大学物理,机械振动16-1-3 旋转矢量法

1、12描述简谐运动的方法：描述简谐运动的方法：1）解析法解析法 2）几何法几何法（旋转矢量表示法）（旋转矢量表示法） 3）曲线法曲线法主要内容：主要内容：一）一）什么是旋转矢量表示法什么是旋转矢量表示法；二）二）旋转矢量表示法的旋转矢量表示法的优点优点；三）三）旋转矢量表示法的旋转矢量表示法的应用应用。3ox t = 0 时刻时刻，矢量与，矢量与Ox 轴的夹角等于初相轴的夹角等于初相 。矢量矢量 以角速度以角速度 逆时逆时针作匀速圆周运动，针作匀速圆周运动，A 在平面上作一坐标轴在平面上作一坐标轴 O x，由原点，由原点 O 作一长度作一长度等于振幅的矢量等于振幅的矢量A 任一时刻，该矢量与任一

2、时刻，该矢量与O x轴的夹角为轴的夹角为 ，恰等，恰等于谐振动在该时刻的位相。于谐振动在该时刻的位相。 t端点端点M在在 x 轴上投影点的位移：轴上投影点的位移： )cos( tAx结论：结论： M点在点在 x 轴上投影点的运动，为简谐运动。轴上投影点的运动，为简谐运动。xtMPA一）什么是旋转矢量表示法一）什么是旋转矢量表示法4 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动。动。xAoxoAcos0Ax 当当 时时0t0 x5 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简

3、谐运动。动。xAoxoAtt t)cos(tAx时时6)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动。运动。xA7 这种以一个匀速旋转的矢量这种以一个匀速旋转的矢量 在在 ox 轴上的投影，轴上的投影，来表示简谐运动的方法，称为来表示简谐运动的方法，称为旋转矢量法旋转矢量法。A注意：注意：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量端点在量端点在 x 轴上的投影点在作简谐运动。轴上的投影点在作简谐运动。 矢量的长度矢量的长度振幅振幅A 矢量的旋转角速度大小矢量的旋转角速度大小谐振动的圆频率谐振动的圆频

4、率 t=0 时刻时刻矢量与坐标轴的夹角矢量与坐标轴的夹角谐振动初相谐振动初相 t 时刻时刻矢量与坐标轴的夹角矢量与坐标轴的夹角谐振动位相谐振动位相81、直观地表达简谐运动的各个特征量；直观地表达简谐运动的各个特征量；2、便于解题，便于解题， 特别是确定初相位；特别是确定初相位；3、为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。1、求初相位；求初相位；2、作振动图；作振动图；3、可以用来求速度和加速度；可以用来求速度和加速度；4、振动的合成。振动的合成。二）旋转矢量方法的优点：二）旋转矢量方法的优点：三）旋转矢量法的应用：三）旋转矢量法的应用：9A3 0 t2/

5、0Ax 00 v31、用旋转矢量法确定初位相、用旋转矢量法确定初位相2）质点在质点在 x = A/2 处，向正处，向正x方向运动，方向运动，/3 1）质点在质点在 x = A/2处，处， 向负向负x方向运动，方向运动，4）质点在质点在 x = - A/2 处，向正处，向正x方向运动，方向运动，2 /3 3）质点在质点在 x = - A/2 处，向负处，向负x方向运动，方向运动，2 /3 初始时刻：初始时刻：ox.10由由x、v 的符号确定的符号确定 所在的象限：所在的象限：A用旋转矢量法确定初位相用旋转矢量法确定初位相11ox例：求例：求简谐运动质点的简谐运动质点的初相初相 。(1) t =

6、0 时，时，xo= -A, = 。 (2) t = 0 时，质点经过平衡时，质点经过平衡位置正向位置正向x轴正方向运动轴正方向运动， 则：则： =3 /2（或（或 - /2）。）。 (3) t = 0 时，时， xo=A/2，质质点正向点正向x轴负方向运动轴负方向运动， 则：则： = (4) t = 0 时，时， 质点正向质点正向x 轴正方向运动轴正方向运动, 则：则： =2,2oxA /3。5 /4。xo =Acos A35 /412 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx2、13Amv)2 cos(tAv)

7、cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa3、求速度和加速度、求速度和加速度14AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：相位差：表示两个相位之差。表示两个相位之差。 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。间变化所需的时间。)()(12tt11cos()xAt 22cos()xAt 12tttat3 TTt6123v2Abt150 xto同步同步 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们的简谐运动，相位差表示它们间间步调步调上的上的差异。差异。（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）

8、)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相 1612 0 2 超前超前 1 0 2 落后落后 1由于位相差的周期是由于位相差的周期是2 ，所以：，所以： ,23 如如,2223 此时，通常不说振动此时，通常不说振动2超前振动超前振动1 而是说振动而是说振动2落后振动落后振动1,23 。2 17两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点等。当质点 1 在在 x1 = A/2 处，向处，向 x 轴负方向运动时，轴负方向运动时，另一个质点另一个质点 2 在在 x2 = 0 处，向处，

9、向x 轴负方向运动。轴负方向运动。求：求：这两质点振动的这两质点振动的相位差相位差。1 32 2质点质点 的振动超前质点的振动超前质点 的振动的振动 621 236OxA18比较一下简谐运动的比较一下简谐运动的位移、速度、加速度位移、速度、加速度的相位关系。的相位关系。)cos( tAx)sin( tA)cos(2 tAaxa234o,xav,tAA2v)2cos(tA )cos(2tA 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前/2 ，加速度的相位比位移的相位超前加速度的相位比位移的相位超前/2 。19例：例：一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅 A = 0.

10、12m，周期，周期 T = 2s，当，当 t = 0 时，时，x0 = 0.06m，此时质点向此时质点向 x 轴正向轴正向运动。运动。求：求：（1）此简谐振动的表达式；此简谐振动的表达式；（2）从初始时刻开始第一次通过平衡位置所需时间。从初始时刻开始第一次通过平衡位置所需时间。 （3）=T/4时质点的位置、速度和加速度；时质点的位置、速度和加速度；（4）从从 x = - 0.06m 向向 x 轴负向运动，第一次回到平轴负向运动，第一次回到平衡位置所需的时间衡位置所需的时间（思考？）（思考？）。20求：（求：（1）此简谐振动的表达式；此简谐振动的表达式；解：解：),/(2sradT 3 取平衡位

11、置为坐标原点，取平衡位置为坐标原点，由旋转矢量法得：由旋转矢量法得：0.12cos()()3xtSI )cos( tAx设设3 oxyA21 由旋转矢量法可知，由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置时，质点第一次通过平衡位置时，振幅矢量转过的角度为：振幅矢量转过的角度为：5326t )(83. 0st 3 oxyA求：（求：（2）从初始时刻开始第一次通过平衡从初始时刻开始第一次通过平衡 位置所需时间。位置所需时间。解：解：22求：（求：（3）= T/4 时刻质点的位置、速度和加速度；时刻质点的位置、速度和加速度；)(3cos(12. 0mtx 由振动表达式：由振动表达式：解解：)sin( tA可可得得：(m/s)3-tsin(.120 )cos(2 tAa)/( )3cos(06. 022smt 将将 t= T/4 = 0.5 s 代入可得：代入可得：(m/s)18. 0 )/(03. 12sma 23 （3）如果求：）如果求：在在 x = - 0.06m，且向，且向 x 轴负方向轴负方向运动时刻的运动时刻的速度和加速度速度和加速度：)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx 322A将相位代入得：将相位代入得：)3cos(120