第4章 图像基本变换

1、背景l 图像变换：指在不同空间对图像进行的变换l 目的：为了快速和有效地对图像进行处理，l 通常需要：空域空间变换空间处理空域空间l 图像的变换空间具有特殊的性质，有利于进行滤波等处理l 正变换：空域空间变换空间l 反变换（逆变换）：变换空间空域空间n 图像变换的方法和种类很多，其原理和效果是不同的n 变换不同的原因是不同变换其变换核存在差异n 变换之后的有利特性有：可分离性、对称性、正交性（1）变换核反向变换核正向变换核一 维 情 况二维情况的正反变换(2) 可分离性变换核可分离2D变换=1D变换+1D变换(3) 对称性此时，一个2D变换可借助两个同样的1D变换来计算。变换可用矩阵形式描述：

2、反变换利用矩阵形式的变换表示，得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵乘积，减少冗余和操作次数。(4) 正交性称为正交变换。正交变换的逆变换仍是正交变换。Jean Baptiste Joseph FourierBorn: 21 March 1768, FranceDied: 16 May 1830任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式http:/ Fourier变换是数学棱镜，将函数基于频率分成不同成分空间坐标函数Fourier Transform频率成分1-D Discrete Fourier Transfo

3、rm实数：real；虚数：Image变换核正弦信号的傅里叶频谱n 均值为0n 两条竖线（共轭对称）为频谱响应n Fourier变换得频率单位和正弦频率单位不同空间频率空间域（正弦波形的浓淡变化）2-D离散函数的平均值2-D傅立叶变换的频谱（幅度函数）、相位角和功率谱（频谱的平方）定义如下：频（幅度）谱相位角功率谱img = rgb2gray(imread(tiananmen.jpg);img = imresize(img, 0.5); fftresult = fft2(img);fftimg = fftshift(fftresult); ampfft = abs(fftimg); phasef

4、ft = angle(fftimg); ifftimg = ifft2(fftresult); figure(1);subplot(221); imshow(img); title(原始图);subplot(222); imshow(255* ampfft/max(ampfft(:); title(频谱图);subplot(223); imshow(255* phasefft/max(phasefft(:); title(相位图);subplot(224); imshow(ifftimg,); title(复原图);（1）平移定理推导(2)旋转定理(3)尺度定理效果相反幅度也受影响比较结果(4

5、) 纯剪切定理l 纯剪切指沿水平或垂直方向的剪切。水平剪切描述了水平方向的剪切失真，垂直剪切描述了垂直方向的剪切失真l 比如正方形的剪切失真结果，高度和宽度不变，具有相同面积(5) 复合剪切定理（自学）将平移定理和尺度定理相结合可得到复合剪切定理：复合剪切可看作水平剪切和垂直剪切的组合，故：先水平后垂直先垂直后水平次序不同产生的结果是不一样的不一样(6) 仿射定理（自学）前述5个定理实际上是仿射定理的特例。仿射定理的通用形式：其中，(7) 卷积定理卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。空间卷积频域乘

6、积(8) 相关定理相关定理指出：两个函数在空间的相关与它们的傅立叶变换（其中一个为其复共轭）在频域的乘积构成一个变换对，而两个函数（其中一个为其复共轭）在空间的乘积与它们的傅立叶变换在频域的相关构成一对变换。相关函数，是指两个信号之间相似性的一种量度傅立叶变换可用于与卷积密切有关的相关运算（Correlation）。匹配模板bw = im2bw(imread(text.jpg);a = bw(46:59, 82:93);C = real(ifft2(fft2(bw) .* fft2(rot90(a,2),256,256);thresh = max(C(:)-11; figuresubplot(

7、131); imshow(bw);subplot(132); imshow(C,);subplot(133); imshow(Cthresh);另一个例子img = rgb2gray(imread(demo4.jpg);r c = size(img); img1 = img(:, floor(2*c/3):end); corr = real(ifft2(fft2(img) .* fft2(rot90(img1,2),r,c); thresh = 1.15*mean(corr(:); figuresubplot(221); imshow(img); title(orignal);subplot(

8、222); imshow(img1); title(cropped image);subplot(223); imshow(corr,); title(correlation);subplot(224); imshow(corrthresh,); title(matching points);快速傅立叶变换：根据傅立叶变换的可分离性，2D变换可分解为两次连续的1D变换得到。计算结果存储，备查在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，分量解释信号的部分，而分量决定信号的形象。在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程

9、度，也就是图像灰度的变化速度，即图像的大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到上来观察图像的特征。即：傅里叶变换提供了一条从空域到频域自由转换的途径。图像变换在图像处理中的应用沃尔什变换(Walsh Transform, WT)l 由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成，运算量大。在特定问题中，往往引进不同的变换方法，以求运算简单且变换核矩阵产生方便。 l Walsh Transform 中的变换矩阵简单（只有1

10、 和1），占用存储空间少，产生容易，有快速算法，在需要实时处理大量数据的图像处理问题中，应用广泛。l Walsh和哈达玛变换相比傅立叶变换缺乏明确的物理意义和比较直观的解释。ux012345670+1+-2+-+-3+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-N=8时时1DWalsh变换核的值变换核的值行列正交性、行列正交性、对称性对称性反变换核反变换核反变换反变换1-D Walsh变换的离散形式变换的离散形式Example:一维Walsh变换的物理意义n正如一维傅立叶变换（连续）是将一个函数分解成无穷个正弦波的叠加，而傅立叶幅度谱是这些正弦波的幅度系数。n一维Walsh

11、变换（连续）是将一个函数分解成无穷个Walsh函数（方波）的叠加，而F(u)是这些Walsh函数的幅度系数2-D Walsh变换正反变换核正反变换核正反变换正反变换2-D Walsh变换的矩阵形式Example:解:?能量集中性质能量集中性质1-D Hadamard Transform变换核变换核Walsh变换核Exampleux012345670+1+-+-+-+-2+-+-3+-+-+4+-5+-+-+-+6+-+7+-+-+-ux012345670+1+-2+-+-3+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-N=8时时1DWalsh变换核的值变换核的值行列正交性、

12、行列正交性、对称性对称性行列正交性、行列正交性、对称性对称性2-D Hadamard Transform相同相同两种变换的联系两种变换的联系n 两种变换的两种变换的1和和-1的次序不同，但仍保持正交和对称，故的次序不同，但仍保持正交和对称，故Walsh-Hadamard变换指变换指两者之一两者之一n 如果变换核是可分离的和对称的函数时，变换可写成矩阵形式。如果变换核是可分离的和对称的函数时，变换可写成矩阵形式。Walsh和和Hadamard都可以写成矩阵形式，区别在于都可以写成矩阵形式，区别在于Hadamard矩阵可用迭代方式获得。矩阵可用迭代方式获得。N=2时，时，例如，例如，原图像原图像

13、WHT结果结果 Example图像压缩示例如果Walsh变换后的右下角存在非零元素，则按此方法复原的图像会丢失细节（高频）信息n 傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换n DCT变换是一种可分离和对称变换，可借助变换是一种可分离和对称变换，可借助Fourier变换的实数部分计算。在傅变换的实数部分计算。在傅里叶级数展开式中，被展开的函数是实偶函数时，其傅里叶级数中

14、只包含余弦里叶级数展开式中，被展开的函数是实偶函数时，其傅里叶级数中只包含余弦项，称之为余弦变换项，称之为余弦变换 n 近年来近年来DCT得到广泛应用，尤其是图像编码（压缩）算法中得到广泛应用，尤其是图像编码（压缩）算法中1-D DCT归一化加权系数归一化加权系数Example:如果令N=4，由一维解析式定义可得如下展开式：写成矩阵形式：2-D DCT2-D DCT的矩阵形式的矩阵形式原始图像原始图像DCT系数系数反变换图像反变换图像离散余弦变换具有很强的离散余弦变换具有很强的“能量集中能量集中”特性，特性，能量主要集中在左上角处，因此在实际图像应能量主要集中在左上角处，因此在实际图像应用中用

15、中,能量不集中的地方可在余弦编码中忽略能量不集中的地方可在余弦编码中忽略DCT的应用压缩编码Haar函数的定义函数的定义故，故，Haar函数进一步定义为函数进一步定义为 =1, =0,=1N=8时的Haar函数波形见右图，有如下特征Haar-like特征，即很多人常说的Haar特征，是计算机视觉领域一种常用的特征描述算子。它最早是由Papageorigiou等人用于人脸描述。目前常用的Haar-like特征可以分为三类：线性特征、边缘特征、点特征（中心特征）、对角线特征。显然，边缘特征有4种：x方向，y方向，x倾斜方向，y倾斜方向；线特征有8种，点特征有2种，对角线特征有1种。每一种特征的计算

16、都是由黑色填充区域的像素值之和与白色填充区域的像素值之和的差值。而计算出来的这个差值就是所谓的Haar-like特征的特征值。N=8时，Haar基图像Haar变换的特征：变换的特征：n Haar函数的一个重要特性函数的一个重要特性收敛均匀而迅速收敛均匀而迅速n Fourier变换的基函数（变换核）仅是频率不同，变换的基函数（变换核）仅是频率不同，Haar函数在尺度和位置函数在尺度和位置上都不同。即，上都不同。即，Haar变换具有尺度和位置的双重性变换具有尺度和位置的双重性n 全域特性和区域特性：全域特性和区域特性：Haar函数系列可分为全域部分和区域部分。全域部函数系列可分为全域部分和区域部分

17、。全域部分作用于整个变换区间，区域部分作用于局部区域分作用于整个变换区间，区域部分作用于局部区域Example：img = double(rgb2gray(imread(.lena.jpg); r c = size(img); LL LH HL HH = dwt2(img, haar); LL = mat2gray(LL);LH = mat2gray(LH);HL = mat2gray(HL);HH = mat2gray(HH); img = LL LH; HL HH; figureimshow(img);低频水平垂直对角Gabor变换的优点：n Gabor小波与人类视觉系统中简单细胞的视觉刺激响应非常相似。n 它在提取目标的局部空间和频率域信息方面具有良好的特性。n Gabor小波对于图像的边缘敏感，能够提供良好的方向选择和尺度选择特性，而且对于光照变化不敏感,能够提供对光照变化良好的适应性。Gabor滤波器和脊椎动物视觉皮层感受野响应的比较n第一行代表脊椎动物的视觉皮层感受野n第二行是Gabor滤波器n第三行是两者的残差n可见两者相差极小0s-st1描述窗函数的两个重要参数是它的中心和宽度（半径的2倍）。其均方根半径为：中心均方根半径几个常用的窗函数矩形窗函数三角窗函数Hanning窗函数Hamming窗函数w=boxcar(n)w=tri