数学选修2-3 第二章随机变量及其分布列24 正态分布

1、24正态分布正态分布 1利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小3会用正态分布去解决实际问题1正态曲线函数，(x)，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线随机变量X落在区间(a，b的概率为P(aXb)，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b的概率的近似值，如图2正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作 如果

2、随机变量X服从正态分布，则记为 N(，2)XN(，2)曲线位于x轴 ，与x轴 ；曲线是单峰的，它关于直线 对称；曲线在 处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为 ；上方不相交xx1当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图；当一定时，曲线的形状由确定，曲线越“瘦高”； ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散如图.越小越大43原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率P(X)；P(2X2)；P(3X3).0.682 60.954 40.997 41.正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等2一般地，一个随机变量

3、如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布3参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计把0，1的正态分布叫做标准正态分布4求随机变量的密度函数时，只需求出，即可，也就是求样本的均值及标准差.1.性质说明函数的值域为正实数集的子集，且以x轴为渐近线2性质是曲线的对称性，关于直线x对称3性质说明函数在x时取最大值4性质说明正态变量在(，)内取值的概率是1.5性质说明当标准差一定时，变化时曲线的位置变化情况6性质说明当均值一定时，变化时总体分布的集中、离散程度.利用正态分布N(，

4、2)的随机变量X在三个特殊区间上的取值的概率规律，可以解决某些实际问题通常利用3原则来进行质量控制，这是因为：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则X落在(3，3之外的概率约为0.3%，此为小概率事件，如果此事件发生了，则说明X不服从正态分布了，在现实应用中，即说明产品不合格，这是后面将学到的统计学中常用的假设检验方法的基本思路.已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，P(X4)0.84，则P(X0)()A0.16B0.32C0.68D0.84【分析】画出正态曲线，结合其意义及特点求解【解析】由XN(2，2)，可知其正态曲线如右图所示，对称轴由x2，则P(X0)P(X4)1P(X4)10.84

5、0.16.【答案】A利用正态曲线的对称性求概率，是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点解题的关键是利用对称轴x确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为_解析：由XN(1，2)(0)，知正态曲线的对称轴为x1，从而由图象可知P(0X1)P(1X2)，所以P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案：0.8为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果

6、表明他们的体重(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如右图所示若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()A997 B954 C819 D683【分析】由图可知曲线关于x60.5对称，故60.5.解决本题的关键是求P(58.5X62.5)，则属于正常情况的人数是1 000P(58.5X62.5)【解析】由题意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 0000.682 6683.【答案】D解此类问题一定要把握服从N(，2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所有

7、问题向P(X)，P(2X2)，P(3X3)转化，然后利用特定值求出相应概率. 同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质某批待出口的水果罐头，每罐净重X(g)服从正态分布N(184,2.52)，求：(1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g的概率；(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g小于等于189 g的概率某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为500 g，21，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机抽取产品，测量其质量当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g，他立即要求停止生产，检查设备他的决定是否有道理呢？【分析】由于产

8、品质量服从正态分布N(，2)，因此随机变量在附近取值的的概率较大，在离很远处取值的概率很小，因此可考虑根据3原则作出判断【解】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(，2)，根据3原则可知，产品质量在35003497(g)和35003503(g)之间的概率为0.997 4，而质量超出这个范围的概率只有0.002 6，这是一个几乎不可能出现的事件但是检验员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的若随机变量服从正态分布N(，2)，由此做假设检验时，按如下步骤进行：(1)确定一次试验中的取值a是否落入范围(3，3)；(2)作出判断，如果a(3，3)，则接

9、受统计假设，如果a (3，3)，则拒绝统计假设某厂生产的圆柱形零件的外直径(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？解：由于外直径服从正态分布N(4,0.52)，则在(430.5,430.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率为0.002 6，而5.7 (2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的.解析：根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x对称，在x处取得最大值的连线钟形曲线；越大，曲线越“矮胖”；

10、越小，曲线越“瘦高”故选A.答案：A2若随机变量N(，2)，且P(c)P(c)，则c的值为()A0 B C D解析：由正态分布密度曲线的性质知：曲线是单峰的，它关于直线x对称，且曲线与x轴之间的面积为1，则有c.答案：B3若随机变量XN(，2)，则P(X)_.解析：由正态分布密度曲线的性质，得P(X)0.5.答案：0.54(2012山东潍坊检测)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的人数约占总人数的_%.解析：由题可知正态分布密度曲线关于直线x90对称，又已知成绩在60分以下的人数占10%，所以