大学物理-8 振动

1、广义振动：任何物理量在某定值附近的周期变化。广义振动：任何物理量在某定值附近的周期变化。第 8 8 章 振动机械振动：物体在平衡位置附近来回往复的运动。机械振动：物体在平衡位置附近来回往复的运动。EBEB分解分解简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成周期性复杂振动可以表示为周期性复杂振动可以表示为傅里叶（傅里叶（Fourier）级数级数非周期性复杂振动可表示为非周期性复杂振动可表示为傅里叶（傅里叶（Fourier）积分积分10sincos2)(nnntnBtnAAtx一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开TdttxTA00)(2TntdtntxTA0co

2、s)(2TntdtntxTB0sin)(2 x(t) 被分解为（常数项除被分解为（常数项除外）频率外）频率为为 的一系列简谐振动的一系列简谐振动n 构成离散的构成离散的傅里叶傅里叶频谱频谱A0，An ，Bn 为相应简谐振动的振幅为相应简谐振动的振幅 3,2，ttttx5sin513sin31sin4)(方波方波TntTnTTnTtnTtx) 1(2 , 12 , 1)(xtO1Tttttx3sin312sin21sin2)( 21)(tTtxTntnT) 1( xtO1T锯齿波锯齿波k 弹簧振子弹簧振子8.1 8.1 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程mk2令令 022xmktdxd22td

3、xdmkx 0222xtdxdxFmoTgm 单摆单摆 sinmglMsinsin222lgmlmgldtdlg2令令 较小时较小时sin0222tddcosmgsinmgJM 不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。8.2 8.2 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程0222xtdxd 1. 1.振幅振幅maxxA 2.2.周期、频率、圆频率周期、频率、圆频率2)cos()cos(tAtAx周周 期期频频 率率圆频率圆频率2T21TT22)cos(tAx)(cos()cos(TtAtAx3. 3. 称相位，是描述状态的物理量。称相位，是描述状态

4、的物理量。 称称初相位。初相位。)(t相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。) cos(tAxcos0Ax00tanxv) sin( tAvsin 0Av4.4. 周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。2 arctan2 cos0tvx ，写出其振动方程式。写出其振动方程式。例：已知简谐振动例：已知简谐振动0, 0000vxt时022020vvxA22020vxA解：解：设振动方程为设振动方程为 )cos(tAx当当 t = 1时时, 有有0)4cos(21x0)4sin(21

5、v由图，由图，A= 2m。当当 t = 0 时有：时有：2cos20 x0sin20v4例：例：某质点作简谐运动，振动曲线如图所示。试根据图中数据某质点作简谐运动，振动曲线如图所示。试根据图中数据 写出振动表达式。写出振动表达式。)443cos(2tx解得：解得：43O2-22t (s)x (m)1旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在 轴上轴上的投影点的运动为简谐运动。的投影点的运动为简谐运动。xA)cos(tAx8.3 8.3 旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动旋转矢量旋转矢量振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率模模初始夹角初始夹角夹角夹角角速度角速度物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较

6、toAxf例例: :定滑轮质量为定滑轮质量为M, ,半径为半径为R。跨过。跨过滑轮的轻绳分别与重物滑轮的轻绳分别与重物( (m) )和和弹簧弹簧( (k) )相连，相连，弹簧它端固定。弹簧它端固定。 求系统的振动周期；求系统的振动周期； 托住重托住重物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放, ,写出重物的振动方程。写出重物的振动方程。kmgxxkmg/maTmg02/22xMmktdxd解：解：2/Mmk221MRJRfTR)(0 xxkfRa kMmT2/22mgTxTmgx)cos(tAx000vkmgxxtMmkkmgx2/cosf0022020tan

7、xvarckmgvxA0例：例：半径为半径为 r 的均匀小球，可以在一半径的均匀小球，可以在一半径 R 为的球形碗底部作为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。解：解：建立图示坐标系，以小球为研究对象。建立图示坐标系，以小球为研究对象。质心沿圆周切向方程：质心沿圆周切向方程： 小球绕质心转动方程：小球绕质心转动方程： 接触点纯滚动：接触点纯滚动： 小幅度振动条件：小幅度振动条件： 联立解得：联立解得： 周期周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动小球作平面平行运动可分解为质心的运动 + 绕质心的转动绕质心的转动22252t dd

8、mrrf2222)(tddrtddrRsin0)(7522rRgtddgrRT5)(72222)(sint ddrRmmgf.fmgNORr )(例：例：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此在此 隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。解：解：rRGmMMRrrGmFee3332)(0322xRGMtdxde223tdxdmxRGmMexRGmMrRGmMFeex33sin满足简谐振动方程，故为简谐振动。满足简谐振动方程，故为简谐振动。周期：周期：min3 .842TeMGR32oxFrRo)(sin

9、21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEp2222121kAAmEEEpk8.4 8.4 简谐振动的能量简谐振动的能量Ckxmv2221210dtdxkxdtdvmv022xmktdxd 可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期例：例：U 形管截面面积形管截面面积 S ，管中流体的质量，管中流体的质量 m、密度密度，求求 液体振荡周期液体振荡周期 T。解：解：设偏离平衡位置的液柱高度设偏离平衡位置的液柱高度为为ySygym2 02ymSgy 液柱作简谐振动。液柱作简谐振动。机械能守恒机械能守恒CgySymv)(212两边求导两边

10、求导02Sgyym 分析受力分析受力微分方程微分方程振动周期振动周期2TSgm2平衡位置平衡位置yO质心位置上升了质心位置上升了 y例：例：半径为半径为 r 的小球在半径为的小球在半径为R 的半球形大碗内作纯滚动，的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。机械能守恒机械能守恒0222121)cos1)(EJmvrRmgCC252mrJCtddrRvC)(将上三式代入后，对时间求导数将上三式代入后，对时间求导数0sin)(7522rRgtdd其中其中小角度振动时的周期小角度振动时的周期grRT5)(722drRrd)(t dd

11、rrRt dd解：解：设小球质心速度设小球质心速度 ，角速度角速度cvkRm ,例：例：劲度系数为劲度系数为K的轻弹簧一端固的轻弹簧一端固定，另一端连接在定，另一端连接在圆柱体的转轴圆柱体的转轴上。圆柱体的质量和上。圆柱体的质量和半径半径为为m和和R，并可绕其转轴在平面上作纯滚动。并可绕其转轴在平面上作纯滚动。试试求该系统的振动周期。求该系统的振动周期。解：解：由质心运动定理由质心运动定理cxccmakxf相对质心的转动定理相对质心的转动定理2mRRf21由纯滚动条件由纯滚动条件Rac03222ccxmktdxdkmT232另解：另解：由系统的机械能守恒由系统的机械能守恒CmRmvkxcc22

12、2221212121由纯滚动条件由纯滚动条件RvcCmvkxcc224321消去消去 可得：可得：对上式求导对上式求导023dtdvmvdtdxxkcccc03222ccxmktdxd8.5 8.5 简谐振动的合成简谐振动的合成1.1. 方向相同、频率相同方向相同、频率相同)cos(111tAx)cos(222tAx)cos()cos(221121tAtAxxxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAxxxsinsincoscos21)cos(tAx合振动与分振动同方向，且频率相同。合振动与分振动同方向，且频率相同。)cos(212212221AAAAA

13、22112211coscossinsinarctanAAAA令coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA【矢量合成方法【矢量合成方法】)cos(212212221AAAAA由几何关系直接写出：由几何关系直接写出：22112211coscossinsinarctanAAAA)(cos2122122212AAAAA11 A2 A2Ax2x1x21xxx12.O设设 t =0 时刻对应两振动的旋时刻对应两振动的旋转矢量转矢量 A1 和和 A2 与与 x 轴的夹轴的夹角分别为角分别为 、 。由于两旋。由于两旋转矢量以相同的角速度旋转转矢量以相同的角速度旋转因此它们的合矢量也以相同

14、因此它们的合矢量也以相同的角速度旋转。合矢量的角速度旋转。合矢量A在在 方向的投影也代表一个简谐方向的投影也代表一个简谐振动振动, 且且 ,表明合矢量表明合矢量的模就是合成振动的振幅。的模就是合成振动的振幅。 1221xxxx两个同方向、同频率简谐振动的合成：两个同方向、同频率简谐振动的合成：) cos() cos(222111tAxtAx) cos(21tAxxx2211221112212221coscossinsintan)cos(2AAAAAAAAAA2A1x0A12A2A1x0Ax2x1x2t1t四边形四边形 三角形三角形 多边形多边形 讨论：讨论：相位差对合成振动的影响相位差对合成振

15、动的影响 两振动同相位，合成振幅最大两振动同相位，合成振幅最大时， 2,10,212kk1)cos(12212122212AAAAAAA 两振动反相位，合成振幅最小两振动反相位，合成振幅最小 ，2,10,)12(12kk1)cos(12212122212AAAAAAA|2121AAAAA 一般情况下，合振幅在下述范围之间：一般情况下，合振幅在下述范围之间：tx为简单起见为简单起见，设两个振动的振幅相同设两个振动的振幅相同，初相位相同并为零。初相位相同并为零。tAx11costAx22cos2cos2cos2coscostAtAxxx2121coscos2.2.方向相同、频率相近方向相同、频率相

16、近)(1212拍频拍频：单位时间内合振动单位时间内合振动振幅强弱变化的次数振幅强弱变化的次数. .拍拍频是频是“振幅振幅”频率的两倍频率的两倍. .12122212电子测频电子测频 差拍振荡差拍振荡 同步锁模同步锁模 音调校准音调校准ttA2cos2cos212123.3.方向垂直、频率相同方向垂直、频率相同)cos(11tAx)cos(22tAy111sinsincoscosttAx222sinsincoscosttAy12cos)2(cos) 1 (）（3)sin(sincoscos121221tAyAx12sin)2(sin)1 (）（4)sin(cossinsin121221tAyAx

17、)(sincos212221222212AAxyAyAx椭圆方程：椭圆方程：）（2）（101212yxo1A2A212oxy2A1A1222212AyAxxAAy12xAAy12yo1A2Ax)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)4cos(1tAx.tAycos2. .)4cos(1tAxtAy2cos2.tAxcos142cos2tAy. .)4cos(1tAxtAy2cos24.4.方向垂直、频率不同方向垂直、频率不同 如果两个互相垂直如果两个互相垂直的振动频率成整数比的振动频率成整数比, ,合成运动具有周期性合成运动具有周期性, ,运动轨道是封闭曲线运动轨道是

18、封闭曲线, ,称为利萨如图形。称为利萨如图形。 按阻尼大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，按阻尼大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。代表了振动物体的三种运动方式。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。8.6 8.6 阻尼振动阻尼振动tdxdkxtdxdm22mk20m2,其中其中022022xtdxdtdxd将形如将形如 的解代入微分方程，得特征方程的解代入微分方程，得特征方程te02202其特征根是其特征根是202 弱阻尼弱阻尼)(cos0teAxt其中其中: :220A0 和和 决定于初始条件决定于初始条件v 振幅随时

19、间振幅随时间 作指数衰减作指数衰减v 振动周期大振动周期大 于固有周期于固有周期系统从周期运动变为非周期振动。系统从周期运动变为非周期振动。 临界阻尼临界阻尼0时时，特征方程有两个相同实根特征方程有两个相同实根，方程的解为方程的解为tetccx)(21xto)cos(0teAtteA0202时时, , 方程的解为方程的解为 过阻尼过阻尼0 这种过阻尼运动方式是非周期运动这种过阻尼运动方式是非周期运动, ,振动从开始最大位移振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置缓慢回到平衡位置, , 不再做往复运动不再做往复运动. . ttececx20220221弱弱 阻阻 尼尼临界阻尼临界阻尼过过 阻阻 尼尼时

20、时, ,特征方程有两个不同的实根，方程的解为特征方程有两个不同的实根，方程的解为系统在周期性外力持续作用下所发生的振动称为受迫振动。系统在周期性外力持续作用下所发生的振动称为受迫振动。thxdtdxtdxdcos22022强迫力强迫力: :tFcos0阻尼力阻尼力: :v恢复力恢复力: :kxtFvkxtdxdmcos0221.1.方程与解方程与解8.7 8.7 受迫振动受迫振动)cos()cos(0tAteAxt稳态解稳态解暂态解暂态解2222204)(hA2202arctan把稳态解代入原方程把稳态解代入原方程，通过比较系数确定振幅和相位：通过比较系数确定振幅和相位：驱动力的圆频率为某定值

21、时驱动力的圆频率为某定值时, 受迫振动的振幅达到极大。受迫振动的振幅达到极大。0)4)(222220hddddA2202共振振幅共振振幅2202hA共振圆频率共振圆频率0A大阻尼大阻尼弱阻尼弱阻尼无阻尼无阻尼 越小，越小，； 越大越大A0越接近于越接近于A 为零时，为零时，0； 电磁共振选台电磁共振选台 提高音响效果提高音响效果v 改变固有频率改变固有频率v 增大阻尼系数增大阻尼系数避免共振避免共振利用共振利用共振 据说据说,160,160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口西班牙时，部队行军经过一

22、座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令令, ,队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时, ,轰隆一声巨响轰隆一声巨响, ,大桥坍塌大桥坍塌, ,士兵、军官纷纷坠水。几十年后士兵、军官纷纷坠水。几十年后, ,圣彼得堡卡但卡圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相过。一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近近, ,发生共振所致。发生共

23、振所致。 1940 1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，这难道也是太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？日的彩旗迎风飘扬吗？ 随后在大风中因随后在大风中因产生共振而断塌产生共振而断塌 1940年年华盛顿的塔科曼华盛顿的塔科曼大桥大桥在大风中产生振动在大风中产生振动解：解：mvxA222020100 . 2142sT代入简谐振动表达式，则有代入简谐振动表达式，

24、则有)344cos(100 . 22tx例：一放置在水平桌面上的弹簧振子例：一放置在水平桌面上的弹簧振子, ,周期为周期为0.50.5 s s。当。当t=0t=0时，时，1020218.0,100 .1msvmx求求 运动方程运动方程300 xvtg34例：例：木板质量为木板质量为M，水平放在两相同的柱体水平放在两相同的柱体（质量为质量为m，半径为，半径为r）上上，板两端用两个弹性系数为板两端用两个弹性系数为 k 的轻弹簧连接的轻弹簧连接，弹簧水平地挂在两固定点弹簧水平地挂在两固定点上上。当系统作振动时当系统作振动时, ,柱与板以及柱与地面间均作纯滚动柱与板以及柱与地面间均作纯滚动。问问：系统

25、是系统是否作简谐振动否作简谐振动 ? 如果是，求振动周期。如果是，求振动周期。 解：解：以板为研究对象，由牛顿第二定律有：以板为研究对象，由牛顿第二定律有： 因圆柱体作平面平行运动，则因圆柱体作平面平行运动，则质心运动定理：质心运动定理： 绕质心转动定理：绕质心转动定理： 圆柱与木板接触点纯滚动：圆柱与木板接触点纯滚动： 圆柱与地面接触点纯滚动：圆柱与地面接触点纯滚动： 联立可得：联立可得： 木板作简谐振动：木板作简谐振动： 21212f rf rmr023428mMTkcxar0car.1f2fxo例：例：半径为半径为 r 的均匀小球，可以在一半径的均匀小球，可以在一半径 R 为的球形碗底部作为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。解：解：建立图示坐标系，以小球为研究对象。建立图示坐标系，以小球为研究对象。质心沿圆周切向方程：质心沿圆周切向方程： 小球绕质心转动方程：小球绕质心转动方程： 接触点纯滚动：接触点纯滚动： 小幅度振动条件：小幅度振动条件： 联立解得：联立解得： 周期周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动小球作平面平行运动可分解为质心的运动 + 绕质心的转动绕质心的转动252mrrfrtddrR22)(sin0)(7522rRgt