1_连续系统仿真模型

1、连续系统仿真概论连续系统仿真概论Chapter 1系统的数学模型系统的数学模型v系统数学模型的重要性系统数学模型的重要性 系统仿真分析必须已知数学模型系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础本课程数学模型是基础v系统数学模型的获取系统数学模型的获取 建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型v模型特征模型特征 连续系统、离散时间系统连续系统、离散时间系统1.1连续系

2、统模型描述连续系统模型描述 v连续系统连续系统 系统状态变化在时间上是连续的系统状态变化在时间上是连续的 可用方程式描述系统模型可用方程式描述系统模型 常微分方程、偏微分方程、差分方程常微分方程、偏微分方程、差分方程v模型分类模型分类 连续时间模型连续时间模型(常微分、传递函数、状态空间常微分、传递函数、状态空间) 离散时间模型（差分方程、离散时间模型（差分方程、z传递函数）传递函数） 连续连续离散混合模型（计算机控制系统）离散混合模型（计算机控制系统）1.1.1 连续时间模型连续时间模型v分类分类 常微分方程常微分方程 传递函数传递函数 状态空间描述状态空间描述系统u输入y输出常微分方程常微

3、分方程v输入输入/输出模型输出模型 其中其中: 系统的阶次系统的阶次 系统的结构参数系统的结构参数 输入函数的结构参数输入函数的结构参数101111201111nnnnnnnnnnnd ydydyaaaa ydtdtdtduduccc udtdt), 2 , 1 , 0(niai(0,1,2,1)jc jnn实实参参数数（1）例RLC电路。(2-1)设电源电压为 ，流过电感的电流为 ，电容端的电压为 ，负载电路输入等效电阻为 。根据Kirchhoff电压定律（KVL）和电流定律（KCL），可以写出系统的动态模型方程为)(tu)(tiL)( tucR0)()()(0)()()(tutudttdi

4、LtidttduCRtucLLcc)()()()(22tutudttduRLdttudLCcccv若系统初始条件为零，对（若系统初始条件为零，对（1）式两边取拉）式两边取拉氏变换整理得：氏变换整理得：传递函数传递函数nnnnnnnnasasasacscscscsUsYsG1110121110)()()(（2）)()()()()(2121nmpspspszszszsKsG零极点形式), 1(nipi), 1(mjzj为系统极点(poles)为系统零点(zeros)0111011)()(asasasbsbsbsUsYnnnmmmmnum=bm,bm-1,b0;den=1,an-1,a0;G=tf(

5、num,den) 多项式表示的传递函数的描述132106126)(23423ssssssssG【例】num=6,12,6,10;den=1,2,3,1,1;G=tf(num,den)G = 6 s3 + 12 s2 + 6 s + 10 - s4 + 2 s3 + 3 s2 + s + 1对于复杂的表达式)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列语句来输入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 21231349

6、5566024032045sssssssssss 零极点表示的传递函数的描述)()()()()(2121nmpspspszszszsKsG4(1)( )(3)(4)(5)sG ssssk=4;z=-1;p=-3,-4,-5;G=zpk(z,p,k)【例】G=zpk(z,p,k)多项式和零极点的转换num,den=zp2tf(z,p,k)z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)G=tf(num,den)z,p,k=tf2zp(num,den)状态空间描述状态空间描述v 系统内部模型系统内部模型v 内部变量内部变量状态变量状态变量v 状态空间模型的一般形式状

7、态空间模型的一般形式 状态方程状态方程 : （3） 输出方程输出方程 : （4）BUAXXYCXDU,numXRURYR状态空间描述状态空间描述v状态空间描述状态空间描述BUAXXCXY11111221122112222211221212nnnnnnnnnnnnnxa xaxaxb uxaxaxaxb uxaxaxaxb uxxycccx例RLC电路。0)()()(0)()()(tutudttdiLtidttduCRtucLLcc(t)(t),(t)(u(t),i (t)(t)(t)110-(t)(t)=+(t)1i (t)1i (t)-0cLcccLLuxuyuuuRCCuLL如果状态变量输

8、入变量输出变量为例MATLAB中，采用函数ss可以定义一个LTI状态空间模型 A=1,2;3,4; B=0;1; C=1,0; D=0; sysa=ss(A,B,C,D)状态空间模型的Matlab表示DuCxyBuAxx 定义4个矩阵即可，再用于其他的模型变换等运算xyuxx01100612A=-2,-1;6,0;B=0;1;C=1,0;eig(A)ans = -1.0000 + 2.2361i -1.0000 - 2.2361i函数eig(A)用来求仿真A的特征值，根据特征值可以判断该线性系统是稳定的【例】一个状态空间模型为1.1.2 离散时间模型离散时间模型 v系统的输入、输出、及内部状态

9、量是时间系统的输入、输出、及内部状态量是时间的离散函数的离散函数时间序列时间序列v分类分类 差分方程差分方程 z传递函数传递函数 离散状态空间模型离散状态空间模型 () , () , () ( ) , ( ) , ( )u kTy kTx kTu ky kx k差分方程差分方程v一般形式一般形式v引入后移算子引入后移算子 v当当 ，写成递推形式，写成递推形式0112()(1)( )(1)(2)( )nna y nka y nka y kbu nkb u nkb y k112()(1)( )(1)(2)( )nny nka y nka y kbu nkb u nkb y k 11,( )(1)q

10、q y ky k01()()nnjjjjjja qy nkb q u nk01a （5）z传递函数传递函数v系统初始条件为系统初始条件为0 0，即，即对（对（6 6）式两边取）式两边取z z变换得变换得v传递函数传递函数( )( )0,(0)y ku kk11011() ( )() ( )nnnnaa za zY zb zb zU z11101( )( )( )nnnnb zb zY zG zU zaa za z0112( )(1)()(1)(2)()nna y ka y ka y knbu kb u kb y kn（6）num=3,2,1;den=1,2,3,4;sysa=tf(num,de

11、n,0.1)printsys(num,den,z) % 输出Z传递函数 num/den = 3 z2 + 2 z + 1 - z3 + 2 z2 + 3 z + 4在MATLAB中，用tf函数可以定义Z传递函数，但是需要指定离散时间间隔，否则定义的就是一个连续系统传递函数。使用printsys函数可以显示Z传递函数，但是需要指定参数z，否则输出就是一个S传递函数。离散状态空间模型离散状态空间模型(1)( )( )( )( )kFkGkkCkxxuyx离散状态空间模型可以由连续时间状态空间模型离散化而得到DuCxyBuAxx 离散相似法)()()()()()()() 1(kDukCxkykuTH

12、kxTGkx1.1.3 连续离散混合模型(Continuous-Discrete Hybrid Model)计算机采样控制系统离散部分：数字计算机，离散形式的控制算法连续部分：连续对象，用连续时间模型描述保持器(Holder)：将离散信号恢复成连续信号的装置零阶保持器设计算机的运算关系为：)()(kTekTu设 采用零阶保持器，即0)( 1)( 1)()(kTkTtkTtkTetu(2-11)e*(t) 是 e(t) 经过采样后生成的脉冲序列，是离散序列，零阶保持器的作用就是将离散序列 e*(t) 变成阶梯状连续信号 u(t)。0)()()(*kkTttete(2-12)零阶保持器可以定义为将

13、 e*(t) 这样的脉冲序列变成阶梯状波形的环节，如下图所示。图中，(a)与(b)两个环节是等价的。sesGsTh1)(因而，零阶保持器传递函数为：(2-13)e*(t) 连续信号 e(t) 采样后的序列；u*(t) 经过 D(z) 运算后的控制序列；u(t) 经保持后的连续信号（如阶梯状）；D(z) 控制器的Z传递函数；Gh(s) 保持器（如零阶）的传递函数；G(s) 被控对象的传递函数。1.2 模型结构变换模型结构变换v模型结构变换模型结构变换 连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上实现出来，首先要把系统的各种描述形式（外实现出来，首先要把系统的各

14、种描述形式（外部模型）转换成内部模型部模型）转换成内部模型-状态空间模型。状态空间模型。 p常微分方程常微分方程 p传递函数传递函数p状态空间描述状态空间描述 1.2.1 外部模型到内部模型的变换外部模型到内部模型的变换 v设连续系统的模型为设连续系统的模型为v软换成状态空间模型的方法软换成状态空间模型的方法（1）引进状态变量）引进状态变量（2）移项得）移项得 1111( )nnnnnnd ydydyaaa yu tdtdtdt112111,nnnndydyxyxxxxdtdt1212121211( )( )nnnnnnnnnnnd ydydyxaaa yu tdtdtdta xa xa xu

15、 t （3）将上述将上述n个一阶微分方程写成矩阵形式可得个一阶微分方程写成矩阵形式可得11223312101000001000000111000nnnnnxxxxxxxuaaaaxxyx = 传递函数转化为状态空间不是唯一的 这种实现叫能控标准型v将如下微分方程转换成状态空间模型将如下微分方程转换成状态空间模型v步骤：步骤：（1）转换成传递函数）转换成传递函数（2）整理）整理111101111nnnnnnnnnnnnd ydydyd ududuaaa ycccc udtdtdtdtdtdt1011111( )( )( )nnnnnnnnc sc scscY sG sU ssa sasa1101

16、10100111()()()( )( )( )nnnnnnnnncc a scc ascc aY sG scU ssa sasa（3）令）令 ，则，则（4）写出状态空间实现）写出状态空间实现1111010110101( )( )( )()()() ( )nnnnnnnnnY ssa sasaY sc U scc a scc ascc aY s11223312101000001000000111000nnnnnxxxxxxxuaaaaxxyx =（5）对第（）对第（3）步的）步的 取反拉氏变换取反拉氏变换11110,nonnonoycc acc aca cxc u( )Y s1010110101

17、10101101010101101201()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnyc ucc a scc ascc axc ucc a sycc asycc axc ucc a xcc axcc ax323212301233232d yd ydyd ud uduaaa ycccc udtdtdtdtdtdt状态空间实现举例状态空间实现举例v微分方程模型微分方程模型v状态空间模型状态空间模型11223321010000101nxxxxxuxaaax =3322110,oooyca cca cca cxc uv结构图结构图+ye+x2x1x3c1-a1c0c2-a2c0

18、c3-a3c0-a3-a2-a1c011223321010000101nxxxxxuxaaax =3322110,oooyca cca cca cxc u已知已知 y,u 及其各阶导数初始值为零，试将其转换为状态空间表达式及其各阶导数初始值为零，试将其转换为状态空间表达式)(6)(11)(6)(tutytyty 例：描述系统的微分方程为例：描述系统的微分方程为解：方程两边做Laplace变换)(6)(11)(6)(2sUsYssYsYs写成传递函数就是1166)()()(2sssUsYsGxyuxx06,10611101166)()()(2sssUsYsGxyuxx06,1061110形式11

19、1612 ss6uyxyuxx01,6061110形式2w11612 ss6uyw 外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿真模型也不唯一。一个系统有多种实现，真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最小实现的充要条件是最小实现的充要条件是(A、B、C)为完全能为完全能控且完全能观测。控且完全能观测。 既然一个系统由多种实现，那么必有一部分的A是最小维数的，称为最小实现。由于A 的维数直接对应着仿真模型中的积分器的个数，单纯从仿真模型的简单性方面看，希望采用系统的最小实现作为仿真模型。(A,B,C)称为G(s)的实现。这种实现不是唯一的。最小实现：具有给定传递函数阵

20、G(s)的假想结构的最简形式。最小实现充分必要条件: (A,B,C)完全能控且完全能观，等价于传递 函数没有可以约分的零点和极点。最小实现问题Matlab函数原型：num2,den2 = minreal(num,den)Am,Bm,Cm,Dm=minreal(A,B,C,D)能控性准则：M满秩BAABBMn 1能观性准则：N满秩1nCACACN【例】对于传递函数)3)(2)(1(1)(sssssG0111006116100010CBA不约分，传函写成多项式形式直接得到的实现为61161)(23sssssG其能控性判别矩阵为25616101002BAABBM3)(MRank系统能控其能观性判别矩

21、阵为51161100112CACACN2)(NRank系统不能观系统（A, B, C）虽然能控，但是不能观，所以不是最小实现传递函数进行约分，得651)3)(2(1)3)(2)(1(1)(2sssssssssG01105610CBA得到状态空间实现为其能控性判别矩阵为5110ABBM2)(MRank系统能控其能观性判别矩阵为1001CACN2)(NRank系统能观约分后的系统实现（A, B, C）能控且能观，所以是最小实现21( )56G sssCxyBuAxx )()()()()(sCXsYsBUsAXssX取拉氏变换取拉氏变换)()()()()(sCXsYsBUsXAsIBAsICsUsY

22、sG1)()()()(2-18)状态空间模型到传递函数矩阵的转换状态空间模型到传递函数矩阵的转换虽然由传递函数可以得到不同的状态空间模型，但反过来的转虽然由传递函数可以得到不同的状态空间模型，但反过来的转换结果却是唯一的。换结果却是唯一的。)()()()()(1sCXsYsBUAsIsXMatlab 连续时间模型间的相互转换函数名函数名功能功能num,den = ss2tf(A,B,C,D,iu) 状态空间转化为传递函数Z,P,K = ss2zp(A,B,C,D,IU)状态空间转化为零极点形式A,B,C,D = tf2ss(NUM,DEN)传递函数转化为状态空间Z,P,K = tf2zp(NU

23、M,DEN)传递函数转化为零极点形式A,B,C,D = zp2ss(Z,P,K)零极点形式转化为状态空间NUM,DEN = zp2tf(Z,P,K)零极点形式转化为传递函数minreal最小实现模型结构变换Matlab 连续时间模型间的相互转换1.状态空间到传递函数函数原型：num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)Num为分子多项式系数，den为分母多项式系数，iu为输入代号，用来指定第几个输入，对于单输入，iu=1【例】将下面的状态空间模型转换为传递函数xyuxx01100612A=-2,-1;6,0;B=0;1;C=1,0;D=0;num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,

24、1)printsys(num1,den1)num/den = - 1 - s2 + 2 s + 6Matlab 连续时间模型间的相互转换2. 状态空间到零极点形式函数原型：Z,P,K=ss2zp(A,B,C,D,iu)Z为零点，P为极点，K为增益，Iu为输入代号，用来指定第几个输入，对于单输入，iu=1【例】将下面的状态空间模型转换为零极点形式的传递函数xyuxx01100612A=-2,-1;6,0;B=0;1;C=1,0;D=0;Z,P,K=ss2zp(A,B,C,D,1)Matlab 连续时间模型间的相互转换3. 传递函数到状态空间函数原型：A,B,C,D = tf2ss(num,den

25、)Num是分子多项式，den是分母多项式【例2】 求下面传递函数的状态空间实现15232)(23sssssGnum=2,3;den=1,2,5,1; A,B,C,D=tf2ss(num,den)A = -2 -5 -1 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 0 2 3所得结果既非能控标准型，也不是能观标准型Matlab 连续时间模型间的相互转换4. 传递函数到零极点形式函数原型：Z,P,K = tf2zp(num,den)Num是分子多项式，den分母多项式【例】求下面传递函数的零极点传递函数形式123223)(232ssssssGnum=1,3,2;den=2,3,2,1;Z,P,

26、K=tf2zp(num,den)Z = -2 -1P = -1.0000 -0.2500 + 0.6614i -0.2500 - 0.6614iK = 0.5000Matlab 连续时间模型间的相互转换5. 零极点形式到状态空间函数原型：A,B,C,D = zp2ss(Z,P,K)Z是零点序列，P是极点序列，K是增益【例2】 求下面零极点形式传递函数的状态空间实现) 3() 1()2(4)(2ssssGZ=-2;P=-1,-1,-3;K=4;A,B,C,D=zp2ss(Z,P,K)A = -1.0000 0 0 1.0000 -4.0000 -1.7321 0 1.7321 0B = 1 1

27、0C = 0 0 2.3094D = 0Matlab 连续时间模型间的相互转换6. 零极点形式到传递函数函数原型：num,den = zp2tf(Z,P,K)Z是零点序列，P是极点序列，K是增益【例】求下面零极点形式传递函数的多项式形式传递函数)3() 1()2(4)(2ssssGZ=-2;P=-1,-1,-3;K=4;num,den=zp2tf(Z,P,K)num = 0 0 4 8den = 1 5 7 3Matlab 连续时间模型间的相互转换487. 最小实现最小实现函数原型：num2,den2 = minreal(num,den)Am,Bm,Cm,Dm=minreal(A,B,C,D)

28、【例】 求下面零极点形式传递函数的最小实现) 3)(2)(1() 1()(sssssGZ=-1;P=-1,-2,-3;K=1;num,den=zp2tf(Z,P,K)num = 0 0 1 1den = 1 6 11 6num2,den2=minreal(num,den)1 pole-zero(s) cancellednum2 = 0 0 1den2 = 1.0000 5.0000 6.00001.2.2 面向结构图的模型变换面向结构图的模型变换 面向结构图变换的主要任务：面向结构图变换的主要任务：1）将一个用方框图表示的系统分解为基本环节的连接；）将一个用方框图表示的系统分解为基本环节的连接

29、；2）写出各环节内部的连接方程；）写出各环节内部的连接方程；3）写出各环节之间的连接方程；）写出各环节之间的连接方程；4）根据内部模型方程和连接方程构造整个系统的状态空间模型）根据内部模型方程和连接方程构造整个系统的状态空间模型使用面向结构图的模型变换的好处：使用面向结构图的模型变换的好处：1）不用进行方框图化简；）不用进行方框图化简；2）便于程序化实现）便于程序化实现1.2.2 面向结构图的模型变换面向结构图的模型变换 v将系统描述成结构图的形式将系统描述成结构图的形式v结构图由典型环节组成结构图由典型环节组成 惯性环节、比例环节、积分环节、微分环节惯性环节、比例环节、积分环节、微分环节比例

30、积分环节、一阶超前比例积分环节、一阶超前( (或滞后或滞后) )环节环节+-ss088. 01049. 0100167. 044s+-1017. 01ss075. 011925. 01101178. 01给定信号信号综合1信号综合2比例积分调节器传递函数整流器传递函数电机电枢传递函数传动装置电势系数转速测速反馈系数典型环节典型环节v惯性环节惯性环节(非周期环节非周期环节) 惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程 )()()(tKrtcdttdcT其传递函数为其传递函数为 1)()()(TsKsRsCsG式中式中 T 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 K 惯

31、性环节的增益或放大系数惯性环节的增益或放大系数 环节输出量与输入量成正比，不失真也无环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 KsRsCsG)()()(式中式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。为常数，称为比例环节的放大系数或增益。 v比例环节比例环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程环节，其动态特性方程 dttrTtcti0

32、)(1)(其传递函数其传递函数 sTsRsCsGi1)()()(式中式中Ti为积分时间常数。为积分时间常数。 v积分环节积分环节v微分环节微分环节理想微分环节的特征输出量正比于输入量的理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程微分，其动态方程 dttdrTtcd)()(其传递函数其传递函数 ( )( )( )dC sG sT sR s式中式中Td 称微分时间常数称微分时间常数 v比例积分环节比例积分环节v一阶超前（或滞后）环节一阶超前（或滞后）环节2121KK sKKss11221()1TsKTTT s超前，反之滞后v二阶振荡环节二阶振荡环节(二阶惯性环节二阶惯性环节) 二阶环节的

33、动态方程为二阶环节的动态方程为 222( )( )2( )( )d c tdc tTTc tKr tdtdt其传递函数其传递函数 22( )( )( )21C sKG sR sT sTs222( )2nnnKG sss式中式中 为无阻尼自然振荡角频率，为无阻尼自然振荡角频率， 为阻尼比。为阻尼比。 Tn1二阶环节的处理22222( )( )212nnny sKKu sT sTsss二阶振荡环节可用两个一阶环节串联，再加一个负反馈实现。二阶振荡环节的传递函数为snnns2uy面向结构图的系统描述面向结构图的系统描述)()()()()()(ssUDsUCssYBsYAsBAsDCsUsYiiiii

34、iiiiiiiii 对于任何一个典型环节，可以抽象成：对于任何一个典型环节，可以抽象成：iiiiiiiiUCUDYAYBKsG)(1)(TsKsGsTsGi1)(sTsGd)( 进一步，写成一阶微分方程的形式进一步，写成一阶微分方程的形式面向结构图的系统描述面向结构图的系统描述n个典型环节时，个典型环节时，写成矩阵形式写成矩阵形式系统的动态方程系统的动态方程iiiiiiiiUCUDYAYBBYAYDUCU1200nAAAA1200nBBBB1200nCCCC1200nDDDD nYYYY21nUUUU21将各个环节联将各个环节联起来后，一个环起来后，一个环节的输出和其他节的输出和其他环节的输入发生环节的输入发生了联系，怎么来了联系，怎么来描述这些联系呢？描述这些联系呢？用