数值分析PPT学习教案

1、数值数值(shz)分析分析第一页，共24页。差商和差分(ch fn)的基本概念设函数(hnsh) f(x)，其独立变量 x 有一很小的增量x，则相应函数(hnsh)的增量为： f xf xxf xf (x)是函数f (x) 在 x 处沿 x正方向的改变量， 称为(chn wi)函数 f(x)的一阶向前差分又因为f (x)为有限量，故又称为(chn wi)有限差分xffxoxxx第1页/共24页第二页，共24页。差商和差分(ch fn)的基本概念取向前(xin qin)、向后差分的平均值（中心差分）： +=22f xf xf xxf xxf x前后同样(tngyng)，一阶向后差分： f xf

2、xf xx如果 很小，差分和微分之间的差异很小，这是因为 x 0limxfxdffxdxx 第2页/共24页第三页，共24页。差商和差分(ch fn)的基本概念用x的增量x去除(q ch)差分，便得差商（一阶）：向前向前(xin qin)差商差商：向后差商向后差商：中心差商中心差商： f xf xxf xxx f xf xf xxxx 2f xf xxf xxxx它们对一阶导数的逼近度可通过泰勒公式的展开式得到它们对一阶导数的逼近度可通过泰勒公式的展开式得到第3页/共24页第四页，共24页。差商和差分(ch fn)的基本概念泰勒泰勒(ti l)公式：公式： 1!nnnnd fxfxxxndx

3、则则 22212!df xd f xf xxf xxxdxdx向前差商：向前差商： 一阶精度一阶精度 22212!df xd f xf xxf xxxdxdx向后差商：向后差商： 一阶精度一阶精度上两式相减：上两式相减： 333223!df xd f xf xxf xxxxdxdx 中心差商：中心差商： 二阶精度二阶精度第4页/共24页第五页，共24页。差商和差分(ch fn)的基本概念二阶差商二阶差商：对一阶差商再求差商：对一阶差商再求差商 222112xxd fdfdfxdxdxdxf xxf xf xf xxxxxf xxf xf xxx第5页/共24页第六页，共24页。拉普拉斯方程和泊

4、松方程的差分(ch fn)形式二维电磁场泊松方程(fngchng)的边值问题场域D为正方形：，等步长01,01xy1/hN xy(1,1)(2,1)(1,1)N 0(1,2)(1,2)N (1)Nhh2hh2h(1)Nh22222xy 二维静态(jngti)场泊松方程：第6页/共24页第七页，共24页。拉普拉斯方程(fngchng)和泊松方程(fngchng)的差分形式推导差分方程的方法：采用泰勒级数法，将场量展开成泰勒级数，用差商代替(dit)偏导，得到差分方程。不对称(duchn)星形节点第7页/共24页第八页，共24页。拉普拉斯方程和泊松方程的差分(ch fn)形式将任一点的位函数(x,

5、y)沿x轴方向展开为O点位函数0的泰勒(ti l)级数：将节点(ji din)A和C的坐标代入上式：第8页/共24页第九页，共24页。拉普拉斯方程和泊松方程的差分(ch fn)形式为消去(xio q)式中的一阶偏导当h很小时，忽略h的三阶以上(yshng)高次项，得到同样可得第9页/共24页第十页，共24页。拉普拉斯方程(fngchng)和泊松方程(fngchng)的差分形式将上两式代入O点的泊松方程(fngchng)得到(d do)上述过程，直接用差商逐项逼近微分方程中的微商来推导差分方程，称为逐项逼近法。2001120()()()()abcdh wp prq qsr prs qsprqs

6、第10页/共24页第十一页，共24页。拉普拉斯方程(fngchng)和泊松方程(fngchng)的差分形式另外(ln wi)，由二阶差商的定义代替(dit) 。同样，可得 。 将它们代入微分方程，便可同样得到差分方程。第11页/共24页第十二页，共24页。拉普拉斯方程(fngchng)和泊松方程(fngchng)的差分形式正方形网格（对称(duchn)星形节点），即 代入到无源(w yun)区域，可得到拉普拉斯方程或2001120()()()()abcdh wp prq qsr prs qsprqs 第12页/共24页第十三页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解第一类边值问题：

7、|C = g01234hC第13页/共24页第十四页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解yx0V= V0V=0V=0V=0 22222,fx yxy 二维电磁场泊松方程(fngchng)求解方槽中的电位(din wi)分布只考虑网格和边界重合的情况第14页/共24页第十五页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh f 所满足(mnz)的差分方程, i j(1) 雅可比迭代(di di): 12,1,1,1,1,14nnnnni jijiji ji ji jh f缺点： 需要两套存储单元，占用内存较大；需要两套存储单元

8、，占用内存较大； 收敛速度较慢收敛速度较慢第15页/共24页第十六页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解(2) 高斯(o s)赛德尔迭代: 1112,1,1,1,1,14nnnnni jijiji ji ji jh f特点(tdin)： 占用内存较小；占用内存较小； 收敛速度较快；收敛速度较快； 但是当网格数很大时，收敛速度仍然较慢但是当网格数很大时，收敛速度仍然较慢第16页/共24页第十七页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解(3) 超松弛(sn ch)迭代（SOR迭代） 112,1,1,1,1,14nnnni jijiji ji ji jh f特点(tdin)：

9、 适当的松弛因子适当的松弛因子 将大大加快收敛速度将大大加快收敛速度高斯赛德尔迭代的值作为一个中间结果对 和 加权平均，得, i j( ),ni j 1,112,1,1,1,1,44nnni ji ji ji jnnnnnni jijiji ji ji ji jh f 第17页/共24页第十八页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解v 选用何种坐标系；v 选用何种网格（包括(boku)边界）；v 选用何种差分格式（特别是边界）；v 问题的精确度要求；v 初始值选择；v 建立差分方程组；v 选用何种迭代法，及参数选择；v 检验迭代解的收敛和控制迭代结束；v 对问题所得的数值解进行检验

10、。步骤(bzhu)：第18页/共24页第十九页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解流程图：第19页/共24页第二十页，共24页。静态(jngti)场第一类边值问题求解21 sin/l对正方形场域的第一类边界条件：l、m分别(fnbi)是每边的网格数对矩形(jxng)场域的第一类边界条件：221122lml是每边的网格数超松弛迭代（SOR迭代）第20页/共24页第二十一页，共24页。方槽中的电位(din wi)分布迭代(di di)次数：G-S迭代(di di)：8424SOR迭代(di di)：296静态(jngti)场第一类边值问题求解第21页/共24页第二十二页，共24页。课程设计：“计算金属(jnsh)槽中的电位分布” 分别取网格步长为：0.2a、0.02a、0.002a，用雅克比迭代法、G-S迭代、SOR迭代和共轭梯度法（博士生要求必须做共轭梯度法）进行计算，并比较(bjio)它们收敛的迭代次数，总结收敛次数与网格数之间的关系。精度要求为10-6.第22页/共24页第二十三页，共24页。参考