理论物理综合第一章拉格朗日方程与哈密顿方程

1、 讲授： 吕 航 办公室（实验楼B205） 电话E-mail： 2013-2014学年度第一学期 普通物理普通物理 理论物理理论物理(四大力学四大力学)大学物理大学物理力学：主要指牛顿力学力学：主要指牛顿力学热学热学电磁学电磁学光学光学原子物理学原子物理学理论力学：核心是分析力学理论力学：核心是分析力学量子力学量子力学电动力学电动力学热力学与统计物理热力学与统计物理感性认识建立在实验的基础上理性认识形成系统的理论态度端正，不要有任何思想包袱掌握正确的学习方法除了教材以外，应准备1-2本相关的参考书数学基础知识的预备不要旷课，提前预习，按时交作业 参考书参考书1 1理论

2、物理导论理论物理导论 李卫李卫 刘义荣刘义荣 2 2理论物理导论理论物理导论 程建春程建春 3.3. 量子力学量子力学I I 曾谨言曾谨言4. 4. 统计物理学导论统计物理学导论 王竹溪王竹溪5. 5. 统计热力学统计热力学 梁希侠，班士良梁希侠，班士良平时成绩（30%）：包括考勤（累计5次旷课则平时成绩以零分处置），课堂听课情况，作业完成情况，课堂测验成绩期末考试成绩（70%） 现代力学现代力学力学力学牛顿力学牛顿力学( (牛顿三大定律牛顿三大定律+ +万有引力定律万有引力定律) )量子力学量子力学(微观）微观） 相对论力学（高速）相对论力学（高速）分析力学分析力学（拉格朗日力学（拉格朗日力

3、学+ +哈密顿力学哈密顿力学) )力学的发展力学的发展 经典力学经典力学(低速、宏观低速、宏观)历史发展的先后研究方法的不同二、适用范围 低速低速 、 宏观物体宏观物体 的运动。的运动。 这里：l 指物体的特征尺度；a 指原子的尺度。 8(3 10 m/s)vc 10(10m)la 牛顿力学回顾一、研究对象及研究方法 物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。拉格朗日在分析力学序中宣称：“在这本书中找不到一张图，我所叙述的方法既不需要作图，也不需要任何几何的或力学的推理，只需要统一而有规则的代数(分析)运算”。 法国数学家、物理学家 分析力学的创立者

4、。在其名著分析力学中，把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路 爱尔兰人 他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献哈密顿量是现代物理最重要的量，当我们得到哈密顿量，就意味着得到

5、了全部 第一章 拉格朗日方程和哈密顿方程 1-1 自由度自由度 约束与广义坐标约束与广义坐标自由度：为单值地确定一个系统的位置所必需给定的独立变量的数目。质点：为了确定一个质点在空间的位置，常需要三个坐标x、y、z。 a：假如质点是完全自由的，即x、y、z彼此独立，则称该质点有3个自由度。 b：假如质点被限制在xy平面上运动，此时有z=0，它就是限制质点自由运动的条件，称为“约束”。 z=0称为约束方程。此时，这个质点只剩下两个坐标可以任意取值，则称该质点有2个自由度。c：把质点的运动平面扩展到空间中的任意平面，改制点的平面运动方程Ax+By+Cz+D=0（该方程称为约束方程），独立地确定x、

6、y，就可以确定z，则称该质点有2个自由度。d：依此类推，假如限制质点只在一条直线上运动，则约束方程为两个，可供独立选择的坐标变量是一个，则称质点有1个自由度。e：假设有N个质点组成的一个系统。系统的质点自由运动时，自由度数为3N；若有k个约束方程，则自由度数为3N-k。广义坐标、广义速度广义坐标、广义速度假设一个系统有假设一个系统有s个自由度，那么确定该系统位置，个自由度，那么确定该系统位置，需要用到需要用到s个变量，把这个变量，把这s个变量用个变量用q1、q2、q3、qs来表示，称为该系统的来表示，称为该系统的s个个广义坐标广义坐标。广义坐标对时间广义坐标对时间t t的微商，的微商，dq/d

7、tdq/dt，记为，记为 ，称为，称为广义速度广义速度。q导数导数拉格朗日函数拉格朗日函数：它是由系统的动能和势能定义的函数它是由系统的动能和势能定义的函数。 L = T-U把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。N N个质点的牛顿运动方程写为：个质点的牛顿运动方程写为：).,2 , 1( ,NiZzmYymXxmiiiiiiiii 质点系的动能表示为：质点系的动能表示为：NiiiiizyxmT122221 1-2 拉格朗日方程拉格朗日方程分力分力分力为分力为保守力保守力（保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负（保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负

8、值为力，势能下降最快的方向为力的方向。）值为力，势能下降最快的方向为力的方向。），可表示为：可表示为：iiiiiiiid m xd xdTmm xXdtxdtdtNiiiiizyxmT122221得到：得到：0iixUxTdtd0iixUxTdtd同理同理可得可得到：到： 0iiLUTLddtxx与速度无关与速度无关与坐标无关与坐标无关000iiiiiidLLdtxxdLLdtyydLLdtzz用用广义坐标广义坐标表示的拉格朗日方程表示的拉格朗日方程：0jjqLqLdtd(j=1,2,s)拉氏方程的特点拉氏方程的特点: 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形是一个二阶微分方程组，

9、方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。程形式不变。方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。方程个数也越少，问题也就越简单。3. 1-4 哈密度函数哈密度函数 哈密顿方程哈密顿方程 哈密顿提出用哈密顿提出用s s个广义坐标和个广义坐标和s s个广义动量描述体个广义动量描述体系的运动，系的运

10、动，导出了三种不同形式的方程：导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则哈密顿正则方程方程、哈密顿原理和哈密顿、哈密顿原理和哈密顿雅可比方程，称为经雅可比方程，称为经典力学的典力学的哈密顿理论哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。牛顿理论是等价的。广义动量：广义动量：22212TmxyzU与速度与速度无关：无关： qLp 变换形式，令：变换形式，令：微分：微分：独立变量勒让德变换公式：勒让德变换公式：只换一个变量时：只换一个变量时：独立变量对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密顿函数: qLp 广义动量：广义动量：对上式两边求微分，对上式两边求微分，左边：左

11、边：右边：右边：由由拉格朗日方程拉格朗日方程:0jjqLqLdtdqHppHq-哈密顿正则（运动）方程哈密顿正则（运动）方程是是哈密顿函数哈密顿函数的微分形式的微分形式. .1sjjjHLp q 1-5 哈密度函数的物理意义哈密度函数的物理意义对于一个保守系，并且对于一个保守系，并且L不显含不显含t时，时，哈密顿函数的物理意义：通过化简哈密顿函数的物理意义：通过化简:H=U+T=E(总能量总能量)哈密顿函数正好为哈密顿函数正好为系统的势能和动能的总和系统的势能和动能的总和，即为即为系统的总能量系统的总能量。1sjjjHLp q 欧勒定理：欧勒定理：证明：qHppHq 通过变分，可以把微分方程变为最理想最简单的通过变分，可以把微分方程变为最理想最简单的形式，即形式，即哈密顿正则方程哈密顿正则方程，哈密顿用这个方程提供了，哈密顿用这个方程提供了一个普遍原理，对量子力学中一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程薛定谔方程的建立和广的建立和广义相对论都提供了桥梁。义相对论都提供了桥梁。 人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，完全适用于其它