1-4无穷小与无穷大ppt课件

1、蚌埠学院 高等数学一、无穷小量一、无穷小量二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系四、小结与思考判断题四、小结与思考判断题 第一章 蚌埠学院 高等数学一、无穷小量 注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；注2：无穷小量是个变量；注3：一个函数是无穷小量，必须指明自变量的 变化趋势；注4：0 是唯一可称为无穷小量的数。 1、定义：如果函数、定义：如果函数 f (x) 当当 xx0 (或或x) 时时的极限为零，那么，称函数的极限为零，那么，称函数 f (x) 为为 xx0 (或或x) 时的无穷小。时的无穷小。 蚌埠学院 高等数学例如：0coslim, 1c

2、oslim20 xxxx 例1 用定义证明01lim0 xxx,lim01xx, 0)1(lim nnn xxx即即不妨设不妨设证明：由于证明：由于),(,xxxxxxx 111, 0 ),min( 取取 xxx时，时，当当蚌埠学院 高等数学其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 1 . ( 无穷小与函数极限的关无穷小与函数极限的关系系 ) )Axfxx)(lim0 Axf)(,证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .2、无穷小量和极限的关系、无穷小量和极限的关系蚌埠学院 高等数学思考题：时时

3、，当当0 xx 是无穷小)(x, 是是“当当0 xx 时，)( x 是无穷小的(A) 充分但非必要条件；(B) 必要但非充分条件；(C) 既非充分也非必要条件；(D) 充分必要条件例如：, 11lim xxx有xxx111 其中)(01 xx蚌埠学院 高等数学二、无穷大量二、无穷大量,10轴轴无无限限接接近近于于时时，函函数数当当yxyx y无限增大，趋向于无穷大，称xy1 是一个无穷大量。X0Y简单地说，简单地说，绝对值无限绝对值无限增大的变量增大的变量叫无穷大量叫无穷大量.蚌埠学院 高等数学精确地讲： )(lim)10 xfxx,0,0M.)(Mxf0 xx当时，有 )(lim)2xfx,

4、 0, 0XM时时，当当Xx .)(Mxf 有有注1 无穷大量是一个变量，绝对值无限增大的变量；注注2 函数是无穷大量，必须指明其变化趋势。函数是无穷大量，必须指明其变化趋势。注注3 极限是无穷大，是极限不存在的一种表现。极限是无穷大，是极限不存在的一种表现。蚌埠学院 高等数学比如 xxxxlim,lim例2 证明 22lim2xxx证：12),1,3(, 1,2 xxx即即取取注4 假设 ，则直线 x = x0 是 y = f (x) 的 垂直渐近线。 )(limxfxx要使要使Mxx 22只须MxMx22,22 也也就就是是222222, 0 xxxxxM蚌埠学院 高等数学取,min时时当

5、当因因此此 xMMx 22所以， 22lim2xxx注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是 无穷大量。例：证明函数xxysin在在), 0( 是无界的，但x时，不是无穷大量。证明：取0,2 nnynx ,0),( ,2 nnynnx 不是无穷大.蚌埠学院 高等数学20406080100-75-50-25255075100说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点 , 使 的极限不存在。nxxx,21)(nxf蚌埠学院 高等数学下面证明22,0 nxMn且)( nxn nnnyn)sin()(取 .22,022,10000MNyNxMNn xxysin),0( 上是无界的。在在所以，xx

6、ysin),0( 上是无界的。在在蚌埠学院 高等数学三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系, 0)( 0)(lim) 1xfxfx且.)(1limxfx, 0)( )(lim)2xfxfx且.0)(1limxfx. 0)(, 0)(lim) 10 xfxfxx且设证明时使得当00,0,0 xxM.)(1Mxf从而.)(1,0为无穷大时当xfxx ,1)(Mxf恒有蚌埠学院 高等数学.)(lim)20 xfxx设时使得当00, 0, 0 xx.)(1xf即.)(1,0为无穷小时当xfxx 注: 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小 的讨论.,1)(xf恒有蚌埠学院 高等数学四、小结与判断题四、小结与判