D9_1基本概念20160301

1、目录 上页 下页 返回 结束 微积分 上邢顺来电话Q:2286253960高等数学讨论群:206742833 推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 2RRR建立了直角坐标系的平面称为坐标平

2、面，记作( , )|( ,).x yx yP具有性质坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集. 记作 E ( , )|,.x yx yR平面上的点和二元有序实数组一一对应。常把有序数组(x,y)与平面上的点P视作等同的。目录 上页 下页 返回 结束 )(0oPPUPP 00一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(0P 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际

3、问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xxyy0目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 目录 上页

4、下页 返回 结束 (2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心),PU(E邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )目录 上页 下页 返回 结束 D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E

5、;目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 .11 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无xyO目录 上页 下页 返回 结束 *3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx的全体所构成的集合记作,nR即RRRRnnkxxxxkn,2, 1

6、,),(21R中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定义了线性运算的定义:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任给),(2211nnyxyxyxyx线性运算其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量. .R)0, 0, 0(中的坐标原点或零向量称为零元n0 0称为 n 维空间, 目录 上页 下页 返回 结束 的距离距离定义为2211)()(nnyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中两点yxyx或),(),(,21nxxxx点

7、特别与零元 0 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常记作时当n, 0Raxx满足与定元中的变元an. ax 记作nR记作则称 x ), 2, 1(nkaxkk ax),(21naaaa设显然趋于a ,目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设非空点集,nDRDPP

8、fu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数 )arcs

9、in(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录 上页 下页 返回 结束 P65 题 5(3).定义域 0:yyxDP65 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO(3) zxy222222221(5) uRxyzxyzr0Rr求下列函数的定义域目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,(nDPPfR),点 , ),(0PUDP,)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：

10、Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 , 总存在正数 ,切00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA目录 上页 下页 返回 结束 (1)定义中 方式是多种多样的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限.注：（3）函数在一点的极限是否存在，与函数在该点是否有定义，取什么值无关.目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设)0(1sin)(),

11、(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022时当yx22yx 222yx ,总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极限运算法则与一元函数类似，比如 四则运算法则 夹逼准则 等价无穷小代换（因式代换） 但罗比达法则不再成立！多元函数的极限的性质与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性. 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小对函数作恒等变形约去无穷小因子目录 上页 下页 返回 结束 解解: : 221lim)sin(lim)2 , 0(),()

12、2 , 0(),(yxyxyyxyx221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyx 定义域 P0(0,2)为D的聚点.( , )|0,Dx y xy R由积的极限运算法则，得例例2. 求( , )(0,2)sin()lim.x yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyyxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu12ux y目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求极限求极限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy22

13、22200sin()lim,xyx yx yx yxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu1,222x yxy12x00,x 22200sin()lim0.xyx yxy2ux yyxyx222目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求极限求极限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy2222200sin()lim,xyx yx yx yxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu1,222xxy1,0,22200sin()lim0.xyx yxy2ux y0limyy目录 上页 下页

14、返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例4 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例2目录 上页 下页 返回 结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxky

15、xfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例4. 讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 函数 f (P)在 P0 连续必须满足三个条件: 在 P0 有定义, 在

16、P0 的极限存在, 极限值等于函数值. 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数

17、有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 目录 上页 下页 返回 结束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221y

18、xyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 p66,6(6) 222222001 cos()lim.()x yxyxyxye02222222201 cos()lim()x yxyxyexy22222222201()2lim()x yxyxyexy222222001 cos()lim.()x yxyxyexy2222211cos()() , ( , )(0,0).2xyxyx y目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2.

19、多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0,0时，当PP 00有APf)(3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P64 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P133 题 3; *4思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 P64 5(偶)，6(奇)，7(1)，8；第二节 作作 业业

20、 预习预习 第二节偏导数第二节偏导数 目录 上页 下页 返回 结束 求二元函数极限（二重极限）常用的方法：求二元函数极限（二重极限）常用的方法：（1 1）用定义验证其存在；）用定义验证其存在；（2 2）利用适当放缩或变量代换转化为一元函数）利用适当放缩或变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；的极限，再用一元函数中已有的方法；（3 3）消去分子分母中极限为）消去分子分母中极限为0 0的因子；的因子；（4 4）利用极限运算性质或法则，例如夹逼准则）利用极限运算性质或法则，例如夹逼准则（与一元函数相似）；（与一元函数相似）；（5 5）利用函数的连续性）利用函数的连续性目录 上页 下

21、页 返回 结束 解答提示解答提示: :P61 题 2. ),(),(2yxftytxtf称为二次齐次函数 .P61 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P61 题 5(3).定义域 0:yyxDP61 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO目录 上页 下页 返回 结束 P62 题 8.间断点集02),(2 xyyxP129 题 3. 定义域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P129 题 *4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxy

22、xyx212202limxxxDxy42yx1, 则 可见极限不存在目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目录 上页 下页 返回 结束 1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目录 上页 下页 返回 结束 yx

23、yxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解: 利用xxy取所以极限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00目录 上页 下页 返回 结束 3. 证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当yx220 xyyx11sinsin总有 2要证 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222