LEBESGUE积分极限定理ppt课件

1、Lebesgue积分的极限定理nff假设每个都可积，那么都可积，那么能否可积？能否可积？已接触的例子？在Riemann积分或Lebesgue积分框架下思索问题： 在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积分与极限可以交换次序，而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！ nf. f设设是函数列且按照某种意义收敛到是函数列且按照某种意义收敛到fnff假设假设 可积，那么可积，那么积分的极限能否为积分的极限能否为的积分？的积分？即积分与极限能否可以交换次序？即积分与极限能否可以交换次序？3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理积分与极限运算的交换定理定理3.2.1Lebesgue根

2、本定理 nfx设是可测集合是可测集合E上非负可测函数列，上非负可测函数列， 1kkf xfx Ef x dx 1kEkfx dx那那么么证明关键：Levi渐升列积分定理。3注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。证明：令证明：令 1nnkkSxfx limnnSxf x故由Levi定理， Ef x dx limnEnSx dx 1limnkEnkfx dx 1kEkfx dx非负单调递增可测函数列且非负单调递增可测函数列且积分线性1.nnEEnEE推论3.2.2设是可测集中互不相交可测子集，fnE假设在E上积分存在，那么在每个上积分存在； fL En

3、fL E2假设假设，那么，那么，且，且 Ef x dx积分对积分域的可列可加性 1nEnf x dx5 nEnEfxfdxxxx d 1nnfxfxx 1.nEEnfx dxfx dx由于由于类似的，类似的， 1nEnfxx dx 1nEnfx dx Efx dx6 6于是正项级数 1nEEnfx dxfx dx 无妨设 .Efx dx fE假设在上积分存在， Efx dx Efx dx与至少一个有限，至少一个有限， nEfx dx n特别的，特别的，fnE所以所以在在上积分存在。上积分存在。 fL E假设 ，即 Efx dx Efx dx nEfx dx nEfx dx n因此对每个.nfL

4、 E故8 EEEf x dxfx dxfx dx 11nnEEnnfx dxfx dx 1nnEEnfx dxfx dx 1nEnf x dx9 inf:njgxfxjnng limlimnnnngxfx证明：思索非负函数那么 非负可测单调递增，且利用Levi定理， limlimnnEE nnfx dxgx dx limnEngx dx lim.nEnfx dx limnEngx dx nfE设是可测集上非负可测函数列，那么定理3.2.3(Fatou引理) limnEnfx dx limnEnfx dx注：Fatou引理中，不等号能够会出现。 11注：Fatou引理中，不等号能够会出现。 22

5、11,2,2xnnfxenn 1.nRfx dx 那么例子：思索 上非负函数列R R lim0:nnfxf x 0. .f xa e0 x 但是当 时，即极限函数于是， lim0nR nfx dx 1limnRnfx dx高斯分布12limlimnnnnff 即得2。2在对函数列 nf运用1的结果，并意到证明：1对函数列nfg运用Fatou引理即得1； limlim.nnEEnnfx dxfx dxg. .nfgae假设存在可积函数，那么练习：设 nf是一列可测函数。 limlim;nnEEnnfx dxfx dxg. .nfgae假设存在可积函数，那么；13,( )kEfEMMlim( )(

6、 ). .kkfxf xae ,nffL E定理定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理控制收敛定理)设设且有且有 FL E|( )|( ). .nf xF xae假设存在假设存在使得使得 ，那，那么么lim( )( )kkEEfx dxf x dx且F kf注：可积函数称为函数列的控制函数。左侧极限存在？证明：由于lim( )( ). .kkfxf xae为可测函数。进而由f|( )|( ). .nfxF xae,nffL E因此|. .fFa e知：E思索上可积函数列( ) |( )( )|,1,2,kkgxfxf xk0 |( )| 2 ( )1,2,kgxF xk由于由Fatou引

7、理，14142 ( )lim( )kkEgxxxFd2 ( )lim ( )kkEgxF xx d15即 lim2( )2( )li()m)kkEkkEEEF x dxF x dxggx ddxxxlim( )0,. .kkgxa elim( )0kkEgx dx，lim( )0.kkEgx dx由于 得即 ,nnEEEf x dxfx dxgx dx最后，由n 令令，即知命题成立。，即知命题成立。( ) |( )( )|,1,2,kkgxfxf xk. .nfFae ( )kfL Emnff EM ( )nfEM推论3.2.5设，且 FL E假设，满足，那么， limnEEnfx dxf x

8、 dx且17lim( )0.nnEgx dx( ) |( )( )|,1,2,nng xf xf xn记： 类似上面定理，只需求证明mnff 证明：由于. .knffae由Riesz定理，存在子列由Lebesgue控制收敛定理， fL E18( )1,2,inEgx dxi012nn假设结论不成立，那么存在与，使得mnff imnff 0. .ijngae由于，必有. .ijnffae由Riesz定理，存在子列，即于是lim( )ijnjEgx dx这与上述不等式矛盾。因此结论成立。lim( )0ijnjEgx dx推论3.2.6(有界收敛定理) ,m E .nfL E nfx0,M 设一致有

9、界，即存在常数假设 ,1,2,nfxMnxE. .nffaemnff 那么当，或者时，有lim( )( ).nnEEfx dxf x dx注：Fatou引理常用于判别非负极限函数的可积性质；控制收敛定理那么给出积分与极限可换序的充分条件。运用控制收敛定理关键在于找出控制函数！ m E 进而留意到当时，E上常函数可积，有：201|( )|nnEfx dx ,EM .nfL E定理3.2.7(逐项积分)设假设那么级数1( )nnfxE在上几乎处处收敛。 1( )nnEfx dx，那么 f x fL E记和函数为，且有( ).Ef x dx证明：定义函数 1nnF xfx由非负可测函数列逐项积分定理

10、Lebesgue根本定理 1limniniEEF x dxfx dx即 FL E . .F xae ，从而1|( )|nnEfx dx 1( )nnfxE这阐明在上几乎处处收敛， f x。记和函数为可积那么几乎处处有限22 1. .nnf xfxF xae由于 .fL E因此有：记记 1( )mmnnSxfx，那么，那么 1( )mmnnSxfxF x由控制收敛定理，由控制收敛定理， Ef x dx limmmESx dx limmmESx dx1( ).nnEfx dx23在微积分中，交换积分运算与极限运算次序是研讨在微积分中，交换积分运算与极限运算次序是研讨含参变量积分的主要工具。含参变量

11、积分的主要工具。 :,Eyf x y dx是定义是定义, a b, a b的有限实值函数，称为的有限实值函数，称为上参变积分。上参变积分。 ,f x yF xxE ya b FL E设存在设存在使得使得0lim,yyfx yE那么假设那么假设在在上几乎处处存在，就有上几乎处处存在，就有定理定理3.2.8对于上述参变积分，如下结论成立：对于上述参变积分，如下结论成立： 00limlim,Eyyyyyf x y dx其中其中 :,.Eyf x y dx,f x y,yfx y :FL E ,yfx yF xxE ya b 2)假设假设的偏导数的偏导数存在，且存在存在，且存在那么那么 ,.yEyfx y dx证明：证明：1 0limlimnyynyy0y,nya b调查收敛于调查收敛于的序列的序列，那么，那么 :,nnfxf x y .nfxF x定义函数列定义函数列 nfxE那么那么在在上几乎处处收敛，且上几乎处处收敛，且由控制收敛定理，由控制收敛定理， 0limlimnyynyylim,nEnf x ylim,nE nf x y0lim,E yyf x y dx关键在于将收敛转化为序列的收敛。关键在于将收敛转化为序列的收敛。26由微分中值定理，存在由微分中值定理，存在,za b使得使得 , yg x zfx zF xxE 于是