数理方程第12讲勒让德多项式

1、第六章第六章 勒让德多项式勒让德多项式6.1 勒让德方程及其解的表示勒让德方程及其解的表示1 勒让德方程勒让德方程 勒让德多项式勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr222dd2(1)0ddRRrrl lRrr （1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和和球谐函数方程球谐函数方程22211sin(1)0sinsinYYl lY（.2）(1.2)式的解式的解( , )Y 与半径与半径r无关，故称为无关，故称为球谐函数

2、球谐函数或简称为或简称为球函数球函数球谐函数方程进一步分离变量，令球谐函数方程进一步分离变量，令( , )( )( )Y 得到关于得到关于的常微分方程的常微分方程 221ddsin(1)0sinddsinml l （1.3） 称为称为l阶阶连带勒让德方程连带勒让德方程.令令cosx 和和( )( )y xx 把自变数从把自变数从换为换为x，则方程（，则方程（1.3）可以化为下列）可以化为下列l阶阶连连带勒让德方程 形式的形式的l22222dd(1)2(1)0dd1yymxxl lyxxx（1.4） 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与

3、无关，则无关，则0m，即有，即有1dsin(1)0sinddl ld （1.5） 称为称为l阶阶勒让德（勒让德（legendre）方程）方程 同样若记同样若记 arc cosx，( )( )y xx 则上述方程也可写为下列则上述方程也可写为下列形式的形式的l阶勒让德方程阶勒让德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx (1.6) 2 勒让德多项式的表示勒让德多项式的表示(1) 勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解( )lP x为为 220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkll

4、klkxxk lklk （1.7）式中式中 , 22 (0,1,2,)12, 212llnlnlln上式具有多项式的形式，故称上式具有多项式的形式，故称P ( )lx为为l阶阶勒让德多项式勒让德多项式勒让德多项式也称为勒让德多项式也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数式（式（1.7）即为）即为勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示注意到注意到cosx, 故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式: 0P ( )1x 1P ( )cosxx2211P ( )(31)(3cos 21)24xx3311P ( )(53 )(5cos33cos )28xxx42411P (

5、 )(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P ( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128xxxx642611P ( )(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx勒让德多项式的图形可通过计算机仿真勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如如MATLAB仿真仿真)得到得到 图 6.1 计算计算P (0)l，这应当等于多项式，这应当等于多项式P ( )lx的常数项的常数项 如如l为为21n （即为奇数）时，则（即为奇数）时，则 21P( )nx只含奇只含奇 数次幂，不含常数项，所以数次幂，不含常数

6、项，所以21P(0)0n（.8） 2ln（即为偶数）时，（即为偶数）时， 则则2P ( )nx含有常数项，即含有常数项，即 （.7）中）中 2kln的那一项，所以的那一项，所以 2(2 )!(21)!P (0)( 1)( 1)2!2!(2 )!nnnnnnnnnn （.9） 式中记号式中记号 (2 )!(2 )(22)(24)6 4 2nnnn 而而(21)!(21)(23)(25)5 3 1nnnn 因此因此，(2 )!(2 )! (21)!nnn(2) 勒让德多项式的微分表示勒让德多项式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx（1.10） 上式通常又称为上式通常又称为勒

7、让德多项式的罗德里格斯（勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式表示式下面证明表达式下面证明表达式(1.10)和（和（1.7）是相同的）是相同的【证明证明】(略）略）6.2 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质1 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 (1) 勒让德多项式的零点勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P ( )nx的的n个零点都是实的，且在个零点都是实的，且在) 1 , 1(内；内；（ii）P ( )nx的零点与的零点与1P( )nx的零点互相分离的零点互相分离 (2) 奇偶性奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作

8、代换根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )lllxx （2.1） 即当即当l为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式P ( )lx为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇函数为奇函数 lP ( )lx(3) 勒让德多项式的正交性及其模勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间 1,1上满足上满足12,1P ( )P ( )dnlln lxxxN(2.2) 其中其中,1 ()0 ()n lnlnl当当nl时满足时满足11P ( )P ( )0nlxx dx， (2.3)称为正交性称为正交性 相等时可求出其模

9、相等时可求出其模1212P ( ) (0,1,2,)21llNx dxll (2.4)下面给出公式（下面给出公式（2.2），及其模），及其模(2.4)的证明的证明 【证明证明】 （1）正交性）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有 22d(1)P ( )(1)P ( )0dd(1)P ( )(1)P ( )0dllnnxxl lxxxxn nxx两式相减，并在两式相减，并在-1,1 区间上对区间上对x积分，得积分，得122111ddP ( )(1)P ( )P ( )(1)P ( )ddd (1)(1)P ( )P ( )dnllnlnxxxxxxxx

10、xn nl lxxx因为上面等式左边的积分值为因为上面等式左边的积分值为 211(1)P ( )P ( )P ( )P ( ) |0nllnxxxxx所以当所以当nl时，必然有时，必然有 11P ( )P ( )d0lnxxx根据根据 成立成立 （2）模）模 （利用分部积分法证明）（利用分部积分法证明） 1221P ( ) dllNxx为了分部积分的方便，把上式的为了分部积分的方便，把上式的)(xPl用微分表示给出，则有用微分表示给出，则有21212221112121221221221111d (1)dd(1)d2 ( !)ddd1d (1)d(1)1d(1)dd (1)d2 ( !)dd2

11、( !)dddllllllllllllllllllllllxxNxlxxxxxxxxlxxlxxx注意到注意到lllxxx) 1() 1() 1(2以以1x为为l级零点，级零点， 故其故其(1)l 阶导数阶导数 121d(1)dlllxx必然以必然以1x为一级零点，从而上式已积出部分的值为零为一级零点，从而上式已积出部分的值为零 112121222111( 1)d(1) d(1)d2 ( !)ddllllllllxxNxlxx再进行再进行l次分部积分，即得次分部积分，即得 221222221( 1)d (1)(1)d2 ( !)dlllllllxNxxlxlx) 1(2是是l 2次多项式，其次

12、多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项阶导数也就是最高幂项lx2的的l 2阶导数为阶导数为)!2( l故故 12221(2 )!( 1)(1) (1) d2 ( !)llllllNxxxl 再对上式分部积分一次再对上式分部积分一次112112211111221(2 )!1( 1)(1) (1)(1)(1)d2 ( !)1(2 )!( 1)( 1)(1)(1)d2 ( !)1llllllllllllNxxlxxxllllxxxll 容易看出已积出部分以容易看出已积出部分以1x为零点为零点 至此，分部积分的结果是使至此，分部积分的结果是使) 1( x的幂次降低一次，的幂次降低一次，) 1( x的幂次

13、升高一次，的幂次升高一次， 且积分乘上一个相应的常数因子且积分乘上一个相应的常数因子继续分部积分（计继续分部积分（计l次），即得次），即得 120222112121(2 )!11( 1)( 1)(1) (1) d2 ( !)122112(1)22121llllllllllNxxxllllxll 故勒让德多项式的模为故勒让德多项式的模为 122lNl ), 2 , 1 , 0(l且有且有112P ( )P ( )d21llxxxl (4) 广义傅里叶级数广义傅里叶级数定理定理2.1 在区间 -1,1上的任一连续函数( ),f x可展开为勒让德多项式的级数可展开为勒让德多项式的级数 0( )P (

14、 )nnnf xCx （2.5） 其中系数其中系数 1121( )P ( )d2nnnCfxxx (2.6)在实际应用中在实际应用中,经常要作代换经常要作代换cosx,此时勒让德方程的解为此时勒让德方程的解为P (cos )n，这时有，这时有 0(cos )P (cos )nnnfC (2.7) 其中系数为其中系数为021(cos )P (cos )sin d2nnnCf （2.8）2. 勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开） 例例2.1 将函数函数 3( )f xx按勒让德多项式形式展开按勒让德多项式形式展开.【解解】 根据根据 （2.5）设）设3001

15、 12233P ( )P ( )P ( )P ( )xCxCxCxCx考虑到考虑到 P ()( 1) P ( )nnnxx ，由由(2.6)显然有显然有 020CC11331111333P ( )dd225Cxxxxx x1133333117712P ( )d(5-3 )d2225Cxxxxxxx所以所以31332P ()P ()55xxx例例2.2 将函数将函数 cos2 (0)展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式P (cos )n形式形式 【解】【解】 用直接展开法用直接展开法令令 cosx，则由，则由22cos22cos121x 我们知道：我们知道：20121P ( )1, P ( ),

16、 P ( )(31)2xxxxx可设可设2001 12221P ( )P ( )P ( )xCxCxCx 考虑到勒让德函数的奇偶性，显然考虑到勒让德函数的奇偶性，显然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx项的系数，显然得出项的系数，显然得出2041, 33CC 故有故有 02021414cos(2 )P( )P( )P(cos )P(cos )3333xx下面我们给出一般性结论：下面我们给出一般性结论：结论结论1：设：设 k为正整数，可以证明：为正整数，可以证明：22222220021212123231 1P ( )P( )P ( )P( )P( )P ( )kkkkkkkkk

17、kxCxCxCxxCxCxCx结论结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数( )f x为奇函数，为奇函数， 则展开式（则展开式（2.5）系数）系数20nC若需展开的函数若需展开的函数( )f x为偶函数，则展开式（为偶函数，则展开式（2.5）系数）系数210nC 0,1,2,3,n 例例2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把3( )234f xxx展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数【解解】 本例不必应用一般公式本例不必应用一般公式 ，事实上，事实上，( )f x是三次多项式（注意是三次多项式（注意( )f x既非奇函数，也非偶函数）

18、，既非奇函数，也非偶函数），设它表示为设它表示为33023012323021323234P ( )111(31)(53 )221335()()2222nnnxxCxCCxCxCxxCCCC xC xC x 比较同次幂即得到比较同次幂即得到3210421, 0, , 455CCCC由此得到由此得到30132142344P ( )P ( )P ( )55xxxxx例例3.1 求求0P (cos )sin(2 )dn 【解【解】 00P (cos )sin(2 )d2P (cos )cos d(cos )nn 11111 2P ( ) d2P ( )P ( )d4 (1) 30 (1)nnx x xxxxnn 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式 证明（略）证明（略） 例例 3.2 求积分求积分 11P ( )P ( )dlnIxxxx【解【解】利用递推公式（利用递推公式（3.11） 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx(1)k 故有故有1111111111111P ( )P ( )d(1)P ( )P ( )P ( )d211 P ( )P ( )dP ( )P ( )d2121lnllnlnlnIxxxxlxlxxxlllxxxxxxll