)()()(sEsRsH谋划点函数：鼓励与呼应在同一端口时谋划点函数：鼓励与呼应在同一端口时NoImage)()()(11sVsIsH 谋划点导纳谋划点导纳)()()(11sIsVsH 谋划点阻抗谋划点阻抗转移函数：鼓励和呼应不在同一端口转移函数：鼓励和呼应不在同一端口NoImage)()()(12sVsIsH )()()

44、(12sIsVsH )()()(12sVsVsH )()()(12sIsIsH (2)零形状下，由零形状下，由s域电路模型，列域电路模型，列s域方程，域方程， sEsRsH (3)设输入为设输入为(t)，零形状下微分方程两端，零形状下微分方程两端取拉氏变换取拉氏变换 sEsRsH sHth(1)给定系统微分方程：给定系统微分方程：dttdedttedtrdttdrdttrd)(6)(2)(6)(5)(2222 鼓励信号鼓励信号)()1()(tuetet 求求系系统统的的冲冲激激响响应应)(th及及零零状状态态响响应应)(trzs解：解：(1)原方程两端取拉氏变换原方程两端取拉氏变换(设输入为设

45、输入为(t),零形状下零形状下): sssEsssR62)(65)(22 那么：那么：24222)( ssssH)(4)(2)(2tuettht )()()(tethtrzs (2)()()(sEsHsRZS )1(1222)( ssssssRZS1226)1)(2()12(2 sssss)(6)(2)(2tuetuetrttZS 知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描画此系统的微分方程。描画此系统的微分方程。 te tr s13解：解： 313111 ssssH sEsRsH sEsRssR 3)()(3)(tetrdttdr sH1 sH2

46、sE sR ththth21)()()(21sHsHsH sH1 sH2 sE sR)()()(21ththth )()()(21sHsHsH sH1 sH2 sE sR sE1 sE2 )()()(21sEsEsE )()()(22sHsRsE )()()()(21sEsEsHsR )()()()(211sEsHsEsH )()()()()(211sRsHsHsEsH )()(1)()()()(211sHsHsHsEsRsH 主要内容主要内容重点重点难点难点主要优点：主要优点： 1.可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性； 2.便于呼应的划分自在便于呼应的划分自在/强迫，瞬态强迫，瞬

47、态/稳态；稳态； 3.可以用来阐明系统的正弦稳态特性；可以用来阐明系统的正弦稳态特性； 4.描画系统的频响特性；描画系统的频响特性； 5.便于系统稳定性的研讨。便于系统稳定性的研讨。)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH nkkmjjpszsK11)()(:,21nzzz 系系统统函函数数的的零零点点:,21nppp 系系统统函函数数的的极极点点在在 s 平平面面上上，画画出出H s ( )的的零零极极点点图图：极极点点：用用表表示示，零零点点：用用表表示示。)2)(2()1()11)(11()(2jsjssjsjsssH 极点：极点

48、：2, 2, 14321jpjppp 零点：零点： 4321, 11, 11, 0zjzjzz jj 1j 12j 2j1 画出零极图：画出零极图：设设)(sH无无高高阶阶极极点点，展展开开部部分分分分式式：nnpsKpsKpsKsH 2211)()()(1sHLth )()()(2121tueKtueKtueKtpntptpn 极极点点nppp 21,具具有有频频率率的的量量纲纲，称称为为固固有有频频率率或或称称为为自自然然频频率率。因因为为)(sH的的零零、极极点点决决定定于于系系统统本本身身的的特特性性。三、三、 由系统函数的极零点分布由系统函数的极零点分布决议决议 时域特性时域特性1时

49、域特性时域特性h(t)niimjjpszsksH11)()()(反变换反变换niinitpiniiithekpskLthi1111)()(第第 i个极点决议个极点决议总特性总特性Ki与零点分布有关与零点分布有关2 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(a)一阶极点在原点一阶极点在原点j01pSsH1)(t)(th)()(tuth(b)一阶极点在负实轴一阶极点在负实轴j0SsH1)(t)(thteth)(te1p(c)一阶极点在正实轴一阶极点在正实轴j0SsH1)()(tht0teth)(te1p(d)一阶共轭极点在虚轴上一阶共轭极点在虚轴上j01j1j2121)(SsH)(.sin)(1tut

50、tht)(th01p2pj01j1j212)(SSsH)(.cos)(1tutth(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点共轭极点在虚轴上，原点有一零点t)(th01p2p(f)共轭极点在左半平面共轭极点在左半平面j01j1j2121)()(SsH)(.sin)(1tutethtt)(th02p1p(g)共轭极点在右半平面共轭极点在右半平面j01j1j2121)()(SsH)(.sin)(1tuttht)(th01p2p3 有二重极点分布有二重极点分布(a)在原点有二重极点在原点有二重极点j21)(SsH)(tht0tth)(j2)(1)(SsH)(tht0tteth)(b)在负实轴上有二重极点在

51、负实轴上有二重极点(c)在虚轴上有二重极点在虚轴上有二重极点j2212)(2)(SSsH)(tht0ttth1sin)(3 有二重极点分布有二重极点分布(d)在左半平面有二重共轭极点在左半平面有二重共轭极点j2212)()(2)(SSsH)(tht0ttetht1sin)(1j1j极点影响小结：极点影响小结：极点落在左半平面极点落在左半平面 h(t) 逞衰减趋逞衰减趋势势极点落在右半平面极点落在右半平面 h(t)逞增长趣逞增长趣势势极点落在虚轴上只需一阶极点极点落在虚轴上只需一阶极点 h(t) 等幅振荡，不能有重极点等幅振荡，不能有重极点极点落在原点极点落在原点 h(t)等于等于 u(t)4

52、零点的影响零点的影响221)()(asassH222)()(asssH0ztethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat0z零点挪动零点挪动到原点到原点4 零点的影响零点的影响零点的分布只影响时域函数的幅度零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率和相移，不影响振荡频率tethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat幅度多了幅度多了一个因子一个因子多了相移多了相移)()(sEte vkkueePszssE11)()()()()(sHth niimjjPszssH11)()()()()(sRtr vkkueeniimjjPszspszssR1111

53、)()()()()( vkkkniiipsApsAsR11)( vktpknitpitueAtueAsRLtrki111)()()()(自在呼应与强迫呼应自在呼应与强迫呼应niimjjvkkullpszspszssHsEsR1111)()(.)()()().()(vkkkniiipskpsksR11)(tpvkknitpikiekektr11)(来自来自H(s)的极点的极点来自来自E(s)的极点的极点自在呼应自在呼应强迫呼应强迫呼应结论结论H(s)的极点决议了自在呼应的振荡频率，的极点决议了自在呼应的振荡频率，与鼓励无关与鼓励无关自在呼应的幅度和相位与自在呼应的幅度和相位与H(s)和和E(s)

54、的的零点有关，即零点影响零点有关，即零点影响 K i , K k 系数系数E(s)的极点决议了强迫呼应的振荡频率，的极点决议了强迫呼应的振荡频率，与与H(s) 无关无关用用H(s)只能研讨零形状呼应，只能研讨零形状呼应， H(s)中零中零极点相消将使某固有频率丧失。极点相消将使某固有频率丧失。暂态呼应与稳态呼应暂态呼应与稳态呼应系统系统H(s)的极点普通是复数，讨论它们的极点普通是复数，讨论它们实部和虚部对研讨系统的稳定性很重要实部和虚部对研讨系统的稳定性很重要不稳定系统不稳定系统 增幅增幅临界稳定系统临界稳定系统 等幅等幅稳定系统稳定系统 衰减衰减0Reip0Reip0Reip鼓励鼓励E(s

55、)的极点影响的极点影响鼓励鼓励E(s)的极点也能够是复数的极点也能够是复数增幅，在稳定系统的作增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统用下稳下来，或与系统某零点相抵消某零点相抵消等幅，稳态等幅，稳态衰减趋势，暂态衰减趋势，暂态0Rekp0Rekp0Rekp稳态呼应和暂态呼应稳态呼应和暂态呼应对于稳定系统：对于稳定系统：HS极点的实部都小极点的实部都小于于0自在呼应就是暂态呼应自在呼应就是暂态呼应假设鼓励假设鼓励E(s)的极点的实部大于或等于的极点的实部大于或等于0，强迫呼应就是稳态呼应强迫呼应就是稳态呼应正弦稳态呼应：正弦信号作用下的强迫正弦稳态呼应：正弦信号作用下的强迫呼应呼应假设鼓励本身为

56、衰减函数，强迫呼应与假设鼓励本身为衰减函数，强迫呼应与只需呼应一同组成暂态呼应，稳态呼应只需呼应一同组成暂态呼应，稳态呼应为为0呼应函数呼应函数r(t)由两部分组成：由两部分组成：系统函数的极点系统函数的极点自在呼应分量；自在呼应分量；鼓励函数的极点鼓励函数的极点强迫呼应分量。强迫呼应分量。自在呼应的极点只由系统本身的特性所决议，自在呼应的极点只由系统本身的特性所决议，与鼓励函数的方式无关。与鼓励函数的方式无关。呼应也可划分为暂态呼应和稳态呼应。呼应也可划分为暂态呼应和稳态呼应。各呼应的系数与各呼应的系数与E(s)和和 H(s)都有关。都有关。定义定义假设一个系统对于有界鼓励信号产生有假设一个系统对于有界鼓励信号产生有界的呼应，那么该系统是稳定的；界的呼应，那么该系统是稳定的；假设对于有界鼓励产生无限增长的呼应，假设对于有界鼓励产生无限增长的呼应，那么系统是不稳定的。那么系统是不稳定的。稳定性是系统本身的性质之一，系统能否稳稳定性是系统本身的性质之一，系统能否稳定与鼓励信号无关。定与鼓励信号无关。从从时时域域看看，要要满满足足0)(lim tht从从频频域域看看要要求求 sH的的极极点点： 右右半半平平面面不不能能有有极极点点(稳稳定定) 虚虚轴轴上上极极点点是是单单阶阶的的(临临界界稳稳定定,实实际际不不稳稳定定)。若若 sH的的全全部部极极点点位位于于 s 平平面面的的