同济大学固体物理课件20

1、第二十讲第二十讲 等离子体等离子体 维格纳晶格维格纳晶格 6 6. .5 5 等等离离子子体体本本章章中中，我我们们用用“量量子子力力学学的的理理想想自自由由电电子子气气模模型型”描描述述金金属属中中的的导导电电电电子子，效效果果看看似似很很好好。阐阐明明了了费费密密能能、电电子子比比热热、电电导导率率、磁磁致致电电阻阻、霍霍尔尔效效应应、电电子子热热发发射射、光光电电效效应应、场场致致发发射射、接接触触电电势势差差等等一一系系列列物物理理现现象象。但但这这个个模模型型有有二二点点局局限限：（1 1） 没没有有考考虑虑晶晶格格正正离离子子的的周周期期性性势势场场，即即认认为为所所有有金金属属的

2、的结结构构都都相相同同，只只是是电电子子数数密密度度n n不不同同。这这个个局局限限在在第第七七章章讨讨论论。( (2 2) ) 没没有有考考虑虑电电子子之之间间的的相相互互作作用用。这这个个局局限限在在本本节节和和下下一一节节讨讨论论。 当当然然，第第七七章章中中精精确确求求解解金金属属中中电电子子系系统统的的薛薛定定谔谔方方程程时时，必必 须须更更仔仔细细地地考考虑虑电电子子之之间间的的相相互互作作用用。当当考考虑虑了了电电子子之之间间的的相相互互作作用用后后，系系统统就就不不再再是是理理想想自自由由电电子子气气了了，各各个个电电子子的的运运动动不不再再是是独独立立的的、而而是是相相互互关

3、关联联的的。本本节节用用下下述述“正正电电荷荷凝凝胶胶加加电电子子气气”模模型型讨讨论论电电子子系系统统： “金金属属被被简简化化为为含含 N N 个个正正电电荷荷和和 N N 个个电电子子的的中中性性系系统统。但但 N N 个个正正电电荷荷被被看看成成固固定定的的均均匀匀带带正正电电凝凝胶胶，充充满满电电子子所所在在的的全全空空间间，提提供供一一个个均均匀匀恒恒定定的的背背景景势势场场。N N 个个电电子子除除了了受受到到均均匀匀恒恒定定正正电电荷荷背背景景的的库库仑仑吸吸引引作作用用以以外外，电电子子之之间间还还存存在在相相互互库库仑仑排排斥斥作作用用。电电子子服服从从量量子子统统计计的的

4、费费密密- -狄狄喇喇克克分分布布。金金属属的的边边界界为为一一定定高高度度的的势势垒垒” 。电子之间的相互作用使各个电子的运动不再是独立的。这意味着电子之间的相互作用使各个电子的运动不再是独立的。这意味着我们不能再求解单电子薛定谔方程，而必需求解整个电子气系统的多我们不能再求解单电子薛定谔方程，而必需求解整个电子气系统的多电子薛定谔方程电子薛定谔方程（取均匀恒定正电荷背景库仑势为零） ：（取均匀恒定正电荷背景库仑势为零） ： ),(),(|81)2(21212221NNjiNjioiNiXXXEXXXrrem上式中上式中 X Xi i代表了第代表了第 i i 个电子的空间坐标和自旋。哈密顿中

5、电子之间的个电子的空间坐标和自旋。哈密顿中电子之间的库仑相互作用项是所有麻烦的根源，至今仍困扰着物理学家们。一个库仑相互作用项是所有麻烦的根源，至今仍困扰着物理学家们。一个直接后果是，该项耦合了所有直接后果是，该项耦合了所有 N N 个电子的坐标，使方程无法分离变量，个电子的坐标，使方程无法分离变量，因而也无法求解。因而也无法求解。 以下我们不从波函数着手，而从电子数密度着手讨论，因为等离以下我们不从波函数着手，而从电子数密度着手讨论，因为等离子体振荡实际上是电荷密度的起伏。所用工具不是量子力学的，而是子体振荡实际上是电荷密度的起伏。所用工具不是量子力学的，而是电动力学的。电动力学的。一一 等

6、离子体振荡等离子体振荡1 1没有振荡的平衡态没有振荡的平衡态设设 n n 是电子的平均数密度，则电子平均电荷密度是电子的平均数密度，则电子平均电荷密度 o o = - en = - en，正电荷的电荷密度正电荷的电荷密度 o o+ + = en = en。假定系统处于平衡状态时没有振荡，。假定系统处于平衡状态时没有振荡，则电子电荷密度等于平均电荷密度则电子电荷密度等于平均电荷密度o o，系统内处处保持电中性，系统内处处保持电中性，没有电场、磁场，从电磁学观点看就好像真空一样。没有电场、磁场，从电磁学观点看就好像真空一样。2 2电子气集体运动状态电子气集体运动状态（1 1） 等离子体振荡：设想由

7、于某种原因引起电子密度涨落。在某一等离子体振荡：设想由于某种原因引起电子密度涨落。在某一微小区域电子密度低于平均密度，该微小区域的正电荷背景就会吸引微小区域电子密度低于平均密度，该微小区域的正电荷背景就会吸引周围的电子，若补充而来的电子数太多了，电子间的库仑排斥作用会周围的电子，若补充而来的电子数太多了，电子间的库仑排斥作用会驱使电子再离开该处。这样形成电子密度有节奏的起伏，就是等离子驱使电子再离开该处。这样形成电子密度有节奏的起伏，就是等离子体振荡。体振荡。（2 2）电子密度起伏运动所满足的方程）电子密度起伏运动所满足的方程令电子电荷密度为令电子电荷密度为 (r,t)(r,t)，电荷密度起伏

8、为电荷密度起伏为 - -o o （某一微小区域内的净电荷） ，（某一微小区域内的净电荷） ，与此电荷密度起伏对应的电场与此电荷密度起伏对应的电场 E E 由泊松方程确定：由泊松方程确定：)(1ooE - - - (1) - - - (1)在此电场作用下，不考虑散射阻力，电子运动方程为在此电场作用下，不考虑散射阻力，电子运动方程为 Eedtvdm - - - (2) - - - (2)另外，空间任一点满足电荷守衡定律另外，空间任一点满足电荷守衡定律0)(vt - - - (3) - - - (3) 联立解以上三个方程，即得系统电子密度联立解以上三个方程，即得系统电子密度(r,t)(r,t)。（3

9、 3）微小电子密度起伏）微小电子密度起伏考虑考虑 - -o o o o 的情况，公式的情况，公式（3 3）可近似写成）可近似写成)(vto - - - (4) - - - (4)两边对时间求导，并利用公式两边对时间求导，并利用公式（1 1）和）和（2 2） ：） ：tvvttoo)(22)()(ooooomeEmeEme)(2oomne - - - (5) - - - (5) 上式又可写成上式又可写成 0)()(222oPot - - - (6) - - - (6) 其中等离子体振荡频率其中等离子体振荡频率 mneoP22 - - - (7) - - - (7)方程方程（6 6）的解可设为）的

10、解可设为 )(exptrqiAPqo - - - (8) - - - (8) 更普遍的解应写为更普遍的解应写为 )(exptqrqiAqqo - - - (9) - - - (9)由于方程由于方程（6 6）是近似公式）是近似公式（4 4）的结果，没有对的梯度，）的结果，没有对的梯度，把把（9 9）式代入）式代入（6 6）不能得到）不能得到 q q 色散关系。色散关系。详细的理论计算是详细的理论计算是 D.Pines D.Pines 和博姆完成的，得到色散关系和博姆完成的，得到色散关系 222253)(qvqFP - - - - - - （1010） v vF F是费密速度。是费密速度。（4 4

11、） 讨论讨论等离子体振荡频率等离子体振荡频率 P P 10 101616 s s-1-1 ，而电导过程的弛豫时间而电导过程的弛豫时间 10 10-12-12 s s ，所以，所以 P P 1 1说明前面略去阻尼力是合理的，同时也表明等离子体振荡是在没说明前面略去阻尼力是合理的，同时也表明等离子体振荡是在没有碰撞情况下存在的一种电子集体运动。有碰撞情况下存在的一种电子集体运动。由于等离子体振荡是一种密度起伏振荡，只能是纵波。由于等离子体振荡是一种密度起伏振荡，只能是纵波。二二 等离体子等离体子（plasmonplasmon）1. 1. 若对电荷密度起伏的解若对电荷密度起伏的解（9 9）进行二次量

12、子化，可得到熟悉的简谐）进行二次量子化，可得到熟悉的简谐振子能量解振子能量解 PnE)21( 等离子体振荡的能量量子等离子体振荡的能量量子 P称为等离体子称为等离体子（plasmonplasmon） 。像声子一样，） 。像声子一样，等离体子是一种准粒子，有能量、动量，是玻色粒子，服从玻色统计等离体子是一种准粒子，有能量、动量，是玻色粒子，服从玻色统计分布。分布。请注意：声子和等离体子都是准粒子，或称元激发。它们实际上是代请注意：声子和等离体子都是准粒子，或称元激发。它们实际上是代表系统某种集体运动形态的量子。因此离开这系统，这些量子就失去表系统某种集体运动形态的量子。因此离开这系统，这些量子就

13、失去存在的根基。存在的根基。2. 2. 常温下的等离子体振荡常温下的等离子体振荡对于金属，对于金属，P大约在大约在 5 5 30 eV 30 eV 之间之间（很大） 。（很大） 。因因 1 K 1 K 10 10-4-4 eV eV，故常温下很难激发等离子体振荡，故常温下很难激发等离子体振荡（n = 0n = 0） 。） 。但存在量子力学的零点振荡能但存在量子力学的零点振荡能 P21，因此常温时金属中的电子气处，因此常温时金属中的电子气处在零点振荡的状态，存在电荷密度的零点起伏。在零点振荡的状态，存在电荷密度的零点起伏。原因：这种集体运动来自电子间库仑作用的长程部分，使电子之间在原因：这种集体

14、运动来自电子间库仑作用的长程部分，使电子之间在长距离范围相互关联，形成纵向长波振动。长距离范围相互关联，形成纵向长波振动。3. 3. 等离体子的实验测量等离体子的实验测量 p 131-132 p 131-132 图图 6.166.16三库仑屏蔽势和准电子三库仑屏蔽势和准电子电子之间的库仑相互作用使电子的运动情况变得十分复杂。除了电子之间的库仑相互作用使电子的运动情况变得十分复杂。除了等离子体振荡这种电子集体运动形式外，每个电子的运动也变成准电等离子体振荡这种电子集体运动形式外，每个电子的运动也变成准电子运动形式。子运动形式。1. 1. 短程的库仑屏蔽势短程的库仑屏蔽势电荷之间的库仑相互作用原本

15、是长程势，但在等离子体中，由于电荷之间的库仑相互作用原本是长程势，但在等离子体中，由于高密度电子的迅速流动和重新分布，会在一个电荷周围产生屏蔽，使高密度电子的迅速流动和重新分布，会在一个电荷周围产生屏蔽，使该电荷的库仑势变成短程的。该电荷的库仑势变成短程的。以一个正点电荷以一个正点电荷 e eo o为例。我们知道，为例。我们知道，e eo o在真空中产生的库仑势是在真空中产生的库仑势是reoo41。现在讨论这个正点电荷。现在讨论这个正点电荷 e eo o在等离子体中产生的库仑势是什么在等离子体中产生的库仑势是什么样的。以下讨论中假定等离子体没有振荡样的。以下讨论中假定等离子体没有振荡（也没有零

16、点振荡） 。（也没有零点振荡） 。假定等离子体原本处于没有振荡的平衡态，空间每一处的正电荷假定等离子体原本处于没有振荡的平衡态，空间每一处的正电荷密度等于电子电荷密度，因此就像在真空中那样空间处处都是电中性。密度等于电子电荷密度，因此就像在真空中那样空间处处都是电中性。现在在原点处放入正点电荷现在在原点处放入正点电荷 e eo o（固定不动） ，则等离子体中的电子要重（固定不动） ，则等离子体中的电子要重新分布，同时形成了势新分布，同时形成了势(r)(r)。设系统重新稳定后。设系统重新稳定后（没有振荡）的电子（没有振荡）的电子密度为密度为 dEEgreEfrn)()()( - - - (11)

17、 - - - (11)这里这里 f f 是分布函数，是分布函数，g(E)g(E)是能态密度是能态密度当当 e e(r)(r)为小量时，分布函数偏离不大，可在能量为小量时，分布函数偏离不大，可在能量 E E 处展开处展开 )()()()()()(reEEEfreEfEfreEfF所以所以 dEEgreEEEfrnF)()()()()( )()(FoEgren其中其中 n no o是原来系统平衡时的均匀电子密度，它与均匀恒定正电荷背景是原来系统平衡时的均匀电子密度，它与均匀恒定正电荷背景抵消，不产生电场和电位势。抵消，不产生电场和电位势。因因此此电电子子电电荷荷密密度度的的变变化化 )()()(2

18、FoEgrenrne - - - - - - ( (1 12 2) )位位于于原原点点的的正正点点电电荷荷 e eo o、电电子子电电荷荷密密度度的的变变化化和和势势满满足足泊泊松松方方程程 )()()(1)(1)(22rEgererrFooo - - - - ( (1 13 3) )作作傅傅立立叶叶展展开开 )exp()()2(1)(3rq iqqdr - - - - - - ( (1 14 4) ) )exp()2(1)(3rq iqdr - - - - - - ( (1 15 5) )代入泊松方程代入泊松方程（1313） qdrq iqEgeerq iqqdFoo)exp()()()2(

19、1)exp()()2(12323 0)exp()()()()2(1223qdrq iqEgeeqqFoo 所以所以 0)()()(22qEgeeqqFoo )/ )()()(2222oFooFooEgeqeEgeqeq )(22cooqqe - - - (16) - - - (16) 其中其中 22222)(FoFocmkeEgeq - - - (17) - - - (17) 这里能态密度采用了这里能态密度采用了“量子力学的理想自由电子气模型”的“量子力学的理想自由电子气模型”的 结果结果 222223)2/()3/(2323)(FFFFFmkmkkEnEg把把（1616）代入）代入（1414

20、）式，）式， qdrq iqqercoo)exp()()2(1)(223 取取 r r 沿沿 z z 方向方向 dqddqiqrqqecoosin)cosexp(1)2(22200203 dqqiqriqrqqecoo202202)cosexp(114 dqeeiqqqreiqriqrcoo142202 dqqqqrqrecoo2202)sin(2 )exp(222rqrecoo 所以所以 )exp(41)(rqrercoo - - - (18) - - - (18)2. 2. 讨论：讨论： 公式公式（1818）表明，正点电荷）表明，正点电荷 e eo o在等离子体中产生的库仑势是按指在等离子

21、体中产生的库仑势是按指数数 exp(-q exp(-qc cr)r)的形式衰减。势的形式衰减。势(r)(r)衰减的原因是电子气对位于原点处衰减的原因是电子气对位于原点处的正电荷的正电荷 e eo o的屏蔽作用。公式中的屏蔽作用。公式中 reoo41 代表没有屏蔽作用时，正电代表没有屏蔽作用时，正电荷荷 e eo o产生的库仑势，而产生的库仑势，而 )exp(41rqrecoo 代表有屏蔽作用时的库仑势。代表有屏蔽作用时的库仑势。通常定义通常定义 cq1 为屏蔽长度，对于金属为屏蔽长度，对于金属 10 10-10-10 m m，大约与原子，大约与原子间距相当。因此正点电荷间距相当。因此正点电荷

22、e eo o在等离子体中时，对距离外的电子已近在等离子体中时，对距离外的电子已近似无直接库仑作用，从这个意义上说，原本长程的裸库仑相互作用变似无直接库仑作用，从这个意义上说，原本长程的裸库仑相互作用变成了短程的或屏蔽的库仑相互作用。成了短程的或屏蔽的库仑相互作用。3. 3. 准电子准电子 现在把正点电荷现在把正点电荷 e eo o换成电子，则上述结论同样成立。公换成电子，则上述结论同样成立。公式（式（1818）表明，每个电子周围附加了一个半径约为（）表明，每个电子周围附加了一个半径约为（cq1）的正电屏蔽层。也就是说，由于库仑相互作用的关联效应，的正电屏蔽层。也就是说，由于库仑相互作用的关联效

23、应，电子将排开临近的电子，形成随电子运动的正的屏蔽电荷云。电子将排开临近的电子，形成随电子运动的正的屏蔽电荷云。这时电子的运动已经和多电子系统分不开了，只能认为是多这时电子的运动已经和多电子系统分不开了，只能认为是多电子系统中的准电子。准电子是费密子，遵从费密电子系统中的准电子。准电子是费密子，遵从费密狄喇克狄喇克统计。统计。 由于二个电子的最近距离由于二个电子的最近距离 cq1，因此等离子体的最，因此等离子体的最小波长小波长 ，所以，所以 q qc c 是等离子体振荡的是等离子体振荡的最大波矢值。最大波矢值。 4 4. . 电电子子集集体体运运动动的的物物理理图图象象在在实实际际情情况况中中

24、，电电子子将将排排开开临临近近的的电电子子，而而由由于于电电子子离离开开时时，总总是是冲冲过过了了平平衡衡位位置置，又又被被电电子子周周围围的的正正的的屏屏蔽蔽电电荷荷云云拉拉回回，于于是是电电子子往往复复地地振振动动。另另外外，电电子子气气还还有有零零点点振振荡荡能能。所所以以，电电子子气气的的振振荡荡与与电电子子的的屏屏蔽蔽作作用用总总是是密密切切地地联联系系着着的的。电电子子气气中中的的势势场场可可以以看看成成是是公公式式（1 1）确确定定的的与与电电荷荷密密度度起起伏伏对对应应的的变变化化电电场场 E E 和和公公式式（1 18 8）确确定定的的随随电电子子运运动动的的势势场场( (r

25、 r) )的的叠叠加加。把把等等离离体体子子和和准准电电子子理理解解为为相相互互作作用用电电子子系系统统集集体体效效应应的的两两个个方方面面。四四单粒子激发单粒子激发金属电子气中除了有集体运动的激发外，还有单粒子激发。金属电子气中除了有集体运动的激发外，还有单粒子激发。电子气的基态：费密球内所有状态被电子占满，费密球外的状态是电子气的基态：费密球内所有状态被电子占满，费密球外的状态是 空的。空的。电子气激发态：费密球内电子气激发态：费密球内 k k 状态电子激发到球外状态电子激发到球外 k+q k+q 的空状态，产的空状态，产 生一个电子生一个电子- -空穴对：球内一个空穴对：球内一个 k k

26、 空穴，球外一个空穴，球外一个 k+qk+q 电子。电子。激发所需能量：激发所需能量： )2(222)(222222qkqmmkmqkE - (19) - (19) 由球内空穴由球内空穴 Fkk 球外电子球外电子 Fkqk|在在 q q q qc c的长波区域，等离体子的能量的长波区域，等离体子的能量 P大于电子大于电子 - -空穴对个别激空穴对个别激发能量发能量 E Emaxmax，个别电子，个别电子- -空穴对激发不可能产生等离体子，集体激发也空穴对激发不可能产生等离体子，集体激发也不能衰变成为个别电子不能衰变成为个别电子- -空穴对。等离子体振荡是一种稳定的集体运动空穴对。等离子体振荡是

27、一种稳定的集体运动状态。状态。在在 q q q qc c的短波区域，等离子体振荡的波长太短，不稳定。这时只有的短波区域，等离子体振荡的波长太短，不稳定。这时只有个别电子个别电子- -空穴对激发存在。空穴对激发存在。以下估计单位体积中等离体子的模式总数以下估计单位体积中等离体子的模式总数 N Np p。 在波矢空间，等离体子的波矢是处在半径为在波矢空间，等离体子的波矢是处在半径为 q qc c的球内，的球内，q qc c由公由公 式式（1717）给出）给出 22222)(FoFocmkeEgeq 模式总数为模式总数为 23336)34(81ccPqqN - - - (22) - - - (22)

28、 单位体积电子气的自由度总数为单位体积电子气的自由度总数为 233Fkn ，因此，因此 3323236/6/3FcFcPkqkqnN - - - (23) - - - (23)6.6 6.6 维格纳晶格维格纳晶格1. 1. 屏蔽程度的强弱屏蔽程度的强弱由上节的公式由上节的公式（1717） 22222)(FoFocmkeEgeq 公式公式（1818） )exp(41)(rqrercoo 及及6.16.1 节的公式节的公式 3/12)3(nkF 在在“正电荷凝胶加电子气”模型中，电子间的互作用是屏蔽的库“正电荷凝胶加电子气”模型中，电子间的互作用是屏蔽的库仑作用仑作用(r)(r)，屏蔽效应的程度由

29、，屏蔽效应的程度由 q qc c2 2 来量度。来量度。电子密度高，电子密度高，k kF F值大，值大，q qc c2 2也大，屏蔽长度也大，屏蔽长度 cq1 小，屏蔽效应强。小，屏蔽效应强。在低密度的电子气中，费密球半径小，屏蔽效应很弱，电子间库仑作在低密度的电子气中，费密球半径小，屏蔽效应很弱，电子间库仑作用仍是长程的，同时系统中电子的平均动能用仍是长程的，同时系统中电子的平均动能FEE53小。小。2 2维格纳晶格的物理图象维格纳晶格的物理图象 当电子气密度足够低时，电子平均动能将小于均匀恒定正电荷背当电子气密度足够低时，电子平均动能将小于均匀恒定正电荷背景对电子的库仑吸引势，电子将不能自

30、由运动，即电子气将发生景对电子的库仑吸引势，电子将不能自由运动，即电子气将发生“凝“凝结” 。凝结的电子气的分布将趋于使系统的总能量最低，即使电子间的结” 。凝结的电子气的分布将趋于使系统的总能量最低，即使电子间的库仑排斥能最小。电子系统将在均匀正电荷背景中形成电子晶格。这库仑排斥能最小。电子系统将在均匀正电荷背景中形成电子晶格。这就是维格纳晶格。就是维格纳晶格。 取取 r ro o = r = rs sa aB B，a aB B为玻尔半径，为玻尔半径，r rs s是无量纲系数是无量纲系数（1 1）电子的平均动能）电子的平均动能 3/23223/22222)433(103)3(10325353oFFermnmmkEE 223/2223/2211)49(1031)49(103sBoramrm RyrRyrss223/221. 21)49(1023 - - - (2) - - - (2)（2 2） 球内均匀正电荷与位于球心的电子的互作用能球内均匀正电荷与位于球心的电子的互作用能 drddrrererdreEorooosin344141230020 sBoooroooraererdrre1183834322032 Ryrs3 - - - (3) - - - (3)（3 3）