大学物理课件氢原子

1、 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题一、氢原子的薛定谔方程一、氢原子的薛定谔方程reU024 氢原子中电子的势能函数氢原子中电子的势能函数0)4(20222 reEm定态定态薛定谔方程薛定谔方程采用球坐标（采用球坐标（r、 、 ） 22222222sin1)(sinsin1)(1 rrrrrr这是一个定态问题！设波函数设波函数)()()(),(rRr定态定态薛定谔方程变为薛定谔方程变为0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222 reEmrrrrrr采用分离变量法可得到三个常微分方程。采用分离变量法可得到三个常微分方程。0dd222ml0sin)dd(sinddsi

2、n122ml三个常微分方程：三个常微分方程：0)4(2)dd(dd1202222rreEmrRrrr解三个方程，考虑到波函数应满足的标准条件，解三个方程，考虑到波函数应满足的标准条件，可得波函数可得波函数(r，)，并，并很自然地得到氢原子很自然地得到氢原子的量子化特征。的量子化特征。&量子化条件和量子数量子化条件和量子数(1)能量量子化和主量子数能量量子化和主量子数n 使使R(r)满足满足标准条件可得标准条件可得:按照波函数标准条件解微三个分方程方程按照波函数标准条件解微三个分方程方程,就得到氢就得到氢原子的量子化特性原子的量子化特性.,.3,2, 11)4(222202 nnmeEn(2)角

3、动量量子化和角量子数角动量量子化和角量子数l 满足满足标准条件的波函数标准条件的波函数有定解有定解,必须有电子绕核运动的必须有电子绕核运动的角动量的量子化角动量的量子化:)1,.(2 , 1 , 02)1( nlhllL(3)角动量空间量子化和磁量子数角动量空间量子化和磁量子数ml 电子绕核运动的电子绕核运动的角角动量动量L的空间取向不连续的空间取向不连续,其在磁场方向的投影满足量子其在磁场方向的投影满足量子化条件化条件:lmhmLllz ,.2, 1, 02二、量子化条件和量子数二、量子化条件和量子数1. 能量量子化能量量子化主量子数主量子数 n氢原子能量必须满足量子化条件：氢原子能量必须满

4、足量子化条件：eV6 .13118132222204222024nnhmenmeEn , 3 , 2 , 1 n称为称为主量子数主量子数。决定原子中电子能量决定原子中电子能量22204e8nhemEn玻尔的氢原子理玻尔的氢原子理论中的能级公式论中的能级公式完全一致（电离能）（电离能）基态基态能量能量220418hmeEeV6 .13) 1( neV6 .13-221nnEEn激发态激发态能量能量)1(neV/E 氢原子能级图氢原子能级图1n基态基态6 .132n3n4n激发态激发态4 . 351. 185. 0n0自由态自由态 第二第二激发态激发态 第一第一激发态激发态 电离状态电离状态nmE

5、Eh氢原子能级跃迁氢原子能级跃迁与光谱系与光谱系1n2n3n4nn0EE莱曼系莱曼系巴耳末系巴耳末系帕邢系帕邢系氢原子光谱氢原子光谱1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激的激发态时，原子跃迁将发出：发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光一种波长的光 (B) 两种波长的光两种波长的光 (C) 三种波长的光三种波长的光 (D) 连续光谱连续光谱答案答案C2.具有下列哪一能量的光子，能被处在具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能的能级的氢原子吸收？级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV (B) 1.89 eV (C) 2.16 eV (D)

6、 2.40 eV答案答案B例题例题1. 实验发现基态氢原子可吸收能量为实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的的光子光子 (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几条谱线？请画出能级图条谱线？请画出能级图(定性定性)，并将这些跃迁画在能，并将这些跃迁画在能级图上级图上 （3）巴耳末线系有几条？）巴耳末线系有几条？ 莱曼系有几条？莱曼系有几条？eV75.12)11(6 .13-21 nEEn解（解（1）eV6 .13-221nnEEn激发态激发

7、态能量能量)1(n 43 42 41 32 31 21 n =4321 (2) 可以发出可以发出 六条谱线六条谱线42 41 31 43 21 32 n =442 32 （3）巴耳末线系有巴耳末线系有 2条条41 31 莱曼线系有莱曼线系有 3条条21 第三激发态第三激发态 例题例题2. 求求巴耳末系光谱的最大和最小波长巴耳末系光谱的最大和最小波长fiEEh玻尔玻尔频率条件频率条件解：解：2EEchi 最大波长最大波长最小波长最小波长nm65823 EEch nm3662 EEch 2. 电子轨道角动量电子轨道角动量(大小大小)的量子化的量子化角量子数角量子数 l l 受受 n 限制限制01l

8、n1, 3, 2, 1, 0 nl)1( llL1 , 02ln决定轨道角动量大小决定轨道角动量大小2h S、p、d、f, 3 , 2 , 1 , 0 l的支壳层分别依次命名为的支壳层分别依次命名为1，2 , 03 ln氢原子中电子的径氢原子中电子的径向概率分布向概率分布3. 磁量子数磁量子数mllml , 2, 1, 0对于一定的角量子数对于一定的角量子数l ，磁量子数，磁量子数 ml 可取可取(2 l +1)个值个值.决定电子轨道角动量在空间某一方向的投影量子化决定电子轨道角动量在空间某一方向的投影量子化1 , 02 ln1, 0 lm1，2 , 03 ln2, 1, 0 lm2, 062

9、 zLLl6)1(| llL0-2 Lz =2 - z 角动量空间量子化的示意图角动量空间量子化的示意图)1( llLlzmL 1，2 , 03 ln2, 1, 0 lm&氢原子中电子的概率分布氢原子中电子的概率分布n=2l =1ml =0n=2l =1ml = 1电电子子云云这种状态用量子数这种状态用量子数 n , l , ml 描述。描述。同一能级的各状态称同一能级的各状态称简并态。简并态。能量只和主量子数有关，能量只和主量子数有关， 同一个主量子数同一个主量子数,不同不同的角量子数和磁量子数其能量相同，的角量子数和磁量子数其能量相同， 这种情况叫这种情况叫能级的能级的简并，简并，由量子力

10、学得出的氢原子能级图和玻尔理论的由量子力学得出的氢原子能级图和玻尔理论的结果相同。结果相同。玻尔理论的一条能级对应于电子的一种轨道。玻尔理论的一条能级对应于电子的一种轨道。量子力学的一条能级则对应于电子的一种状态量子力学的一条能级则对应于电子的一种状态对于给定的对于给定的l 值值lm,.2, 1, 0即即m有有2l+1个值；个值；对于给定的能量值，即对于给定的能量值，即n值值).1(,.,2 , 1 , 0nl即即l有有n个值；个值；那么一个能量值对应了多少个本征态？那么一个能量值对应了多少个本征态？对于给定的能量值，即对于给定的能量值，即n值，波函数可以有的个数：值，波函数可以有的个数：()

11、21012lnln也就是说，有也就是说，有n2 2个本征量子态都对应于相同的能量个本征量子态都对应于相同的能量本征值本征值En ，这种情形就称为，这种情形就称为能级能级En 是简并的是简并的，或者，或者更具体地说，更具体地说，定态能级定态能级En的简并度是的简并度是n2。 施特恩、格拉赫试验施特恩、格拉赫试验 基态氢原子基态氢原子 试验说明试验说明: 电子自旋电子自旋 （electron spin）不均匀磁场不均匀磁场NSBKP有磁场无磁场1. 基态氢原子有磁矩基态氢原子有磁矩； 2. 磁矩有两种取向。磁矩有两种取向。 在原子光谱中可以发现，光谱线是由一些更在原子光谱中可以发现，光谱线是由一些

12、更 细的线所组成的，称之为细的线所组成的，称之为光谱的精细结构光谱的精细结构。 1925年年乌伦贝克乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和和古兹古兹米特米特（S. Goudsmit）提出了大胆的假设：提出了大胆的假设： 电子带负电，磁矩的方向和电子带负电，磁矩的方向和自旋的方向应相反。自旋的方向应相反。Ss &电子自旋电子自旋 （electron spin） 电子不是质点，有固有电子不是质点，有固有的的自旋角动量自旋角动量 和相应的和相应的SS 自旋磁矩自旋磁矩 这个是模型假设！实际这个是模型假设！实际并非如此！并非如此！B Z 相对于外磁场方相对于外磁场方向向 (Z) , 有有 朝上和朝上

13、和朝下两种取向。朝下两种取向。SSS这一经典图象受到泡利的责难。这一经典图象受到泡利的责难。按按23 S若把电子视为若把电子视为r =10 -16 m的小球，的小球，计算出的电子表面速度计算出的电子表面速度 C !面对按经典图象的理解所给出的面对按经典图象的理解所给出的“荒谬荒谬”结果，结果，乌、古二人乌、古二人(当时不到当时不到25岁岁)曾想撤回自旋的论文，曾想撤回自旋的论文， “You are both young enough to allow yourselves some foolishness!” 但是他们的导师但是他们的导师埃伦菲斯特埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励道：鼓

14、励道： lzmL ， )1( llL轨道角动量轨道角动量根据量子力学，角动量是量子化的：根据量子力学，角动量是量子化的：l = 0, 1, 2(n-1)lml ,210，自旋虽然不能用经典的图象来理解，自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍然和角动但仍然和角动量有关。量有关。“自旋自旋”不是一个经典的概念。不是一个经典的概念。 电子自旋是电子的一种电子自旋是电子的一种 “内禀内禀” 运动，运动，不能视为小球自转。不能视为小球自转。 电子自旋假设电子自旋假设 1. 电子不是点电荷，具有自旋运动。与自旋电子不是点电荷，具有自旋运动。与自旋 运动相对应的角动量记为运动相对应的角动量记为自旋角动量自旋角

15、动量 S； 2. 自旋角动量自旋角动量 S只能取两个值，即只能取两个值，即: 在空间的任何方向上的投影在空间的任何方向上的投影 21 sszmmS，-自旋磁量子数自旋磁量子数 原子中电子的运动状态由四个量子数决定：原子中电子的运动状态由四个量子数决定：主量子数主量子数 n： n = 1, 2, 3, 轨道角量子数轨道角量子数 l： l = 0, 1, 2, , (n-1)轨道磁量子数轨道磁量子数 ml： ml = 0, 1, 2, , l 自旋磁量子数自旋磁量子数 ms： ms = 1/2（n, l, ml , ms）原子中电子的分布还受原子中电子的分布还受两个重要原理两个重要原理的制约的制约

16、:(1)泡利不相容原理泡利不相容原理:在一个原子系统内不可能有两个或两个以上在一个原子系统内不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状，亦即不可能具有相同的电子具有相同的状，亦即不可能具有相同的的4个量子数个量子数.由此可见由此可见,原子中具有同一主量子数原子中具有同一主量子数n的电子数最的电子数最多为多为21022)12(22)12(2nnnlZnin 22n原子中电子状态的表示原子中电子状态的表示:1s2-表示表示K壳层可容纳壳层可容纳两个两个电子电子 l n 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g 5 h 6 i Zn 1,K 2(1s) 2 2,L 2(2s) 6(2p) 8 3,M 2

17、(3s) 6(3p) 10(3d) 18 4,N 2(4s) 6(4p) 10(4d) 14(4f) 32 5,O 2(5s) 6(5p) 10(5d) 14(5f) 18(5g) 50 6,P 2(6s) 6(6p) 10(6d) 14(6f) 18(6g) 22(6h) 72 7,Q 2(7s) 6(7p) 10(7d) 14(7f) 18(7g) 22(7h) 26(7i) 98 2p61s2(2)能量最小原理能量最小原理:每个电子优先占居能量最小的状态每个电子优先占居能量最小的状态.一般讲一般讲n越小能量越越小能量越小小,但是有时受但是有时受l影响影响, n壳层尚未填满壳层尚未填满,

18、n+1壳层已经开始有电壳层已经开始有电子填入了子填入了.sspspdspdspdfspdfspdf比较比较4s与与3dEN= 1 2 3 4 5 6 7 1.原子内电子的量子态由原子内电子的量子态由n、l、ml及及ms四个量子四个量子数表征当数表征当n、l、ml一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为_；当；当n、l 一定时，不同的量子一定时，不同的量子数目为数目为_；当；当n一定时，不同的量子态一定时，不同的量子态数目为数目为_ 2 2(2l+1)2n2例例: :试写出试写出n=2时的各个量子态的四个量子数时的各个量子态的四个量子数,最多最多有几个量子态有几个量子态?最多可容纳多

19、少个电子最多可容纳多少个电子?解解:当当n(=2)确定后确定后,l =0,1,2,(n -1) ( 0 , 1 )ml=0, 1, 2, , l. (0,1)ms= 1/2共有共有8个量子态个量子态,最多可容纳最多可容纳8个电子个电子.2 2 2 2 2 2 2 2 2 nlmlms0 0 0 0 1 0 1 11 0 1 11 2121212121211-1-1212122nZn=例例:求下列量子态中可填充的最大电子数求下列量子态中可填充的最大电子数; 3) 1 ( n;213)2( smn33)3( lmln解解:(1)n=3,1822 nZn;213) 2( smn9.总电子数为总电子数

20、为缺少缺少21 sm的的9个电子个电子.33)3( lmlnnmnll ;应应有有没有此量子态没有此量子态! !2.根据泡利不相容原理，在主量子数根据泡利不相容原理，在主量子数n = 4的电子壳的电子壳层上最多可能有的电子数为层上最多可能有的电子数为_个个32答案答案A3.在氢原子的在氢原子的K壳层中，电子可能具有的量壳层中，电子可能具有的量子数子数(n，l，ml，ms)是是 (A) (1，0，0， ) (B) (1，0，-1， ) (C) (1，1，0， ) (D) (2，1，0， )21-21-2121 激激 光光一、光作用下原子的跃迁一、光作用下原子的跃迁 1. 自发辐射自发辐射原子在没

21、有外界干预的情况下，电子会由处原子在没有外界干预的情况下，电子会由处 于激发态的高能级于激发态的高能级E2自动跃迁到低能级自动跃迁到低能级E1，这种，这种 跃迁称为跃迁称为自发跃迁自发跃迁。由自发跃迁而引起的光辐射。由自发跃迁而引起的光辐射 称为称为自发辐射自发辐射。 1E2E自发辐射自发辐射 1E2E h12EEh 理学院理学院 物理教研室物理教研室 2. 光吸收光吸收原子吸收外来光子能量，原子吸收外来光子能量， 并从低能级并从低能级E1跃迁跃迁 到高能级到高能级E2，这个过程称为，这个过程称为光吸收光吸收。 1E2E h光吸收光吸收 1E2E12EEh 理学院理学院 物理教研室物理教研室

22、3. 受激辐射受激辐射原子中处于高能级原子中处于高能级E2的电子，在外来光子的电子，在外来光子(其其 频率恰好满足频率恰好满足 12EEh ) 的诱发下向低能级的诱发下向低能级E1 跃迁，并发出与外来光子一样特征的光子，这叫跃迁，并发出与外来光子一样特征的光子，这叫 受激辐射受激辐射。 1E2E h受激辐射受激辐射 1E2E h由受激辐射得到的放大了的光是相干光，称由受激辐射得到的放大了的光是相干光，称 之为之为激光激光。 理学院理学院 物理教研室物理教研室 二、激光原理二、激光原理 1. 粒子数正常分布和粒子数布居反转分布粒子数正常分布和粒子数布居反转分布处于低能级的电子数大于处于高能级的电

23、子处于低能级的电子数大于处于高能级的电子 数，这种分布叫做粒子数的数，这种分布叫做粒子数的正常正常分布。分布。 处于高能级的电子数大于处于低能级的电子处于高能级的电子数大于处于低能级的电子 数，这种分布叫做粒子数布居数，这种分布叫做粒子数布居反转反转分布，简称分布，简称粒粒 子数反转子数反转。 若想实现若想实现粒子数布居反转分布粒子数布居反转分布，则需从外界，则需从外界 输入能量，把低能级上的原子激发到高能级上去，输入能量，把低能级上的原子激发到高能级上去， 这个过程叫做这个过程叫做激励激励，也叫，也叫泵浦泵浦。 理学院理学院 物理教研室物理教研室 工作物质工作物质: 能够实现能够实现粒子数布

24、居反转分布粒子数布居反转分布的的 物质。物质。 红宝石中铬离子能级示意图红宝石中铬离子能级示意图.1E2E.。基态基态亚稳态亚稳态激发态激发态3E理学院理学院 物理教研室物理教研室 2. 谐振腔谐振腔 光在粒子数反转的工作物质中往返传播，使光在粒子数反转的工作物质中往返传播，使 谐振腔内的光子数不断增加，从而获得很强的光，谐振腔内的光子数不断增加，从而获得很强的光， 这种现象叫做这种现象叫做光振荡光振荡。 .l激光光束激光光束全反射镜全反射镜部分透光反射镜部分透光反射镜光学谐振腔示意图光学谐振腔示意图理学院理学院 物理教研室物理教研室 光学光学谐振腔谐振腔的作用的作用: 1. 产生和维持光振荡

25、，使光得到加强产生和维持光振荡，使光得到加强； 2. 提高激光的方向性提高激光的方向性； 3. 提高激光的单色性。提高激光的单色性。 激光器的结构激光器的结构: 1. 工作物质工作物质； 2. 激励装置激励装置； 3. 谐振腔。谐振腔。 激光的激光的特点特点: 方向性好、单色性好、相干性好、能量集中。方向性好、单色性好、相干性好、能量集中。 理学院理学院 物理教研室物理教研室 三、激光冷却、玻色-爱因斯坦凝聚 2020世纪世纪3030年代，爱因斯坦曾提出一个著名的预见，年代，爱因斯坦曾提出一个著名的预见，当温度降低到原子的波长约等于原子的间距时，会有一当温度降低到原子的波长约等于原子的间距时，

26、会有一个很特殊的情况发生：个很特殊的情况发生： 许多原子的行为开始变得一致，这意味着它们的相许多原子的行为开始变得一致，这意味着它们的相位、速度和任何状态都一模一样。位、速度和任何状态都一模一样。 这被称为玻色这被称为玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 。在温度很低而密度很高的状态下，许多原子的行为将开始变得一致在温度很低而密度很高的状态下，许多原子的行为将开始变得一致xy用眼睛对着激光看，会被灼伤视网膜；用眼睛对着激光看，会被灼伤视网膜；激光还能切割、焊接金属。激光还能切割、焊接金属。然而，激光也可以把原子冷却到非常低的温度！然而，激光也可以把原子冷却到非常低的温度！ 如何理解激光冷却？如何

27、理解激光冷却？所谓激光冷却，就是在激光作用下使原子的速度降低。所谓激光冷却，就是在激光作用下使原子的速度降低。激光冷却与捕陷原子 获得低温是长期以来科学家所刻意追求的一种技术。获得低温是长期以来科学家所刻意追求的一种技术。它不但给人类带来实惠，例如超导的发现与研究，而且它不但给人类带来实惠，例如超导的发现与研究，而且为研究物质的结构与性质创造了独特的条件。例如在低为研究物质的结构与性质创造了独特的条件。例如在低温下，分子、原子热运动的影响可以大大减弱，原子更温下，分子、原子热运动的影响可以大大减弱，原子更容易暴露出它们的容易暴露出它们的“本性本性”。以往低温多在固体或液体。以往低温多在固体或液体系统中实现，这些系统都包含着有较强的相互作用的大系统中实现，这些系统都包含着有较强的相互作用的大量粒子。量粒子。2020世纪世纪8080年代，借助于激光技术获得了中性气年代，借助于激光技术获得了中性气体分子的极低温（例如，体分子的极低温（例如，10-10K10-10K）状态，这种获得低温）状态，这种获得低温的方法就叫激光冷却。的方法就叫激光冷却。 实际上，原子的运动是三维的。1985年贝尔实验室的朱棣文小组就用三对方向相反的激光束分别沿x，y，z三个方向照射钠原子，在6束激光交汇处的钠原子团就被冷却下来，温度达到了240mK。 理论指出，多普勒冷却有一定