理论力学-第3章1下

1、TSINGHUA UNIVERSITY 平面静定桁架的静力分析平面静定桁架的静力分析 返回返回 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 工程结构中的桁架工程结构中的桁架 桁架的力学模型桁架的力学模型 桁架静力分析的两种方法桁架静力分析的两种方法 桁架的定义桁架的定义 工程中由杆件通过焊接、铆接或螺栓连接而成的结构，工程中由杆件通过焊接、铆接或螺栓连接而成的结构，称为称为“ “ 桁架桁架 ” ”。桥梁里的桁架。桥梁里的桁架。屋架里的桁架。屋架里的桁架。桁架的各种连接方式：铆接、焊接、螺栓连接。桁架的各种连接方式：铆接、焊接、螺栓连接。 桁架中的铰接接头桁架中的铰接接头沈阳机场沈阳机场桁架中的焊接接头桁

2、架中的焊接接头-南京机场南京机场工程中的桁架结构工程中的桁架结构 平面静定桁架的静力分析平面静定桁架的静力分析 工程结构中的桁架工程结构中的桁架TSINGHUA UNIVERSITY 平面静定桁架的静力分析平面静定桁架的静力分析 工程结构中的桁架工程结构中的桁架TSINGHUA UNIVERSITY 平面静定桁架的静力分析平面静定桁架的静力分析 工程结构中的桁架工程结构中的桁架航空航天飞机的发射架航空航天飞机的发射架高压输电线上铁塔的桁架高压输电线上铁塔的桁架 工程结构中的桁架工程结构中的桁架工程要求：工程要求：足够的强度足够的强度不发生断裂或塑性变形；不发生断裂或塑性变形；足够的刚度足够的刚

3、度不发生过大的弹性变形；不发生过大的弹性变形；足够的稳定性足够的稳定性不发生因平衡形式的突然转变而导致的坍塌；不发生因平衡形式的突然转变而导致的坍塌；良好的动力学特性良好的动力学特性抗震性。抗震性。设计要求：设计要求： 要有符合要求的杆件；要有符合要求的杆件； 要有良好的连接件，要有良好的连接件，包括铆钉、销钉及焊缝的连接。包括铆钉、销钉及焊缝的连接。这些就涉及到桁架的类型、杆件的尺寸和材料，但首先是这些就涉及到桁架的类型、杆件的尺寸和材料，但首先是静力学分析。静力学分析。2 2、力学中的桁架模型、力学中的桁架模型 构建桁架的基本原则：构建桁架的基本原则：组成桁架的杆件只承受拉力或压组成桁架的

4、杆件只承受拉力或压力，不承受弯曲。力，不承受弯曲。这样杆件内横截面就承受均匀内力，若承这样杆件内横截面就承受均匀内力，若承受弯矩的话，内力就不是均匀分布的，有些横截面上的内力受弯矩的话，内力就不是均匀分布的，有些横截面上的内力相当大，容易造成杆件的强度失效。相当大，容易造成杆件的强度失效。 二力杆二力杆组成桁架的基本构件。组成桁架的基本构件。 实际上的桁架与理论分析的模型是有差距的，为了便于实际上的桁架与理论分析的模型是有差距的，为了便于理论分析，对实际桁架作以下理论分析，对实际桁架作以下基本假定：基本假定： 1 1、所有杆件只在端部连接；、所有杆件只在端部连接； 2 2、所有连接处均为光滑铰

5、链；、所有连接处均为光滑铰链； 3 3、只在连接处加载；、只在连接处加载； 4 4、杆的重量忽略不计。、杆的重量忽略不计。基本三角形基本三角形 桁架的模型主要由基本的三角形构成的，不同的组装桁架的模型主要由基本的三角形构成的，不同的组装方法就形成了不同的桁架。如图即为从一个基本的三角形方法就形成了不同的桁架。如图即为从一个基本的三角形形成不同的桁架。形成不同的桁架。简化计算模型简化计算模型 如如图是几种简化计算模型。杆子连接之处叫做节点，图是几种简化计算模型。杆子连接之处叫做节点，而杆子就叫杆件。而杆子就叫杆件。模型与实际结构的差异模型与实际结构的差异 模型是从实际结构简化而来的，与实际结构有

6、差异，模型是从实际结构简化而来的，与实际结构有差异，实际的桁架是通过一个连接板铆接或焊接而成，这些杆子实际的桁架是通过一个连接板铆接或焊接而成，这些杆子也是有重量的。如图，铰链处并不完全是铰链，杆子也是也是有重量的。如图，铰链处并不完全是铰链，杆子也是都有重量的，所以这就是简化的结果。都有重量的，所以这就是简化的结果。 桁架分类桁架分类( (一一) )平面桁架平面桁架平面结构，载荷作用在结构平面内；平面结构，载荷作用在结构平面内；对称结构，载荷作用在对称面内。例如图示的塔吊。对称结构，载荷作用在对称面内。例如图示的塔吊。( (二二) )空间桁架空间桁架结构是空间的，载荷结构是空间的，载荷是任意

7、的；是任意的； 结构是平面的，载荷结构是平面的，载荷与结构不共面。与结构不共面。如图发射架就是一个如图发射架就是一个空间桁架空间桁架。 静力分析的基本方法静力分析的基本方法方法要点方法要点 分析桁架受力的基本的方法：分析桁架受力的基本的方法：整体平衡和局部平衡。整体平衡和局部平衡。如图如图三角形，整体是平衡的，从中任取一部分都是平衡的，比三角形，整体是平衡的，从中任取一部分都是平衡的，比如三个杆件是平衡的，三个节点也是平衡的。这样一个整如三个杆件是平衡的，三个节点也是平衡的。这样一个整体平衡和局部平衡的概念就构成了静力分析的方法要点。体平衡和局部平衡的概念就构成了静力分析的方法要点。 计算桁架

8、内力的方法计算桁架内力的方法节节 点点 法法 桁架静力分析方法有节点法和截面法，都是根据整桁架静力分析方法有节点法和截面法，都是根据整体平衡则局部平衡，只是取的局部不同。体平衡则局部平衡，只是取的局部不同。节节 点点 法法以节点为平衡对象；以节点为平衡对象； 节点力的作用线已知，指向可以假设节点力的作用线已知，指向可以假设( (一一般假设为拉力般假设为拉力) )； 不仅可以确定各杆受力，还可以确定连接不仅可以确定各杆受力，还可以确定连接件的受力。件的受力。例例 题题 如图桁架，分析受力情况。如图桁架，分析受力情况。解：解：1.1.首先考察整体平衡首先考察整体平衡确定约束力确定约束力 0CM03

9、680031000 DyFNFDy2600 0 xF0 CxF0 yFNFCy800 指向节点者为压力；指向节点者为压力；背向节点者为拉力。背向节点者为拉力。 解：解：2. 2. 以节点为平衡对象，画出受力图：以节点为平衡对象，画出受力图：所有杆都假设受拉力所有杆都假设受拉力FAB 1600 N (拉拉) ， FAD -1385.6 N (压压)， FBC1385.6 N (拉拉)， FBD -1800 N (压压)， FCD -1600 N (压压)。 对每个节点对每个节点建立平衡方程，建立平衡方程，求解全部未知力求解全部未知力( (假设每个杆件假设每个杆件均受拉力均受拉力) )：例题例题2

10、 求：桁架各杆的内力。求：桁架各杆的内力。解：编号，求内力解：编号，求内力选节点选节点G为研究为研究 对象对象0, 00, 01011 FFFFxy选节点选节点E为研究为研究 对象对象0, 0, 01089 FFFFFFxy选节点选节点H为研究为研究 对象对象)(2045cos, 0779压FFFFFy )(045sin, 0676拉FFFFFx 0, 0, 0564 FFFFFFyx选节点选节点C为研究为研究 对象对象FF 9选节点选节点D为研究对象为研究对象)(2045sin45sin, 07337拉FFFFFFy )(2045cos45cos, 02237压FFFFFFx 选节点选节点A

11、为研究对象为研究对象0, 01 FFy选节点选节点B为研究对象，为研究对象，可求支反力：可求支反力：ByBxFF ,例题例题2 求：桁架各杆的内力。求：桁架各杆的内力。零力杆零力杆 q 如图如图(a)(a)所示：连接不在同一直线上两杆的节点，节点上所示：连接不在同一直线上两杆的节点，节点上 无载荷作用，两杆都为零力杆。无载荷作用，两杆都为零力杆。q如图如图(b)(b)所示：节点只连接两根不共线的杆件，若载荷沿所示：节点只连接两根不共线的杆件，若载荷沿 其中一杆作用，另一杆为零力杆。其中一杆作用，另一杆为零力杆。q如图如图(c)(c)所示：节点连接三根杆件，其中两根共线，且节所示：节点连接三根杆

12、件，其中两根共线，且节 点上无外力作用，第三杆为零力杆。点上无外力作用，第三杆为零力杆。TSINGHUA UNIVERSITY 考察局部桁架的平衡，直接求得杆件考察局部桁架的平衡，直接求得杆件 的内力进而求得节点受力。的内力进而求得节点受力。 用假想截面将桁架截开；用假想截面将桁架截开；静力分析的基本方法之二截面法静力分析的基本方法之二截面法 平面静定桁架的静力分析平面静定桁架的静力分析 桁架静力分析的两种方法桁架静力分析的两种方法 例例 题题 桁架受力如图示。桁架受力如图示。试求：试求：各杆的受力。各杆的受力。首先考察整体平衡求出约束力。首先考察整体平衡求出约束力。FAx= 0； FAy=

13、500N； FE=700N。 0Fx 0ME 0MA 例例 题题3 3 然后用假想截面将桁架截开然后用假想截面将桁架截开，如图用两个截面截开，如图用两个截面截开A A点点附近的两个杆子。附近的两个杆子。例例 题题 3 3 考察局部桁架的平衡，考察局部桁架的平衡，就可以求出就可以求出ABAB、ACAC杆的内力。杆的内力。假设截开的杆子都受拉力，若求出的结果是负值，说明杆假设截开的杆子都受拉力，若求出的结果是负值，说明杆子受压力。子受压力。 FAB= -577 N，FAC = 289 N。 0Fy060cosFFABAC 0Fx060sinF500AB 例例 题题 3 3 若要同时求若要同时求BD

14、BD、BCBC、ACAC杆的受力，按节点法计算就杆的受力，按节点法计算就必须同时考虑必须同时考虑A A、B B两点的平两点的平衡，而用截面法就只需如图衡，而用截面法就只需如图截开桁架考虑如图的局部平截开桁架考虑如图的局部平衡就能求出三杆受力。衡就能求出三杆受力。 例题例题4 用截面用截面法求桁架法求桁架1、2、3杆的内力。杆的内力。解：画整体结构受力图解：画整体结构受力图 列平衡方程列平衡方程0, 0 AxxFF0)765()432(8 aaaFaaaaFaFB)95(41FFFB 0)7654()32(8, 0)( aaaaFaaaFaFFMAyB)113(41FFFAy 0)( FMA2）

15、作截面）作截面I-I，求内力，求内力0)32(4, 0)(1 aaaFaFbFFMAyF)()35(1压FFbaF 0)2(3, 0)(3 aaFaFbFFMAyC)()921(43拉FFbaF )3,;3,()3(4222FFFFFFbbaF 当压当拉03, 0222 babFFFFAyy 例题例题4 用截面法求桁架用截面法求桁架1、2、3杆的内力。杆的内力。例题例题5 已知载荷已知载荷FP和尺寸和尺寸d、l。试求桁架杆。试求桁架杆1、2、3的受力。的受力。 F1F3F2解：解：本例所要求的是本例所要求的是1、2、3杆的受力，如果采用节点法，杆的受力，如果采用节点法，势必要从顶部或底部逐个节

16、势必要从顶部或底部逐个节点求解，显然是很繁杂的。点求解，显然是很繁杂的。如果采用截面法，从如果采用截面法，从1、2、3杆处截开，则要方便得杆处截开，则要方便得多。多。将桁架从将桁架从1、2、3杆处截开，考虑截面杆处截开，考虑截面以上部分的受力和平衡。假设以上部分的受力和平衡。假设1、2、3杆都杆都受拉力。受拉力。F1F3F20AM02P1lFdF3P3lFFd DAB tanld22sinlld0DM3P30F dFlP12FdlF0BM32Psin20FdFdFl(拉拉)(拉拉)(压压)例题例题5 已知载荷已知载荷FP和尺寸和尺寸d、l。试求桁架杆。试求桁架杆1、2、3的受力。的受力。 PP

17、FddldFlF222sin 例题例题6 图示桁架的载荷图示桁架的载荷FP和尺寸和尺寸d均为已知。试均为已知。试求杆件求杆件FK和和JO的受力。的受力。 F FKF JO因为，只要求因为，只要求FK杆和杆和JO杆的受力，所以仍然杆的受力，所以仍然采用截面法。采用截面法。考察截面以上部分的受力和平衡，假设各杆均受拉考察截面以上部分的受力和平衡，假设各杆均受拉力。其中力。其中FG、GH、HI、IJ杆受力的作用线都通过杆受力的作用线都通过F点点和和J点。因此，通过对点。因此，通过对F点和点和J点的力矩平衡方程，可以点的力矩平衡方程，可以分别求得分别求得FFK和和FJO0JM04PdFdFFK4PFF

18、FK0yF0JOFKFF考察截面以上部分的受力考察截面以上部分的受力和平衡，假设各杆均受拉力。和平衡，假设各杆均受拉力。其中其中FG、GH、HI、IJ 杆受杆受力的作用线都通过力的作用线都通过F点和点和J点。点。因此，通过平面力系平衡方程，因此，通过平面力系平衡方程，可以求得可以求得FFK和和FJOFFKFJO 例题例题6 图示桁架的载荷图示桁架的载荷FP和尺寸和尺寸d均为已知。试均为已知。试求杆件求杆件FK和和JO的受力。的受力。 4pFKJOFFF 已知已知: 桁架和载荷桁架和载荷.求求: 杆杆1, 2, 3的内力的内力 FFFFF94,32, 0123 归归 纳纳 应用应用节点法节点法解

19、桁架问题时，必须从只包含两个未知力的解桁架问题时，必须从只包含两个未知力的节点开始。节点开始。 应用应用截面法截面法解桁架问题的关键，在于根据题目的要求，解桁架问题的关键，在于根据题目的要求，恰当地选取截断杆件的截面。由于截面法是应用平面一般恰当地选取截断杆件的截面。由于截面法是应用平面一般力系的平衡方程求杆件内力，因此被截面截断的杆件的数力系的平衡方程求杆件内力，因此被截面截断的杆件的数目一般不要大于三。目一般不要大于三。 在求解复杂桁架中指定杆件的内力时，可以灵活地将节在求解复杂桁架中指定杆件的内力时，可以灵活地将节点法和截面法点法和截面法穿插使用穿插使用，以简化计算。，以简化计算。结论与

20、讨论结论与讨论关于桁架的几点结论关于桁架的几点结论基本假定基本假定 1 1、所有杆件只在端部连接；、所有杆件只在端部连接； 2 2、所有连接处均为光滑铰链；、所有连接处均为光滑铰链； 3 3、只在连接处加载；、只在连接处加载； 4 4、杆的重量忽略不计。、杆的重量忽略不计。基本概念基本概念整体平衡与局部平衡整体平衡与局部平衡基本方法基本方法节点法与截面法节点法与截面法关于桁架的几点讨论关于桁架的几点讨论1 1、零力杆、零力杆桁架中不受力的杆，称为桁架中不受力的杆，称为零力杆零力杆。零力杆的作用：零力杆的作用：保证几何不变性保证几何不变性FBC0FDC0零力杆零力杆 q 如图如图(a)(a)所示

21、：连接不在同一直线上两杆的节点，节点上所示：连接不在同一直线上两杆的节点，节点上 无载荷作用，两杆都为零力杆。无载荷作用，两杆都为零力杆。q如图如图(b)(b)所示：节点只连接两根不共线的杆件，若载荷沿所示：节点只连接两根不共线的杆件，若载荷沿 其中一杆作用，另一杆为零力杆。其中一杆作用，另一杆为零力杆。q如图如图(c)(c)所示：节点连接三根杆件，其中两根共线，且节所示：节点连接三根杆件，其中两根共线，且节 点上无外力作用，第三杆为零力杆。点上无外力作用，第三杆为零力杆。关于桁架的几点讨论关于桁架的几点讨论2 2、桁架的坚固性桁架的坚固性桁架在各种载荷作用下都不发生坍塌桁架在各种载荷作用下都

22、不发生坍塌 ，称为桁架的坚固性又称为几何不可变性。称为桁架的坚固性又称为几何不可变性。所有桁架的基本组成单位都是由三杆通过铰链连接而成的所有桁架的基本组成单位都是由三杆通过铰链连接而成的三角形。在这个基本单位上再附加上或多或少的三角形即三角形。在这个基本单位上再附加上或多或少的三角形即可构成简单或大型的桁架结构。这样的结构具有坚固性。可构成简单或大型的桁架结构。这样的结构具有坚固性。 因为单个三角形都是坚固的，再附上若干三角，则桁因为单个三角形都是坚固的，再附上若干三角，则桁架必然是坚固的。架必然是坚固的。 这表明在基本三角形的基础每增加一个铰链和两根杆，这表明在基本三角形的基础每增加一个铰链

23、和两根杆，则必然是坚固的。则必然是坚固的。几何不可变几何不可变关于桁架的关于桁架的坚固性坚固性几何可变几何可变关于桁架的几点讨论关于桁架的几点讨论 在平面桁架中，关于节点数和杆件数与保持坚固性之在平面桁架中，关于节点数和杆件数与保持坚固性之间的关系：间的关系：关于桁架的几点讨论关于桁架的几点讨论桁架的坚固性桁架的坚固性m = 2 j - 3 坚坚 固固m 2 j - 3 超超 静静 定定m 2 j 3 关于非节点载荷的处理关于非节点载荷的处理 对承载杆进行受力分析，确定杆端受力，再将这些力对承载杆进行受力分析，确定杆端受力，再将这些力作为等效载荷施加在节点上。作为等效载荷施加在节点上。TSIN

24、GHUA UNIVERSITY 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题返回返回 工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题 滑动摩擦力滑动摩擦力 库仑定律库仑定律 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑滑动摩擦时的平衡问题 滚动阻碍概述滚动阻碍概述 TSINGHUA UNIVERSITY赛车后轮的摩擦力是驱动力赛车后轮的摩擦力是驱动力 工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 TSINGHUA UNIVERSITY接触面的计算机模拟接触面的计算机模拟 工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 放大后的接触面放大

25、后的接触面TSINGHUA UNIVERSITY 滑动摩擦力滑动摩擦力 库仑定律库仑定律 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 干摩擦干摩擦固体对固体的摩擦；固体对固体的摩擦；流体摩擦流体摩擦流体相邻层之间由于流速的不流体相邻层之间由于流速的不 同而引起的切向力。同而引起的切向力。干摩擦时的摩擦力干摩擦时的摩擦力库仑定律库仑定律FFPO45FmaxFd运动状态运动状态静止状态静止状态临界状态临界状态FPWFFNTSINGHUA UNIVERSITYFmaxFd运动状态运动状态静止状态静止状态临界状态临界状态FFPO静止状态静止状态FF max = fs FNFFd；FF max；运动状态运

26、动状态临界状态临界状态干摩擦时的摩擦力干摩擦时的摩擦力库仑定律库仑定律TSINGHUA UNIVERSITYFR干摩擦时的摩擦力干摩擦时的摩擦力摩擦角摩擦角FsFN 总约束力总约束力FR与法与法向向约束力约束力FN作用作用线之间的夹角用线之间的夹角用 表示。表示。 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 TSINGHUA UNIVERSITY 开始运动前开始运动前, 角随角随FP的改变而的改变而改变，临近运动改变，临近运动时达到最大值时达到最大值m 0 mm摩擦角。摩擦角。FNFmaxFR m干摩擦时的摩擦力干摩擦时的摩擦力摩擦角摩擦角 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦

27、时的平衡问题 TSINGHUA UNIVERSITY关于摩擦角的两点结论：关于摩擦角的两点结论： 摩擦角是静摩擦力取值范摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示。围的几何表示。 三维受力状态下，摩擦角三维受力状态下，摩擦角变为摩擦锥。变为摩擦锥。自锁及其应用自锁及其应用 主动力作用线主动力作用线位于摩擦角范围内位于摩擦角范围内时，不管主动力多时，不管主动力多大，物体都保持平大，物体都保持平衡，这种现象称为衡，这种现象称为自锁。自锁。 主动力作用主动力作用线与法线之间的线与法线之间的夹角等于摩擦角夹角等于摩擦角时物体处于临界时物体处于临界状态。状态。 主动力作用主动力作用线位于摩擦角范线位于摩擦角范围

28、以外时，不管围以外时，不管主动力多小，物主动力多小，物体都将发生运动。体都将发生运动。TSINGHUA UNIVERSITY螺螺 旋旋 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 自锁及其应用自锁及其应用WEFfrRcbas的重量为重物已知各尺寸1,:求：最小的制动力求：最小的制动力 F1min解解:画分体结构受力图画分体结构受力图考虑制轮考虑制轮O的平衡的平衡0, 0)( RFrWFMoWRrF 考虑到作用力与反作用力考虑到作用力与反作用力WRrFFFFNN 考虑制动杆考虑制动杆AB的平衡的平衡0, 0)(min1 aFcFbFFMNA)(1)(1min1mi

29、n1cWRraFbcFaFbFFNN 当处于临界状态当处于临界状态NsFfF)(1min1cWRraFbfWRr WaRrcfbF )(min1把有关量代入，得把有关量代入，得00)(min1 aFcFbFFMNA考虑制动杆考虑制动杆AB的平衡的平衡 考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑滑动摩擦时的平衡问题 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 已知：已知：三角块和矩形块的质量分别为三角块和矩形块的质量分别为20kg和和10 kg；各部分；各部分 之间的摩擦因数均为之间的摩擦因数均为fs= 0.4 。确定：确定：二物体均不发生运动时，所能施加的最大力。二物体均不发生运动时，所能施加的最大力。解：解

30、：首先分析几种可能运动趋势首先分析几种可能运动趋势 三角块滑动；三角块滑动； 三角块翻倒；三角块翻倒； 三角块与矩形块一起滑动。三角块与矩形块一起滑动。已知：三角块和矩形块的质量分别为已知：三角块和矩形块的质量分别为20kg和和10 kg；各部分；各部分之间的摩擦因数均为之间的摩擦因数均为fs= 0.4 。确定：二物体均不发生运动。确定：二物体均不发生运动时，所能施加的最大力。时，所能施加的最大力。TSINGHUA UNIVERSITY 三角块滑动三角块滑动约束力作用点在约束力作用点在A A、B B 两点之间。两点之间。 三角块滑动时可以用图示的两个平衡方程和库仑定三角块滑动时可以用图示的两个

31、平衡方程和库仑定律求得结果。律求得结果。 三角块和矩形块的质量分别为三角块和矩形块的质量分别为20kg和和10 kg；各部；各部分之间的摩擦因数均为分之间的摩擦因数均为 fs = 0.4。 0Fx0FFP 0Fy0WFN 库仑定律库仑定律NsFfF N48.78FP NW2 .19681. 920 三角块翻倒三角块翻倒约束力作用在角点约束力作用在角点A A。 三角块翻倒时可以用图示的一个平衡方程就能求出结果。三角块翻倒时可以用图示的一个平衡方程就能求出结果。 0MA05 . 0W0 . 1FP N1 .98FP 三角块和矩形块的质量分别为三角块和矩形块的质量分别为20kg和和10 kg；各；各

32、部分之间的摩擦因数均为部分之间的摩擦因数均为 fs = 0.4。NW2 .19681. 920 二者一起滑动二者一起滑动约束力作用点在约束力作用点在C C、D D 两点之间。两点之间。 两者一起滑动时可以用图示的两个平衡方程和库仑定两者一起滑动时可以用图示的两个平衡方程和库仑定律求得结果。现在可以证明，要使两者一起滑动所需的推律求得结果。现在可以证明，要使两者一起滑动所需的推力比仅仅使三角块滑动所需的推力大很多。力比仅仅使三角块滑动所需的推力大很多。 0Fx0FFP 0Fy0WWFN 库仑定律库仑定律NsFfF N7 .117FP 三角块和矩形块的质量分别为三角块和矩形块的质量分别为20kg和

33、和10 kg；各部；各部分之间的摩擦因数均为分之间的摩擦因数均为 fs = 0.4。NWNW1 .98,2 .196 结结 论论三角块不滑动，所能施加的最大力为三角块不滑动，所能施加的最大力为FP 78.48N 三角块不翻倒，所能施加的最大力为三角块不翻倒，所能施加的最大力为FP98.1N三角块与矩形块都不滑动，所能施加的最大力为三角块与矩形块都不滑动，所能施加的最大力为FP 117.7N 上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，可以施加的最大力上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，可以施加的最大力为为FP 78.48N 梯长梯长l，重，重P2=200N，人体重，人体重P1=600N，问此人爬到梯顶

34、而，问此人爬到梯顶而梯不滑倒，梯不滑倒，B处静摩擦因数处静摩擦因数fsB多大？多大？ = arctan4/3, fsA=1/3解：画受力图，列平衡方程解：画受力图，列平衡方程02012 cossincoscos,)(maxlFlFlPlPFMANAB0202 coscossin,)(maxlPlFlFFMNBBA02112 maxtanANAFFPP 0212 PFFNBB tanmax化简：化简：化简：化简：00 max,BNAxFFF)(tanmax102112 ANAFFPP )(tanmax20212 PFFNBB )(max30 BNAFF)5()4(maxmaxNBSBBNASAA

35、FfFFfF 将（将（4）式代入（）式代入（1）式得：）式得：NPPfFsANA42050121 ).(tan 将将FNA值代入（值代入（3）式得：）式得：NFB420 max将将FBmax值代入（值代入（2）式得：）式得：NPFFBNB660502 .tanmax 由（由（5）式得：）式得：64. 0660420max NBBsBFFfTSINGHUA UNIVERSITY滚动阻碍的概滚动阻碍的概念念不平衡力系不平衡力系 刚性约束模型的局限刚性约束模型的局限性根据刚性约束模型，性根据刚性约束模型，得到不平衡力系，即不得到不平衡力系，即不管力管力FT 多么小多么小,都会发都会发生滚动，这显然是

36、不正生滚动，这显然是不正确的。确的。FTFPFFN 滚动阻碍概述滚动阻碍概述 柔性约束模型与滚动阻碍分析柔性约束模型与滚动阻碍分析下面四图即分析全过程。下面四图即分析全过程。变形变形, ,未滚动未滚动 轮子压在地面上，地面轮子压在地面上，地面就凹陷下去，因此刚压下去就凹陷下去，因此刚压下去时轮子没有滚动。时轮子没有滚动。滚动，分布力系滚动，分布力系 若再加一个拉力，轮子若再加一个拉力，轮子对前面的地面就有压力，地对前面的地面就有压力，地面产生不均匀分布的约束力面产生不均匀分布的约束力，对这些约束力进行简化。，对这些约束力进行简化。分布力系合成分布力系合成 得到一个合力，得到一个合力，将这个合力

37、分解成水将这个合力分解成水平方向和铅垂方向的平方向和铅垂方向的两个分力。这就是分两个分力。这就是分布力系的合成。布力系的合成。向向A A点简化结点简化结果，滚动阻力果，滚动阻力偶偶M f 。 然后向然后向A A点简化，得到一个点简化，得到一个力（滑动摩擦力）力（滑动摩擦力）F F和一个力偶和一个力偶Mf 。拉力。拉力FT和和F组成一个力偶组成一个力偶，使轮子滚动；而，使轮子滚动；而Mf则阻碍轮则阻碍轮子的滚动。这个力偶子的滚动。这个力偶Mf就是滚就是滚动阻碍，叫做滚动阻力偶。动阻碍，叫做滚动阻力偶。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY滚动阻力偶矩的取值范

38、围滚动阻力偶矩的取值范围0 M f M f max其中其中 M f maxFN 滚动阻碍系数滚动阻碍系数(长度单位长度单位) 滚动阻碍概述滚动阻碍概述 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式Pi 各个微小部分所受的重力各个微小部分所受的重力PPi 合力的大小合力的大小xc、yc、zc 物体重心物体重心C C的坐标的坐标xi、yi、zi 每一微小部分重心的坐标每一微小部分重心的坐标由合力矩定理由合力矩定理iiCxPPx iiCyPPy 因为重心的位置与物体在空间的位置无关，设想将物体连因为重心的位置与物体在空间的位置无关，设想将物体连同坐标系绕同坐标系绕x

39、 x轴逆时针转过轴逆时针转过9090，这时，重力，这时，重力PiPi和和P P都与都与y y轴平轴平行面方向相反，再对行面方向相反，再对x x轴取矩，可得：轴取矩，可得：iiCzPPz 重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式 PxPxiic PyPyiic PzPziic 在上式中，如以在上式中，如以Pimig，PMg代入，在分子分母代入，在分子分母中消去中消去g g，得到，得到Mxmxiic Mymyiic Mzmziic 上式称为上式称为质心质心( (质量中心质量中心) )坐标公式坐标公式，在均匀重力在均匀重力场内，质量中心与其重心的位置相重合。场内，质量中心与其重心的位置相重合。mmAAyAyAAyAycciiiCiic9010501027010301030010150)105010270(033333332122112121 C1C25027030300yzCyC确定形心位置确定形心位置 TSIN