《系统数学模型》ppt课件

1、自动控制原理 第二章系统数学模型专业根底课专业根底课邓晓刚信息与控制工程学院自动化系第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型n2-1 引言引言n2-2 微分方程时域模型微分方程时域模型n2-3 传送函数复域模型传送函数复域模型n2-4 构造图和信号流图图形描画构造图和信号流图图形描画n2-5 小结小结2-1 引言引言n1.数学模型的概念数学模型的概念n描画系统内部变量之间关系的表达式，自描画系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的根底。控系统分析与设计的根底。n2.数学模型的研讨意义数学模型的研讨意义n可以比定性分析更加精细准确，从实际上可以比定性分析更加精细准确，从实际上

2、对系统的性能进展定量的分析和计算。对系统的性能进展定量的分析和计算。n许多外表上看来似乎毫无共同之处的控制许多外表上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律能够完全一样，可以用系统，其运动规律能够完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。类系统。n3.数学模型的种类数学模型的种类n静态模型：静态条件下各变量之间的关系静态模型：静态条件下各变量之间的关系n动态模型：描画变量各阶导数关系的微分动态模型：描画变量各阶导数关系的微分方程方程n4.数学模型的建立方法数学模型的建立方法n分析法白箱模型分析法白箱模型n对系统各部分的运动机理进展分析，根

3、据对系统各部分的运动机理进展分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等等n实验法黑箱模型实验法黑箱模型n人为给系统施加某种测试信号，记录其呼人为给系统施加某种测试信号，记录其呼应，并用恰当的数学模型进展逼近，构成应，并用恰当的数学模型进展逼近，构成一个独立学科：系统辨识一个独立学科：系统辨识综合法灰箱模型综合法灰箱模型但实践上有的系统还是了解一部分的，可以但实践上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算法与工程实验法一同用，较准确分析计算法与工程实验法一同用，较准确而方便地建立系统的

4、数学模型。而方便地建立系统的数学模型。实践控制系统的数学模型往往是很复杂的，实践控制系统的数学模型往往是很复杂的，在普通情况下，经常可以忽略一些影响较在普通情况下，经常可以忽略一些影响较小的要素来简化小的要素来简化但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。型过于复杂。n数学模型的方式数学模型的方式n时域时域t ： 微分方程微分方程n复域复域s： 传送函数传送函数n频域频域w：频率特性：频率特性三种数学模型之

5、间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传送函数传送函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换2-2 控制系统时域模型控制系统时域模型1.1.微分方程的建立微分方程的建立【例【例1】RLC电路如以下图，分析输入电压电路如以下图，分析输入电压ur(t)作作用下电容上电压用下电容上电压uc(t)的变化。的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)+_+_根据电学中的基尔霍夫定律根据电学中的基尔霍夫定律 ( )( )( )( )rcdi tu tRi tLu tdt1( )( ),(2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt)()()()(22tudttu

6、dLCdttduRCtuCCCr(2)式两边求导消去中间变量式两边求导消去中间变量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)( )( )( )( )CCCrLCutRCututu t整理成规范方式整理成规范方式(1)n【例【例2】建立下面机械平移系统的数学模型】建立下面机械平移系统的数学模型 n 求在外力求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。作用下，物体的运动轨迹。 kF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧m首先：确定输入F(t),输出x(t)其次：实际根据1.牛顿第二定律2.牛顿第三定律12( )( )Fkx tFfxtFmakF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧mF1(t)F2(t

7、)12( )( )ax tFF tFF机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：)()()()(tFtkxtx ftxm 留意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程留意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低陈列高到低陈列 。( )( )( )( )F tkx tfx tmx tFma微分方程数学模型的规范方式微分方程数学模型的规范方式)()()()(tututuRCtuLCrCCC 这两个式子很类似，故可用电子线路来模拟机械这两个式子很类似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲

8、到的，看似完平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有一样的运动规律，可用一样全不同的系统，具有一样的运动规律，可用一样的数学模型来描画。类似系统的数学模型来描画。类似系统讨论：讨论：)()()()(tFtkxtx ftxm n微分方程是控制系统最根本的数学模型，要研讨微分方程是控制系统最根本的数学模型，要研讨系统的运动，必需列写系统的微分方程。系统的运动，必需列写系统的微分方程。n列写微分方程的根本步骤：列写微分方程的根本步骤：n1) 确定系统的输入量和输出量确定系统的输入量和输出量n2) 将系统划分为假设干环节，从输入端开场，按将系统划分为假设干环节，从输入端开场，按信号

9、传送的顺序，根据各变量所遵照的物理学定信号传送的顺序，根据各变量所遵照的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。律，列出各环节的线性化原始方程。n3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为规范方式。微分方程式，并且化为规范方式。【例【例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。求电枢控制直流电动机的微分方程。电枢电压电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速作为输入量，电机转速m(t)作作为输出量为输出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电分别是电枢电路的电阻和电感；感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转

10、矩。 m负载负载LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia注：电能转化为机械能注：电能转化为机械能 (1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为方程式为 )()()()(tEtiRdttdiLtuaaaaaa)()(tCtEmeaCe是反电势系数伏是反电势系数伏/弧度弧度/秒秒)()()(tEtiRtuaaaa通常通常La很小，可以忽略不计很小，可以忽略不计m负载负载LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia其中其中 为转矩系数牛为转矩系数牛米米/安安)()(tiCtMammmC (2) 电磁转矩电磁转矩

11、Mm与电枢电流成正比：与电枢电流成正比：)()()()(tftMtMdttdJmmcmmm(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为电机轴上的转矩平衡方程式为 Jm：转动惯量；：转动惯量；fm: 粘性摩擦系数粘性摩擦系数m负载负载LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia( )( )( )aa aemu tR i tCt( )( )mm aMtC i t)()()()(tftMtMdttdJmmcmmm( )()( )( )( )mammaemmmaacdtR Jf RC CtC utR Mtdt电枢回路电压关系电枢回路电压关系电能与机械能的转换电能与机械能的转换机械能中的转矩平

12、衡机械能中的转矩平衡消去中间变量消去中间变量所以直流电机的运动方程为 直流电动机的时间常数直流电动机的时间常数( )()( )( )( )mammaemmmaacdtR Jf RC CtC utR MtdtmeammCCRfCK1meammamCCRfJRT)()()()(21tMKtuKtdttdTcammmmeamaCCRfRK2( )( )( )( )()()()ammmamacmaemmaemmaemR JdtCRtu tMtf RC Cdtf RC Cf RC C直流电动机的传送系数直流电动机的传送系数 进一步整理进一步整理【例【例4】求以下图所示运算放大器的数学模型。】求以下图所示

13、运算放大器的数学模型。urucRfRiRui0irif-+Rf是反响电阻，是反响电阻，if是反响电流，是反响电流，Ri是输入电阻，是输入电阻，ur和和ir是输入电压和电是输入电压和电流，流，uc是输出电压是输出电压,i0是进入放大器的电流。是进入放大器的电流。“虚地虚地: u 0放大器具有高增益放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小于小于10伏，由于伏，由于u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压所以运算放大器的输入电压u近似等于近似等于0“虚断虚断: i0 0运算放大器的输入阻抗很高，流入放大器的电流运算放大器的输入阻抗很高，流入放大器的电流i0也近似等于也近似等于0。n“虚断

14、虚断: i0 0 n ir=if n运算放大器的数学模型为运算放大器的数学模型为n“虚地虚地: u 0fcirRuuRuu)()(tuRRturifc【例【例5】 试列写速度控制系统的微分方程试列写速度控制系统的微分方程 K1 K2SM减减速速箱箱负负载载测速机测速机ui-uf mmuaR1R1R1R2R2C-+-+-2. 2. 控制系统的微分方程控制系统的微分方程1系统输入变量系统输入变量ui，输出变量，输出变量w2绘制系统方块图绘制系统方块图1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱uiufueu1u2uamm _3列写各环节微分方程列写各环节微分方程a第第1级运

15、放级运放111121(),/eifuKuKuuKRR b第第2级运放级运放RC比例微分放大电路比例微分放大电路12212211(),/,duuKuKRRRCdt c功率放大器功率放大器32auKu1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱uiufueu1u2uamm _d直流电动机直流电动机)()()()(21tMKtuKtdttdTcammme减速箱减速箱ittm/)()(f测速机测速机)()(tKtutf1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱uiufueu1u2uamm _4消去中间变量，整理得：消去中间变量，整理得：)()()()(

16、)(tMKtuKdttduKtdttdTccigigmmmtmtmmmKKKKKiKKKKKiTT321321tmtmgKKKKKiKKKKKK321321tmmgKKKKKiKKKKK321321tmccKKKKKiKK321其中，其中，3.线性系统的性质线性系统的性质n1定义定义n假设系统的数学模型是线性微分方程，这假设系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统样的系统就是线性系统n具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。n2性质：满足叠加原理性质：满足叠加原理n叠加性叠加性n齐次性齐次性 设元件输入为设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t

17、)， 对应的输出为对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)假设假设 r(t)=r1(t)+r2(t)时，时，c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加满足叠加性性假设假设 r(t)=ar1(t)时，时，c(t)=ac1(t) 满足齐次性满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件)()()()(22tutydttdydttyd例如，一个二阶模型均可以表示为例如，一个二阶模型均可以表示为)()()()(111212tutydttdydttyd),(),(2211yuyu分别满足上面的方程，即分别满足上面的方程，即)()()()(222222tutydt

18、tdydttyd),(22112211ycycucuc假设系统是线性的，那么下面的点也满足方程假设系统是线性的，那么下面的点也满足方程)()()()(22tutydttdydttyd),(22112211ycycucuc代入下面的方程代入下面的方程)()()()()()(22112211222112tyctycdttyctycddttyctycd)()()()()()(2222222211112121tycdttdycdttydctycdttdycdttydc)()(2211tuctuc满足叠加原理和齐次性，所以是线性的满足叠加原理和齐次性，所以是线性的n3叠加原理的意义叠加原理的意义n对线性

19、系统可以运用叠加性和齐次性，对对线性系统可以运用叠加性和齐次性，对研讨带来了极大的方便。研讨带来了极大的方便。n叠加性阐明：欲求系统在几个输入信号和叠加性阐明：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总呼应，只需对这干扰信号同时作用下的总呼应，只需对这几个外作用单独求呼应，然后加起来就是几个外作用单独求呼应，然后加起来就是总呼应。总呼应。n齐次性阐明：当外作用的数值增大假设干齐次性阐明：当外作用的数值增大假设干倍时，其呼应的数值也添加假设干倍。这倍时，其呼应的数值也添加假设干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用单位样，我们可以采用单位典型外作用单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等对系统进阶跃、单

20、位脉冲、单位斜坡等对系统进展分析展分析简化了问题简化了问题4. 4. 非线性系统的线性化非线性系统的线性化n1实践物理系统都是非线性的n2常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）n3线性化方法线性化方法n非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实践意义。析大为简化，有很大的实践意义。n方法一：忽略弱非线性环节方法一：忽略弱非线性环节n 假设元件的非线性要素较弱或者不在系统线性假设元件的非线性要素较弱或者不

21、在系统线性任务范围以内，那么它们对系统的影响很小，就任务范围以内，那么它们对系统的影响很小，就可以忽略可以忽略n方法二：偏微法方法二：偏微法(小偏向法，切线法，增量线性化小偏向法，切线法，增量线性化法法) n 假设控制系统的整个调理过程中，各个元件的假设控制系统的整个调理过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是线性的。符合许多控制系统实践任而这段区域是线性的。符合许多控制系统实践任务情况的。务情况的。0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) 假设 A(x0,y0)为平衡点，函数f(x)在平衡点处延续可

22、微，那么在平衡点附近展开成泰勒级数 202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdyk 000()xdyyyxxdx 忽略二次以上的各项忽略二次以上的各项,得到非线性元件的线性化得到非线性元件的线性化数学模型数学模型其中其中 留意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低留意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处置，普通用相平面法及描画函数不能作线性化处置，普通用相平面法及描画函数法进展分析。法进展分析。0继电特性0饱和特性n【例【例6】水位自动控制系统，

23、输入量为】水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量输出量为水位为水位H，求水箱的微分方程。，求水箱的微分方程。n水箱的横截面积为水箱的横截面积为C，R表示流阻表示流阻阀门阀门水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2Q Q1 1单位时间进水量单位时间进水量 Q Q2 2单位时间出水量单位时间出水量 02010 QQ此时水位为此时水位为0 0解：解：dt时间中水箱内流体添加时间中水箱内流体添加(或减少或减少) CdH应与水总应与水总量量 (Q1-Q2)dt相等。即：相等。即： CdH =(Q1-Q2)dt20HQR0R21ddQQtHC据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，据托里拆利定理

24、，出水量与水位高度平方根成正比，那么有那么有其中其中为比例系数。为比例系数。 显然上式为非线性关系，在任务点(Q10,H10) 附近进展台劳级数展开。取一 次项得：)(21000202HHRHQQ002RHR 1ddQRHtHRC为流阻。那么为流阻。那么水箱的线性化微分方程水箱的线性化微分方程记记)(10202HHRQQ)(1dd0201HHRQQtHC代入水箱方程得到代入水箱方程得到2-2复域数学模型：传送函数复域数学模型：传送函数n时域数学模型：微分方程时域数学模型：微分方程n优点：直观，易于分析系统呼应优点：直观，易于分析系统呼应n缺陷缺陷: 构造改动或者参数变化时，必需重新列写构造改动

25、或者参数变化时，必需重新列写微分方程，不便于系统分析和设计微分方程，不便于系统分析和设计n复数域数学模型：传送函数复数域数学模型：传送函数n经典控制实际中最根本最重要的概念经典控制实际中最根本最重要的概念n补充内容：拉普拉斯变换拉氏变换补充内容：拉普拉斯变换拉氏变换1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义n设函数 f(t) 当t=0时有定义，而且积分n 存在，那么称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。nf(t)称为F(s)的拉氏反变换 0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLtfn2.常用函数的拉氏变换n(1)求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉氏变换。n 单位阶跃函数

26、f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 n(2)求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。sAesAdtAesFstst00)(0)()(dtetsFsts1001limdtest001limstes)1 (1lim0ses1)! 2! 111 (1220limsss3求指数函数 f(t)= 的拉氏变换几个重要的拉氏变换ateaseasdtedteesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s) (t)1sin t1(t t)cos t t(t) 21sate22s22ssteatsinteatcos22)( as22)(asas1sa1sn3.拉氏变换的根本性质n

27、 (1)线性性质n (2)微分性质 n 假设 ，那么有n f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL) 0 () 0 () 0 ()()() 1(21)(nnnnnffsfssFstfL(3)积分性质 式中 为积分 当t=0时的值。对f(t)的二重积分的拉氏变换为假设原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0那么sfssFdttfL)0()()()1(dttf)() 0() 1(f)(1)(sFsdttfLnn )0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdttfL(4) 终值

28、定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。注：假设注：假设 时时f(t)极限极限 不存在，那么不不存在，那么不能用终值定理。能用终值定理。对正弦函数和余弦函数就不能运用终值定理。对正弦函数和余弦函数就不能运用终值定理。(5) 初值定理：初值定理：(6) 位移定理：位移定理：)(lim)(lim0ssFtfstt)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs )()(asFtfeLat实位移定理实位移定理复位移定理复位移定理(7)时间比例尺度定理时间比例尺度定理 原函数在时间上收缩或展宽假设干倍，那么原函数在时间上收缩或展宽

29、假设干倍，那么象函数及其自变量都添加或减小同样倍数。象函数及其自变量都添加或减小同样倍数。即：即：(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。乘积。 )()(asaFatfL)()()()(21021sFsFdftfLt4.拉氏反变换拉氏反变换 1) 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换称为拉氏反变换,记记 。 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)一切极点的一切极点的实部。实部。 按上式求原函数太复杂，普通用查拉氏变换按上式求原函数太复杂，普通用查拉氏变换表

30、的方法求拉氏反变换。表的方法求拉氏反变换。)(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst 假设F(s)不能在表中直接找到原函数，那么需求将F(s)展开成假设干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例：)(1)(bsassF1111) 1(1)(22ssssssF) 1(1)(2sssF)11(1bsasababeetfbtat)(则例：求例：求 的逆变换。的逆变换。tetsFLtf1)()(1例例.的逆变换2)1(1)(sssF1) 1() 1(2cssbssa则2) 1(1)(scsbsasF解：1, 1, 1cba对应项系数相等得ttteetfss

31、ssF1)() 1(1111)(22. 拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法情况一情况一: F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展开总能展开成如下简单的部分分式之和成如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF2211)(1, 2,)( )0,( )()( )iiiiisppinD sMsccspD s式 中是的 根是 常 数 ,321)3)(2)(1(1)(321scscscssssF例：61)1() 3)(2)(1(111sssssc151)2() 3)(

32、2)(1(122sssssc101)3()3)(2)(1(133sssssc31101211511161)(ssssFttteeetf3210115161)(n情况情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点求拉式反变换,545)(2ssssF1)2(321)2(5545)(222ssssssssF解：1)2(31)2(222sssteteyttsin3cos22n情况情况3:F(s)有重极点有重极点,假假设假假设F(s)有有L重极重极点点 ,而其他极点均不一样。而其他极点均不一样。n那么那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssD

33、sMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p仍按以前的方法计算系数,)()()()!1(1)()()(!1,11111111nlpslllpsliiilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互异极点。是式中0)(), 1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj3321432331332213113131021( ),(1)( )(1)(1)11(1) 1(1)11(1) ( )()1(1)11(2)1,12!(1)1( )12sssssstttF sf ts sbbbcF sssssbss sddbssds s sds sbscss

34、sf tt etee 例求 ()【例【例1】RC电路如下图电路如下图rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()(微分方程为：微分方程为：n引例引例)()()(tutudttduRCrcc对上式进展零初始条件下的拉氏变换得：对上式进展零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc( )( )( )ccrR C sususus1.传送函数定义传送函数定义n定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传送函数，用G(s)表示。)()()(sRsCsG)(sG)(sR)(sC传送函数描画了系统的固有特性。只取决于系统传送函数描画

35、了系统的固有特性。只取决于系统本身的构造参数，而与输入信号等外部要素无关。本身的构造参数，而与输入信号等外部要素无关。设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描画：阶线性常微分方程描画： )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 式中式中c(t)c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)r(t)是系统输入量，是系统输入量，aiai，bjbj是与系统构造和参数有关的常系数是与系统构造和参数有关的常系数设设r(t)r(t)和和c(t)c(t)及其各阶系数在

36、及其各阶系数在t = 0t = 0时的值均为零，即时的值均为零，即零零初始条件，那么对上式中各项分别求拉氏变换，并令初始条件，那么对上式中各项分别求拉氏变换，并令)()(),()(trLsRtcLsC10111011 ( ) ( )nnnnmmmma sa sasa C sb sb sbsbR s对常微分方程求拉氏变换，得对常微分方程求拉氏变换，得)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 于是，由定义得系统传送函数为：于是，由定义得系统传送函数为：mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)(其中其中

37、2. 传送函数的性质传送函数的性质)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm n性质性质1. 1. 传送函数是复变量传送函数是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，具有复变量函数的一切性质。具有复变量函数的一切性质。传函是正那么的，物理可实现传函是正那么的，物理可实现的的nmnm不满足因果关系，物理上不可实现不满足因果关系，物理上不可实现G(s) R(s) C(s)n性质性质2. G(s)2. G(s)取决于系统或元件的构造和参数，取决于系统或元件的构造和参数，与输入量的方式幅度与大小无关。与输入量的方式幅度与大小无关。n G

38、(s) G(s)只描画了输出与输入之间的只描画了输出与输入之间的关系，不反映任何该系统的物理构造。因此许多关系，不反映任何该系统的物理构造。因此许多不同的物理系统具有完全一样的传送函数不同的物理系统具有完全一样的传送函数传送函数只表示系统输入输出关系传送函数只表示系统输入输出关系)()()(sRsGsCn 性质性质3. 3. 传送函数与微分方程之间有关系传送函数与微分方程之间有关系)()()(sRsCsG假设将假设将dtds 传送函数传送函数微分方程微分方程n 性质性质4. 4. 传送函数传送函数G(s)G(s)的拉氏反变换是脉冲呼应的拉氏反变换是脉冲呼应g(t)g(t)n脉冲呼应脉冲呼应g(

39、t)g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出呼应是系统在单位脉冲输入时的输出呼应1)()(tLsR)()()()()(111sGLsRsGLsCLtg微分算子微分算子留意：零初始条件！留意：零初始条件！3 传送函数的方式传送函数的方式n多项式方式n零极点方式n时间常数方式10111011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s是极点是零点，)2 , 1()2 , 1()()()()()()()(210210nipmizpspspsazszszsbsNsMsGiinm是时间常数，)2 , 1()2 , 1() 1() 1)(1()

40、 1() 1)(1()()()(n21nm21mniTmisTsTsTasssbsNsMsGiirucu1C2C1R2R1i2i1u【例【例2】求双】求双T网络的传送函数网络的传送函数解：方法一：根据基尔霍夫定理解：方法一：根据基尔霍夫定理dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111？先解微分方程？先解微分方程 后拉氏变换后拉氏变换？先拉氏变换？先拉氏变换 后解代数方程后解代数方程rucu1C2C1R2R1i2i1u)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsus

41、IRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurCdttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111消去中间变量，整理得到传送函数消去中间变量，整理得到传送函数方法二：用复阻抗法方法二：用复阻抗法1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC2221122111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusur

42、crucu1C2C1R2R1i2i1u 留意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2RC网络 与 单容水槽)()()(tutudttduRCrcc水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2rucuRCti1RQHdtdHRC11)(RCssG1)(RCsRsGiiQQ0110HH220HH110QQ220QQ1R2R1C2C2122111QQdtHdCQQdtHdCi2221211RHQRHHQ双双T网络与双容水槽网络与双容水槽22121

43、122121111RHRHRHdtHdCRHRHQdtHdCi)()()1()()()() 1(1122122221111sHRRsHRRsCRsHsQRsHsCRi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrc双容水槽双容水槽双双T网络网络4 典型环节的传送函数典型环节的传送函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的1比例环节比例环节KsG)

44、()()(tKrtc2惯性环节惯性环节11)(TssG)()()(trtctcT特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立刻复现，输出无振荡能立刻复现，输出无振荡理想微分理想微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分3 微分环节微分环节kssG)(1)( ssG12)(22sssG特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势输入信号的变化趋势4 积分环节积分环节ssG1)(特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消特点

45、：输出量与输入量的积分成正比，当输入消逝，输出具有记忆功能。逝，输出具有记忆功能。5 振荡环节振荡环节1212)(22222TssTsssGnnnnT1是阻尼比，是阻尼比， 时有振荡时有振荡10n是自然振荡角频率是自然振荡角频率特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进展特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进展能量交换，其输出出现振荡能量交换，其输出出现振荡实例：实例：RLC电路的输出与输入电压间的传送函数电路的输出与输入电压间的传送函数6 纯时间延迟环节纯时间延迟环节)()(trtcsesG)(表示延迟时间特点：特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固输出量能准确复现输入量，但须延迟一固

46、定的时间间隔定的时间间隔实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节型就包含有延迟环节2-4 构造图构造图n1.构造图的概念和根本组成构造图的概念和根本组成n将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换替代，将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换替代，各方框中元件的称号换成各元件的传送函数，这各方框中元件的称号换成各元件的传送函数，这时方框图就变成了构造图。时方框图就变成了构造图。控制器调理阀加热水箱温度传感器温度给定值输出温度丈量值干扰Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s)R(s)C(s)(1)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流

47、向，信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标志信号的时间函数或象函数。在直线旁标志信号的时间函数或象函数。(2)方框方框(环节环节)：表示输入到：表示输入到输出单向传输间的函数关系输出单向传输间的函数关系G(s)(sR)(sC信号线方框(3)引出点分支点、丈量点引出点分支点、丈量点:表示信号丈量或引表示信号丈量或引出的位置出的位置 )(sR)(sC)(1sG)(2sG)(sP)(sP(4)比较点合成点、综合点比较点合成点、综合点 两个或两个以上的输入信号进展加减比较的元件两个或两个以上的输入信号进展加减比较的元件 “+表示相加，表示相加，“-表示相减。表示相减。“+号可省略不写号

48、可省略不写 CRERC321TTTE1T2T3T留意：进展相加减的量，必需具有一样的量纲留意：进展相加减的量，必需具有一样的量纲2 构造图的绘制构造图的绘制1 1思索负载效应，分别列写系统各元部件的微思索负载效应，分别列写系统各元部件的微分方程或传送函数，并将它们用方框表示分方程或传送函数，并将它们用方框表示2 2根据各元部件的信号流向，用信号线依次将根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块衔接起来，便可得到系统的构造图各方块衔接起来，便可得到系统的构造图系统构造图系统构造图- -也是系统数学模型的一种也是系统数学模型的一种 【例【例2】 试列写速度控制系统的构造图试列写速度控制系统的构造

49、图 K1 K2SM减减速速负负载载测速机测速机uiuf mmuaR1R1R1R2R2C-+-+-1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱ui_ ufueu1u2uamm 原理图原理图方框图方框图G1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)Ui_ UfUeU1U2UaWmWmW W1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱ui- ufueu1u2uamm 方框图方框图构造图构造图各环节传送函数各环节传送函数a第第1级运放级运放111121(),/eifuKuKuuKRR 111( )( )( )eU sG sKUs K1 K2

50、SM减减速速负负载载测速机测速机ui-uf mmuaR1R1R1R2R2C-+-+-各环节传送函数各环节传送函数b第第2级运放级运放RC比例微分放大电路比例微分放大电路12212211(),/,duuKuKRRRCdt 22221( )( )( )UsG sKsKU s K1 K2SM减减速速负负载载测速机测速机ui-uf mmuaR1R1R1R2R2C-+-+-c功率放大器功率放大器32auKu232( )( )( )aUsG sKUsd直流电动机直流电动机)()()()(43tMKtuKtdttdTcammm2( )( )0,( )( )1mmamsKMc sG sUsT sW令 K1 K

51、2SM减减速速负负载载测速机测速机ui-uf mmuaR1R1R1R2R2C-+-+-e减速箱减速箱ittm/)()( )1( )( )bmsG ssiWWf测速机测速机)()(tKtutf( )( )( )fftUsGsKsW K1 K2SM减减速速负负载载测速机测速机ui-uf mmuaR1R1R1R2R2C-+-+-K1K2+tsK3Gm(s)1/iKtUi-ufUeU1U2UaWmWmW W11mKTs 1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱ui- ufueu1u2uamm 方框图方框图构造图构造图3. 构造图的简化等效变换构造图简化：对方块图进展等效变换

52、，得到等构造图简化：对方块图进展等效变换，得到等效传送函数效传送函数等效变换原那么：变换前后各变量之间的传送等效变换原那么：变换前后各变量之间的传送函数坚持不变函数坚持不变方框的三种根本衔接方式：串联、并联和反响方框的三种根本衔接方式：串联、并联和反响R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b）1串联衔接 等效变换特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量?)(sG123( )( )( )G s G s G

53、s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(321123231212211sGsGsGsRsCsGsRsGsGsGsUsGsCsRsGsGsUsGsUsRsGsUR R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sG结论：串联环节的等效传送函数等于一切传送函数结论：串联环节的等效传送函数等于一切传送函数的乘积的乘积niisGsG1)()(n为相串联的环节数 （a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sCG G( (s s) )

54、（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )特点：各环节的输入信号是一样的，均为特点：各环节的输入信号是一样的，均为R(s)，输，输出出C(s)为各环节的输出之和为各环节的输出之和2 2并联衔接并联衔接( )?G s 123( )( )( )G sG sG s)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()(1sGsGniin为相并联的环节数，当然还有“-的情况 结论：并联环节的等效传送函数等于一切并联环结论：并联环节的等效传送函数等于一切

55、并联环节传送函数的代数和节传送函数的代数和（a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )3 3反响衔接反响衔接比较点的比较点的“-负反响，负反响，“表示正反响表示正反响)()()()()()()(sCsHsRsGsEsGsC)()()()()(1 sRsGsCsHsG?开环传递函数前向通道传递函数1)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs有关挪动中，有关挪动中，“前、前、“后的定义：按信号流向定后的定义：按信号流向定义，也即信号从义，也即信号从“前面流向

56、前面流向“后面，而不是位置后面，而不是位置上的前后上的前后4比较点和分支点引出点的挪动比较点和分支点引出点的挪动C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )Q sC sR s G sQ sR sG sG s 比比较较点点后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()(

57、)()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsCR R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)()()(sGsRsC分分支支点点（引引出出点点）后后移移R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )()(1)()()(sRsGsGsRsRR(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)或V1(s)

58、V2(s)C(s)R(s)(-)5比较点的交换或合并比较点的交换或合并6负号的挪动负号的挪动 负号可以在回路中恣意挪动，但不能越过负号可以在回路中恣意挪动，但不能越过任何一个引出点或比较点。任何一个引出点或比较点。G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)-1构造图三种根本方式G1G2G2G1G1G2G1 G2G1 G2G1G1G21+串串 联联并并 联联反反 馈馈2 相邻综合点可互换位置、可合并相邻综合点可互换位置、可合并构造图等效变换方法构造图等效变换方法1 三种典型构造可直接用公式三种典型构造可直接用公式3 相邻引出点可互换位置、可合并相邻引出点可互换位置、可合并 本卷须知：本卷须知：1

59、不是典型构造不可直接用公式不是典型构造不可直接用公式2 引出点综合点相邻，不可互换位置引出点综合点相邻，不可互换位置【例【例1 1】根据构造图求传送函数】根据构造图求传送函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)G1G2G3G4H3H2H1R(s)C(s)ab引出点挪动abG1G2G3G4H3H2H1G413434311HGGGG回路回路1 1的闭环传函的闭环传函G1G2H2H1G411回路回路2 2的闭环传送函数的闭环传送函数3432324321224124412212211HGGHGGGGGHGGGGGGHG3434311HGGGG整个系统的闭环传函为整个系统的闭环传函为4323143121

60、32111343123211211211GGGHHGGGHHGGGHGHGGGHGGGGGHGG1H12R(s)C(s)23422323431G G GG G HG G H 【例【例2】根据构造图求传函】根据构造图求传函C(s)/R(s) G1G2G3H1abcR(s)C(s)EXERCISE!b点后移到点后移到c点之后点之后错！综合点、分支点不能交换错！综合点、分支点不能交换G2G1G2G3H1abc？R(s)C(s)b点后移到点后移到c点之前点之前无用功，回路没有分别！综合点引出点不能交换无用功，回路没有分别！综合点引出点不能交换G2G1G2G3H1abc？R(s)C(s)正确方法：在同类