大学物理振动学基础3

1、解解: (1)cos(tAx22020vxA 一弹簧振子沿一弹簧振子沿X轴作简谐振轴作简谐振, 已知已知物体质量为物体质量为m=0.1kg. 在在t=0时物体对平衡时物体对平衡 位置的位移位置的位移X0=0.05m,速度为速度为v0= - 0.628m/s .mNk/8 .15求求: (1) 振动方程振动方程 (2) 从初始位置到平衡从初始位置到平衡 位置所需最位置所需最短时间短时间14)/(57.121 . 08 .15ssradmkm22221007. 7)57.12()628. 0(05. 0cos0Ax sin0Av00 xvtgsmAv/628. 0sin0mtx)44cos(100

2、7. 724或或0sin 445105. 057.12628. 0振幅已知，知道位振幅已知，知道位置和速度方向，就置和速度方向，就知道了相位知道了相位cos0Ax sin0AvX X0 0=0.05m,=0.05m,v v0 0= - 0.628m/s= - 0.628m/s显然任意时刻显然任意时刻P P点的坐标点的坐标X XMxAy0Pt+Mt=tt=t，A A与与X X轴夹角为轴夹角为tt=0t=0，A A与与X X轴夹角为轴夹角为)cos(tAx矢端在矢端在x轴上投影点的运动轴上投影点的运动代表代表简简谐振动谐振动.简谐振动的矢量图表示法 第2节：简谐振动的动力学三个黄背底的式子可以互相

3、推得，满足这三个关系就三个黄背底的式子可以互相推得，满足这三个关系就是简谐振动是简谐振动xa2makxF)cos(tAxmk称为谐振动的动称为谐振动的动力学微分方程力学微分方程0222xdtxdox设平衡时侵入液体中的体积为设平衡时侵入液体中的体积为V,以平衡以平衡时比重计下端为原点建立如图所示坐标时比重计下端为原点建立如图所示坐标Vgmg是简谐振动。动推后，在竖直方向的运，证明比重计经下直径为的液体中，比重计圆管为的比重计放在密度质量为dm例例1ox浮力浮力：xgdVgF22重力：重力：mgxgdF22合mFa/合xgmddtxd4222gmd422坐标为坐标为x时的浮力：时的浮力：0222

4、xdtxd例例2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在在此隧道此隧道 内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质量量Me和半径已知和半径已知ReMRrrGmF332建立建立oy坐标系：坐标系：解解:rRGmMe3OsinFFysin3rRGmMe0221rqkqF 1q2q0322 yRGMdtyde满足简谐振动微分方程，故为简满足简谐振动微分方程，故为简谐振动。其周期为谐振动。其周期为min3 .84223 eGMRT sinFFysin322RRGmMdtydmesin3rRGmMeyRGmMe3

5、0O0222xdtxd0Omin3 .84223 eGMRT 简谐振动的能量弹簧振子的动能弹簧振子的动能221mvEk)(sin2122tkA)(sin21222tAm)sin(tAv2max21kAEk0minkEkmoxX)cos(tAxmk2221kxEp)(cos2122tkAPEkEt)cos(tAx)(sin2122tkAEkkmoxX弹簧振子的势能及机械能pkEEE221kA简谐振动的总能量简谐振动的总能量：系统机械能守恒系统机械能守恒TPdttkATE022)(cos211241kA221kxEp)(cos2122tkA)(sin2122tkAEk平均动能及平均势能20411k

6、AdtETEtKk动能和势能动能和势能平均来说都平均来说都不占优势不占优势PEkEt简谐振动能量与动力学方程之间的关系pkEEE222121kxdtdxm0dtdE0222xdtxd一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期的方法的方法 简谐振动的动力学方程求解途径1.1.由分析受力出发由分析受力出发(由牛顿定律转动定律由牛顿定律转动定律列方程列方程)2. 由分析能量出发由分析能量出发(将将能量能量守恒式对守恒式对t求导求导)例例3 一劲度系数为一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为端连结一质量为m1的物体，放在光

7、滑的水平面上。将的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为一质量为m2的物体跨过一质量为的物体跨过一质量为M，半径为，半径为R的定滑轮的定滑轮与与m1相连，求其系统的振动圆频率。相连，求其系统的振动圆频率。解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标原点，向右为正建立坐标。由牛顿第二定律由牛顿第二定律22111ddtsmamksTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22111ddtsmamksT222222ddtsmamTgm21221)(MRIRTTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22dd1

8、tSRRa解上面的方程组得解上面的方程组得0)()21(22221kgmSkt dSdMmmkgmSx2令：02dd2122xMmmktx系统的振动角频率系统的振动角频率221Mmmk0222xdtxdOm1m2m2g/kRMk解法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性解法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的机械能守恒。力做功，因此该系统的机械能守恒。gSmvmIvmkS222221221212121常数常数Om1m2m2g/kRMk弹簧原长时为零重力势能点，则弹簧伸长为弹簧原长时为零重力势能点，则弹簧伸长为S时：时：代入和将221MRIRv0)(dd)2

9、1(22221kgmSktSMmm2/21Mmmk上式对上式对t求导并整理可得求导并整理可得gSmvmIvmkS222221221212121常数常数Om1m2m2g/kRMkU形管中液体形管中液体的振动的振动 例题例题4在横截面为在横截面为S的的U形管中有适量液液体总长度为形管中有适量液液体总长度为L,质量为质量为m,密度为密度为 ,求液面上下起伏的振动频率（忽略液求液面上下起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩檫）体与管壁间的摩檫） 选如图所示的坐标，并选选如图所示的坐标，并选两液面相齐时的平衡位置为坐两液面相齐时的平衡位置为坐标原点，且取平衡时液体势能标原点，且取平衡时液体势能为零。为零。

10、 解解: 液体受到初始扰动后，液体受到初始扰动后，振动过程中没有机械能损失，振动过程中没有机械能损失，因此我们用能量方法来分析。因此我们用能量方法来分析。yyOy由于液体的由于液体的“不可压缩性，不可压缩性，因此整个液体的动能因此整个液体的动能2)(21dtdym2)(21dtdymdtdy左面液面的速度为左面液面的速度为由能量守恒得由能量守恒得yyOy两端对时间求导两端对时间求导平衡位置（两液面高平衡位置（两液面高度相同）为零势点度相同）为零势点常量2gSymgs2gsmT222gLT22LSm常量22)(21gSydtdym0222ymgsdtyd例例5 如图所示，弹性系数为如图所示，弹性

11、系数为k，质量为，质量为M的弹簧振子静止的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为地放置在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v1射入射入M中，并很快与之一起运动。选中，并很快与之一起运动。选m、M开始共同运开始共同运动的时刻为动的时刻为 t = 0，求固有频率、振幅和初相位。，求固有频率、振幅和初相位。 解解kMV1mmMk 0 碰撞过程中动量守恒：碰撞过程中动量守恒：mMmvv 1020)(21vmM整个体系的能量整个体系的能量221kA)cos(0 tAx2120)(vmMkmvkmMA kMV1mxmMk 0 振动学一个基本的思路振动叠加原理振动叠加原理任何一

12、个复杂的振动都可以看成任何一个复杂的振动都可以看成是一种最基本的振动合成的是一种最基本的振动合成的简谐振动简谐振动研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的合成问题，就可以研究任何复杂振动了合成问题，就可以研究任何复杂振动了分振动分振动：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 振动叠加原理振动叠加原理简谐振动的合成21xxx更一般的形式：更一般的形式：如果一个物体同如果一个物体同时参与了几个振时参与了几个振动，则物体将按动，则物体

13、将按它们的和振动来它们的和振动来运动运动分振动：分振动：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率分振动：分振动：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 我们要讲四种情形我们要讲四种情形分振动：分振动：x =A1cos( t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2 )振动方向垂直的同频率分振

14、动：分振动：x =A1cos( 1 t+ 1 ) y =A2cos( 2 t+ 2 )合振动：合振动：j yi xrjtAitA)cos()cos(2211振动方向垂直的不同频率合振动：合振动：j yi xrjtAitA)cos()cos(222111我们要讲四种情形我们要讲四种情形一一 同方向同频率的同方向同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)11cosA22cosA2AA1A21合振动是合振动是简谐振动简谐振动吗？吗？振幅多大？振幅多大？周期多少？周期多少？XY0 x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+

15、 A2cos( t+ 2 ) x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)2.合振动合振动 : x = x1+ x2x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY两种特殊情况(1)若两分振动若两分振动同相同相 2 1= 2k (k=0,1,2,)则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强合振幅最大合振幅最大2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA)

16、cos(212212221AAAAA两种特殊情况(2)若两分振动若两分振动反相反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)则则A=|A1-A2|, 两分两分振动相互减弱振动相互减弱如如 A1=A2 , 则则 A=0(3)一般情况：一般情况：|2121AAAAA1A2AA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(212212221AAAAA例例1 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为为cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx1)求它们的合振动方程；求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振

17、动另有一同方向的简谐振动cm)2cos(233tx问当问当 3 为何值时，为何值时，x1+x3的振动为最大值？当的振动为最大值？当 3为何值时为何值时，x1+x3的振动为最小值？的振动为最小值？)2cos(0tAx解：解：1) 两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动，合振动方程为后还是简谐振动，合振动方程为)2cos(0tAx)cm(5)cos(212212221AAAAA43coscossinsintan221122110AAAA)cm()5/42cos(5tx所求的振动方程为所求的振动方程为540590cm)2cos(41txcm)2

18、/2cos(32tx相位相同时当,), 2, 1, 0(213kk2)，振幅最大即), 2, 1, 0(23kk相位相反时（当,), 2, 1, 0() 1213kk，振幅最小即), 2, 1, 0(23kkcm)2cos(41txcm)2cos(233txX(m)o)(st432x1x例例2 两同频率同方向的两同频率同方向的简谐振动，如图示简谐振动，如图示,求合求合成振动的振幅成振动的振幅212)(52cos222212221mAAAAA2102解解：)cos(212212221AAAAA)cos(212212221AAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY

19、多个同方向同频率的多个同方向同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成就是旋转矢就是旋转矢量的矢量和量的矢量和)2sin()2sin(NaADoABD)cos(1wtax )cos(2wtax)2cos(3wtax) 1(cosnwtaxn1 . 5 . 4146页例第CN个同方向同频率相位差依次个同方向同频率相位差依次差个常数的简谐振动的合成差个常数的简谐振动的合成 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA合振动是不合振动是不是简谐振是简谐振动？动？)cos(1111tAx)cos(2222tAx)cos()(22

20、tAtx)cos()(11tAtx2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx2cos2cos2coscos21xxx合振动： 续：同方向不同频率的简谐振动的合成续：同方向不同频率的简谐振动的合成两个振幅相同，两个振幅相同，初相相同的初相相同的当当 2 1时时 2- 1 2+ 12)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx）（ttAx2cos)(21合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动2)(cos2)(12tAtA 续：同方向不同频率的简谐振动的合成续：同方向不同频率的简谐振动的合成合振动不是合振动

21、不是简谐振动简谐振动即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动)(txt2)(cos2)(12tAtA）（ttAx2cos)(21这种合振动振幅忽强忽弱的现象称为拍。这种合振动振幅忽强忽弱的现象称为拍。拍的现象拍的现象xt单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为：即拍频为：)2cos(12t拍频拍频2)(cos2)(12tAtA1212)2(212特殊情景法特殊情景法如果一个问题太复杂，简直没办法研究，如果一个问题太复杂，简直没办法研究，例如股票价格（影响因素太多

22、，主次也难分）例如股票价格（影响因素太多，主次也难分）那么物理学在处理类似问题时的做法是，研究它的那么物理学在处理类似问题时的做法是，研究它的一个特殊情况，或极端情形。这样问题就简单些了，一个特殊情况，或极端情形。这样问题就简单些了，也就容易得出一些有价值的结论了。也就容易得出一些有价值的结论了。振动的频谱分析振动的频谱分析xyzijkAkji,kjir532 实际的振动不一定是实际的振动不一定是谐振动，在运动方程已谐振动，在运动方程已知时，利用知时，利用傅里叶变换傅里叶变换可可以分解为许多若干频率的以分解为许多若干频率的谐振动的叠加。谐振动的叠加。这是信号分析、处理这是信号分析、处理和数字化

23、的基础。和数字化的基础。振动的频谱分析振动的频谱分析教材教材151页页)(tXt周期性的非简谐振动，在周期性的非简谐振动，在运动方程已知时，利用运动方程已知时，利用傅傅里叶变换里叶变换可以分解为许多可以分解为许多若干频率的若干频率的谐振动的叠谐振动的叠加加 x= 3cos(1t+1 ) + 2cos(2 t+2 ) +4cos(3 t+3 ) +27cos(4 t+4 ) +三三. .垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成分振动分振动x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx(1) 合运

24、动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内的一个范围内的一个椭圆椭圆 (2) 椭圆的性质椭圆的性质 (方位、左右旋方位、左右旋 ) 在在 A1 、A2确定之后确定之后, 主要决定于主要决定于 = 2- 10221222212AAxyAyAxxAAy12yx221222212sincos2AAxyAyAx)(12(2)xAAy12yx垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)0)(12（1）221222212sincos2AAxyAyAx2)(12(3)1222212AyAx21223x=

25、A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。圆轨道就成为圆。为其他值时为其他值时,则为任一椭圆。则为任一椭圆。垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成0124124312454721223垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的

26、合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线,即合成运动不即合成运动不是周期性的运动。是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论四四, , 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成 视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化变化,以质点运动的轨道将不断地从上图所示图形依次以质点运动的轨道将不断地从上图所示图形依次的循环变化。的循环变化。0121.)cos(111tAx)cos(222tAy、01241243124547212232 2、如果两个互相垂直的、如果两个互相垂直的振动频率成

27、整数比振动频率成整数比, ,合成运动的合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为形称为李萨如图形李萨如图形。2:1:yxTTyxA1A2o-A2- A1 x y=3 2 2=0, 1= /4)cos(111tAx)cos(222tAy2121nn2:1:yxTT)cos(111tAx)cos(222tAy李萨如图形的应用李萨如图形的应用如果将不同的信号分别输入示波器的如果将不同的信号分别输入示波器的y y 轴和轴和x x 轴的轴的输入端，当两个信号的频率满足一定关系时，荧光输入端，当两个信号的频率满足一定关系时，荧光屏上会显

28、示出李萨如图形屏上会显示出李萨如图形 系统受力：回复力系统受力：回复力 -kx；阻尼力阻尼力tddx22tdxdm动力学方程：动力学方程：令令,2mkom2一.阻尼振动kmoxXtddxkx如何研究这时的如何研究这时的弹簧振子的运动呢？弹簧振子的运动呢？用牛顿定律用牛顿定律)cos(tAext220022tdxdm动力学方程：动力学方程：阻尼振动的研究方式阻尼振动的研究方式)cos(tAextkmoxXtddxkx用牛顿定律得到描述该质用牛顿定律得到描述该质点运动的动力学微分方程点运动的动力学微分方程解这个常微分方程解这个常微分方程得到运动方程得到运动方程令令,2mkom2阻尼振动阻尼振动)cos(tAext22022tdxdmtddxkx0小阻尼：0临界阻尼：）12(CtCext不再振动，较快回到平衡位置不再振动，较快回到平衡位置0过阻尼：不再振动不再振动 缓慢的回到平衡位置缓慢的回到平衡位置系统受力：回复力系统受力：回复力 -kx；阻尼力阻尼力tddx 周期性驱动力周期性驱动力 f