03极限的运算法则与性质ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页第一章第一章 函数与极限函数与极限 第三节第三节 极限的运算法则与性极限的运算法则与性质质一、极限的运算法则一、极限的运算法则二、极限的性质二、极限的性质主要内容：主要内容：上页下页铃结束返回首页一、极限运算法则 为简化起见为简化起见, 以以 表示自变量表示自变量 的下列任一种变化的下列任一种变化limx00,.xxxxxx 趋势趋势:上页下页铃结束返回首页法则法则1极限四则运算法则设极限四则运算法则设lim( ),lim ( ),f xAg xBlim( )( )lim( )lim ( );f xg xABf xg xlim( ) ( )lim( ) lim ( );f

2、 x g xABf xg x那么那么( )lim( )lim.( )lim ( )f xAf xg xBg x假设假设 则有则有0,B 上页下页铃结束返回首页例例1 求极限求极限22lim 243 .xxx解解 由运算法则得由运算法则得22lim 243xxx22222 lim4lim3lim1xxxxx2222lim2lim4lim3xxxxx22 24 23 113. 上页下页铃结束返回首页 由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:假设假设1011( ),nnnnf xa xa xaxa那么那么0lim( )xxf x010110lim(

3、).nnnnxxa xaxaxaf x上页下页铃结束返回首页例例2 求极限求极限2121lim.3xxxx解解 因因所以由商的运算法则得所以由商的运算法则得12211lim 21213lim.35lim3xxxxxxxxx21lim350,xxx上页下页铃结束返回首页 更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则: 假设假设 10111011( )( ),( )mmmmmnnnnna xa xaxaP xf xb xbxbxbP x且且 那么那么:0()0,nP x000( )lim( )lim().( )mxxxxnPxf xf xP x上页下页铃结束返回

4、首页例例3 求极限求极限22123lim.1xxxx解解 因因221323111xxxxxxx31xx约分约分所以所以2211233limlim2.11xxxxxxx上页下页铃结束返回首页例例4 求极限求极限32322321lim.323xxxxxxx32322321lim323xxxxxxx23231112322lim.1113323xxxxxxx解解 分子分母均除以分子分母均除以 得得 3,x上页下页铃结束返回首页例例5 求极限求极限2321lim.221xxxxxx2321lim221xxxxxx解解 分子分母均除以分子分母均除以 , 得得 3x2323111lim0.111122xxx

5、xxxx上页下页铃结束返回首页 对上面几个例子的分析对上面几个例子的分析, 得到有理函数得到有理函数10111011( )limlim( )mmmmmnnxxnnnP xa xa xaxaP xb xb xbxb00 anmb0 mn f xx时的极限公式时的极限公式:当当 基本方法基本方法: 除以最高次幂除以最高次幂.上页下页铃结束返回首页00lim ( )lim( ).xxuuf u xf uA法则法则2复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 ） 设设0lim( ),uuf uA ( )f u x但在点但在点 的某去心领域内的某去心领域内 则复合函数则复合函数0( ),u xu0 x

6、又设函数又设函数 当当 时的极限存在且等于时的极限存在且等于 ( )ug x 0 xx0,u0 xx当当 时的极限存在时的极限存在, 且且0 xx上页下页铃结束返回首页例例6 求极限求极限 2lim23.xx解解 令令 则函数则函数23,( ),uxf uu( ),( )f u ug x满足定理的条件满足定理的条件, 由此得到由此得到27lim23lim7.xuxu上页下页铃结束返回首页例例7 求求22lim.2xxx解解 22lim2xxx222lim2 2.2xxxx222lim22xxxxx上例给出了无理函数求极限的一般方法上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化有理化.上页下页铃结

7、束返回首页例例8 求求2413lim.22xxx 解解 2413lim22xxx 242228lim.32413xxxxx 241341322lim2222413xxxxxxx 上页下页铃结束返回首页二、极限的性质 1. 收敛数列的有界性收敛数列的有界性定理定理 收敛数列必有界收敛数列必有界.ax1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx()1a1a【】1M2M推论推论: 无界数列必发散无界数列必发散. 注意注意, 该定理不是充分必要条件该定理不是充分必要条件. 例如数列例如数列11nnx 是有界数列但是发散的是有界数列但是发散的.上页下页铃结束返回首页 与数列的有界性定理平行的是与数列的有界性

8、定理平行的是:定理定理 （局部有界性如果极限（局部有界性如果极限0lim( )xxf x存在存在 , 那么那么0 x0 x0 x yf xxyO1A1AA 有界性的几何意义有界性的几何意义.局部范围局部范围上界与下界上界与下界在在 的某个去心邻域内的某个去心邻域内, 函数函数 有界有界.0 x( )f x上页下页铃结束返回首页 2.有极限的函数的局部保号性有极限的函数的局部保号性定理定理 （极限的保号性）（极限的保号性） 假如假如0lim( )0,xxf xA 0.f x 则存在则存在0 x的某个去心邻域内的某个去心邻域内, 使得在该邻域中有使得在该邻域中有: 保号性的几何意义保号性的几何意义.局部范围局部范围保持符号保持符号y0 x0 x0 x yf xx3 /2A/2AAO上页下页铃结束返回首页小小 结结极限的运算法则极限的运算法则极限四则运算法则极限四则运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则