生命表学习教案

1、会计学1生命表生命表第一页，共75页。第1页/共74页第二页，共75页。参数寿命参数寿命(shumng)分布分布有关分数年龄有关分数年龄(ninlng)的假设的假设生命表的构造生命表的构造生命表函数生命表函数第2页/共74页第三页，共75页。( )Pr()S xXx( )1( )S xF x ( )( )f xS x xPr()( )( )xXzs xs z第3页/共74页第四页，共75页。第4页/共74页第五页，共75页。n一个活到30岁的人活不到60岁的概率。( )1, 0100100 xS xx第5页/共74页第六页，共75页。100 501(1)Pr(50)(50)1(50)10021

2、00 801(2)Pr(80)(80)10051(3)Pr(6070)Pr(60)Pr(70)(60)(70)10Pr(3060)(30)(60)34 Pr(6030)Pr(30)(30)7XFSXSXXXSSXSSXXXS （ ）第6页/共74页第七页，共75页。( ()()( )()( )txqPr T XtPr xXxt XxS xS xtS xtxq第7页/共74页第八页，共75页。剩余寿命(shumng)与寿命(shumng)变量图示第8页/共74页第九页，共75页。txpPr( ( )Pr()()( )txpT xtXxt XtS xtS x0( )xpS x第9页/共74页第十页

3、，共75页。xpxqxt uq1xxpp1xxqqxt uxtxtxt uxt uqqqpp第10页/共74页第十一页，共75页。( )( (),0G tPr T Xt ttxq第11页/共74页第十二页，共75页。( )x000( ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt0 xe20220( ( )( ( ) )( ( )2txxVar T xE T xE T xtp dte第12页/共74页第十三页，共75页。( ) x( )K x(),( )1,0,1,K XkkT xkk11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq第13页/共74

4、页第十四页，共75页。( ) x11100( )xxxkxx kkxkkeE K xkpqp 122210( )()()(21)xkxxkVar K xE KE Kkpe 第14页/共74页第十五页，共75页。T（x）=K(x)+S(x)）上的连续分布，一年的部分，它是（在死亡年所活过的不足为设10)()(xxS第15页/共74页第十六页，共75页。剩余寿命剩余寿命(shumng)与整值剩余寿命与整值剩余寿命(shumng)的比较图示的比较图示 第16页/共74页第十七页，共75页。第17页/共74页第十八页，共75页。( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x )e

5、xp(exp()exp(ln)()(ln)(ln)ln()(ln)()(00tsxxtnsxnxxyxnxnnxxnxxnxxydspdsdyppxsnxsxsnxysdyysysdynxx同样，对于故积分，有到对上式两边从第18页/共74页第十九页，共75页。函数的关系0( )expexpxsx ttxsxs xdspds第19页/共74页第二十页，共75页。第20页/共74页第二十一页，共75页。第21页/共74页第二十二页，共75页。mnntxxtxmnntxxtxntxxttxxtxtdtpqdtpqdtptptxstxsxstxsxstxsdtdqdtdtGtgtgxGxT0010)

6、()()()()()(1)()()()，容易得出根据死亡力的定义公式显然，有其中，即的导数，表示为（它是的概率密度函数，（以推出引入死亡力函数后，可第22页/共74页第二十三页，共75页。( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx tS xS xtG tpS xS xtddS xS xtg tG tpdtdtS xS x ( )g t( )( )xf xS x第23页/共74页第二十四页，共75页。( )x000( ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt0 xe20220( ( )( ( ) )( ( )2txxVar T xE T xE T

7、xtp dte第24页/共74页第二十五页，共75页。dtpdtptptdtdtpddtptxTEdtptptxxtxtxtxttxxttxxtxtoe0000000)()().(证明：利用分部积分法，容易第25页/共74页第二十六页，共75页。( ) x11100( )xxxkxx kkxkkeE K xkpqp 122210( )()()(21)xkxxkVar K xE KE Kkpe 第26页/共74页第二十七页，共75页。01332321022100. . .)()(kxkxxxxxxxkktxtxtxtxxkkkxkxkxxpqqqqqqqkqpqpqkqpkxKEeexKxx故由

8、于表示：的期望值，以它是整值余寿随机变量不满一年的零数余寿，整数年数，不包括岁的人未来平均存活的岁的整值平均余寿是指第27页/共74页第二十八页，共75页。100( )20 xS x, 0100 x(75),(75)Ff75（ ）第28页/共74页第二十九页，共75页。10075(75)1(75)10.752011( )( );(75)0.00540100(75)(75)0.02(75)FSf xS xfxfS 第29页/共74页第三十页，共75页。113120.090,0.170,0.250.xxxqqq111230.0900.1700.250 xxxqqq12xxqq第30页/共74页第三

9、十一页，共75页。1123230.1700.025xxxxxqppqq121112120.6800.7700.0900.117xxxxxxxpppqpqq120.2300.1170.347xxqq第31页/共74页第三十二页，共75页。第32页/共74页第三十三页，共75页。ttxpe0.04250.04 150.06(15)15251540,0.15,15tttttpppteee 02525:2525015250.040.04 150.06(15)01511.284.1315.41tttep dtdtdteee第33页/共74页第三十四页，共75页。生命表函数生命表函数(hnsh)有关有关(

10、yugun)分数年龄的假设分数年龄的假设生命表的构造生命表的构造参数寿命分布参数寿命分布第34页/共74页第三十五页，共75页。1( )1 , 0 xxxS xx ( )exp(1)/ln , B0,c1,0 xxxBcS xB ccx第35页/共74页第三十六页，共75页。( )exp(1)/ln , B0,A-B,c1,0 xxxABcS xAxB ccx1( )exp/(1) , 0,0,0nxnkxS xkxnknx第36页/共74页第三十七页，共75页。第37页/共74页第三十八页，共75页。生命表函数生命表函数(hnsh)有关有关(yugun)分数年龄的假设分数年龄的假设参数寿命分

11、布参数寿命分布生命表的构造生命表的构造第38页/共74页第三十九页，共75页。第39页/共74页第四十页，共75页。11,.,1 , 0 . 10口存活的最高年龄为人是生命表的年龄上限，：人口生命极限年龄，：同时出生的一批人数数。算时点已存活的整数年完全年龄：从出生到测算时点已存活的时间。确切年龄：从出生到测。岁的人口数，。存活到确切整数年龄lxxlx第40页/共74页第四十一页，共75页。100211100n000,1 . 2xxnxxnxxxdllldlldlldldnnxxd龄上死亡人数之和。岁存活人数等于各个年因此，即上存活的人数为由于在生命表最高年龄一般有，。时，简记为岁死亡的人数。

12、当。在xnd第41页/共74页第四十二页，共75页。xnqxnttxnxxxxnxxxxxnxnxxnqqqqqldddldqqnnxxxq1012111.1 . . 3。时，简记为岁死亡的概率，当岁的人在第42页/共74页第四十三页，共75页。xnL1211222/111 . . 4xxxnxxxnnxnxnnxxnxnllLnllndnlLnlndnxxnxxxL时，有当年，故岁的人存活了年，而活到来说存活了平均岁的死亡人数下，在死亡均匀分布的假设人年，年是个人存活了合单位，表示人群存活时间的复数是岁生存的人年数。人年岁的人在第43页/共74页第四十四页，共75页。xT(3.9) 21(3

13、.8) . 5011011iixixxxttxxxxxllTLLLLTxT有在均匀分布的假设下，人年数。岁的人群未来累积生存第44页/共74页第四十五页，共75页。xoe(3.11) )21(1)211(.)212()211 (211.211).()()(211.1 (21 0(3.10) 610012100112111001211001100000100ttttttttoxxxoxtxxtxxxoxodtlddddlddddllllllllLLLllTellLexdtlldtplTexe）均匀分布，即假设死亡在每个年龄上平均每人存活的年数。到死亡，表示同一批人从出生表示出生时的平均余寿时，为

14、当。明未来平均存活的时间岁人群的平均余寿，表第45页/共74页第四十六页，共75页。 (3.12) 11nxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnxmnxnxnnxnxxnxxnxxnxnqppplllldqmnxnxxqqpldllldqnxnxxnnxq义为：岁之间死亡的概率，定岁的人在表示岁死亡的概率。岁的人在的概率，或第年死亡年并在第岁的人存活表示的死亡概率。以算中常用可以定义和表述寿险精运用生命表基本函数，第46页/共74页第四十七页，共75页。 0 01 01mpqmqmqqqxnxnxnxnxnxmn其中，第47页/共74页第四十八页，共75页。x0l第48页/共74页第四十

15、九页，共75页。0lnxdxd1nxxx nxnxxxxxxdlllqdlllqxl0( )xllS x0l第49页/共74页第五十页，共75页。x ttxyxLl dyoxxyxxxTTl dyel0l0ltxLxT0l第50页/共74页第五十一页，共75页。x x t txqtxdtxLxTxexl第51页/共74页第五十二页，共75页。10000(1)100 xxl 30203030303010,dpqq第52页/共74页第五十三页，共75页。503030312030303060404130303010303050552030 520010000001.100 5 / 7 3 / 7 1

16、/ 702. 1/163. (1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxle第53页/共74页第五十四页，共75页。时间。xl第54页/共74页第五十五页，共75页。70717273707071117171007171711000800400100(1)2.31000(2)800(1)400800(1)400600400260031(3)(72)2ttllllellttLldtttdtdmLa第55页/共74页第五十六页，共75页。第56页/共74页第五十七页，共75页。2211xxxqqqnxqnxq以以 表示表示x岁加入保险，经过岁加入保险，经过n年在年在x+n时死亡的概率

17、，有：时死亡的概率，有：把同一年龄上相邻已投报年数死亡率差异明显的时期称为选择效把同一年龄上相邻已投报年数死亡率差异明显的时期称为选择效果明显期或者简称为选择期，把依据果明显期或者简称为选择期，把依据编制的生命表称为选择生命表，它表示随年龄和已投保期而变动编制的生命表称为选择生命表，它表示随年龄和已投保期而变动的死亡规律。当选择效果消失时，死亡率只与的死亡规律。当选择效果消失时，死亡率只与只与年龄有关，如果选择期为只与年龄有关，如果选择期为r年，投保期超过年，投保期超过r年的同一年龄上年的同一年龄上的死亡概率相等的死亡概率相等(xingdng)，此时死亡概率可以用，此时死亡概率可以用表示，有表

18、示，有 依据选择效果消失的死亡资料编制的生命表称终极表依据选择效果消失的死亡资料编制的生命表称终极表 xqxrrxrrxqqq11第57页/共74页第五十八页，共75页。 xq5xq1xq2xq3xq4xq5x第58页/共74页第五十九页，共75页。第59页/共74页第六十页，共75页。 xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x第60页/共74页第六十一页，共75页。 xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x第61页/共74页第六十二页，共75页。8656566676869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.575403pqqqqqqqq8656566676

19、869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.52941pqqqqqqqq第62页/共74页第六十三页，共75页。生命表函数生命表函数(hnsh)生命表的构造生命表的构造(guzo)参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设第63页/共74页第六十四页，共75页。第64页/共74页第六十五页，共75页。()(1) ( )(1) , 01xttxtxtSSS (1)()( )(1) , 01ttSSSxtxxt 11 , 01()( )(1) SSStttxtxx 第65页/共74页第六十六页，共75页。第66页/共74页第六十七页，共75页。第67页/共74页第六十八页，共75页。xtqxtptxyq) (tfTxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1(1)xxt qtq第68页/共74页第六十九页，共75页。10000(1)100 xxl 0.5305.255030.5(1)(2)(3)qq第69页/共74页第七十页，共75页。303130