大连海事大学通信复试课件

1、第第 2 章天线阵的电气特性章天线阵的电气特性2-1天线阵的基本原理天线阵的基本原理2-2均匀直线天线阵的方向特性均匀直线天线阵的方向特性2-3馈电不均匀的直线天线阵馈电不均匀的直线天线阵2-4耦合对称振子阵的辐射阻抗耦合对称振子阵的辐射阻抗第第 2 章天线阵的电气特性章天线阵的电气特性2-3馈电不均匀的直线天线阵馈电不均匀的直线天线阵 一、基本概念和分析方法一、基本概念和分析方法二、二项式分布同相直线天线阵二、二项式分布同相直线天线阵三、三角形分布同相直线天线阵三、三角形分布同相直线天线阵四、馈电不均匀直线天线阵实际应用简介四、馈电不均匀直线天线阵实际应用简介一、基本概念和分析方法一、基本概

2、念和分析方法馈电不均匀的直线天线阵：馈电不均匀的直线天线阵：等间距但馈电电流振幅不相等间距但馈电电流振幅不相等的直线天线阵。等的直线天线阵。优点：优点：与均匀直线天线阵相比，馈电不均匀的直线天线与均匀直线天线阵相比，馈电不均匀的直线天线阵方向性图的副瓣电平较低，阵方向性图的副瓣电平较低，还可以用来实现某种特殊还可以用来实现某种特殊的方向性。的方向性。对于馈电不均匀的直线天线阵，仍然设天线阵的阵对于馈电不均匀的直线天线阵，仍然设天线阵的阵轴沿轴沿 z 轴方向。轴方向。z1234 nz1234 ndddddd根据场强叠加原理，可知根据场强叠加原理，可知 n 元不均匀馈电的直线天元不均匀馈电的直线天

3、线阵的辐射场为线阵的辐射场为eeee1 )1( j)1( j2j3j21 nnkkIIIIEE上式中上式中1IIIkk 是以是以第第 1 个个单元天线电流做参照的第单元天线电流做参照的第 k 个单元天线的复个单元天线的复数相对电流，它既用来表示电流大小的相对值，也用来数相对电流，它既用来表示电流大小的相对值，也用来表示两个单元天线电流的相位关系。表示两个单元天线电流的相位关系。 z1234 nddddddeeee1 )1( j)1( j2j3j21 nnkkIIIIEE1IIIkk 因为一般情况下，相邻单元天线的电流也不一定具因为一般情况下，相邻单元天线的电流也不一定具有等差相移的关系，所以辐

4、射场表达式中的指数相角有等差相移的关系，所以辐射场表达式中的指数相角 cos2cosdd 仅是仅是相邻单元天线波程差引起的相位差相邻单元天线波程差引起的相位差（与均匀阵不（与均匀阵不同），它与相邻单元天线电流的相角差同），它与相邻单元天线电流的相角差 1, 1arg kkkkII 合在一起才能表示相邻单元天线辐射场之间的相位差。合在一起才能表示相邻单元天线辐射场之间的相位差。 z1234 nddddddeeee1 )1( j)1( j2j3j21 nnkkIIIIEE1IIIkk cos2cosdd 1, 1arg kkkkII 馈电不均匀直线天线阵的阵因子馈电不均匀直线天线阵的阵因子 )1(

5、 j2j3j2aaeee1)()( nnIIIff上式中的阵因子是从阵轴左端起，以上式中的阵因子是从阵轴左端起，以第第 1 个单元天线电个单元天线电流流I1( (假设其初相角为零假设其初相角为零) )做参照得到的。做参照得到的。 如果上面辐射场表达式中所有相对复数电流的模如果上面辐射场表达式中所有相对复数电流的模 | |I k| | = 1，且具有等差相移关系，且具有等差相移关系， k 1, k = ，即任何两即任何两个相邻单元天线电流相角差都相等，则变成了均匀直线天个相邻单元天线电流相角差都相等，则变成了均匀直线天线阵的辐射场表达式。线阵的辐射场表达式。 可见，均匀直线天线阵只不过是馈电不均

6、匀直线天线可见，均匀直线天线阵只不过是馈电不均匀直线天线阵的特例。阵的特例。 多数馈电不均匀的直线天线阵各单元天线的电流振幅多数馈电不均匀的直线天线阵各单元天线的电流振幅往往关于阵轴中心呈对称分布，而且任何两个对称位置单往往关于阵轴中心呈对称分布，而且任何两个对称位置单元天线的电流互为共轭复数。元天线的电流互为共轭复数。 对称共轭分布的直线天线阵往往以阵轴中心作为波程对称共轭分布的直线天线阵往往以阵轴中心作为波程差参考点，如差参考点，如图图 2-3-1 所所示，其中图示，其中图( (a) )是单元数目为是单元数目为 n = 2l 偶数元天线阵，图偶数元天线阵，图( (b) )是单元数目为是单元

7、数目为 n = (2l 1) 奇数元天奇数元天线阵。线阵。 图图 2-3-1对称共轭分布的直线天线阵。对称共轭分布的直线天线阵。 ( (a) )llllIIIIIIII 121*1*21 ( (b) )llllIIIIIII 121*21 实践中，用得最多的对称分布直线天线阵是同相对实践中，用得最多的对称分布直线天线阵是同相对称分布直线天线阵，即侧射式对称分布直线天线阵。称分布直线天线阵，即侧射式对称分布直线天线阵。同相对称分布直线天线阵可以认为是对称共轭分布同相对称分布直线天线阵可以认为是对称共轭分布直线天线阵的特例。直线天线阵的特例。 同相对称分布直线天线阵的方向性函数可以用中间同相对称分

8、布直线天线阵的方向性函数可以用中间的单元天线的电流振幅做参照，也可以用两端单元天线的单元天线的电流振幅做参照，也可以用两端单元天线的电流振幅做参照。的电流振幅做参照。 图图 2-3-1对称共轭分布的直线天线阵。对称共轭分布的直线天线阵。 ( (a) )llllIIIIIIII 121*1*21 ( (b) )llllIIIIIII 121*21 llllIIIIIIII 121121 llllIIIIIII 12121 图图 2-3-1对称共轭分布的直线天线阵。对称共轭分布的直线天线阵。 ( (a) )( (b) )llllIIIIIIII 121121 llllIIIIIII 12121 如

9、果以中间的两个单元天线电流振幅做参照，如果以中间的两个单元天线电流振幅做参照，n = 2l 偶偶数元同相对称分布直线天线阵的阵因子可以写成数元同相对称分布直线天线阵的阵因子可以写成 lkkllkkkkllakIIIIIIIf12)12(2)12(22222322)12(2)12(2)12(cos2|)( eeee eeeejjjjjjjj图图 2-3-1对称共轭分布的直线天线阵。对称共轭分布的直线天线阵。 ( (a) )( (b) )llllIIIIIIII 121121 llllIIIIIII 12121 对于对于 n = (2l 1) 奇数元同相对称分布直线天线阵，以奇数元同相对称分布直线

10、天线阵，以位于阵轴中心的单元天线电流振幅做参照，其阵因子可以位于阵轴中心的单元天线电流振幅做参照，其阵因子可以写成写成 lkkllkkkkllkIIIIIIIf2)1( j)1( jj2j2)1( j)1( ja)1cos(21 ee e1eee)( 1图图 2-3-1对称共轭分布的直线天线阵。对称共轭分布的直线天线阵。 ( (a) )( (b) )llllIIIIIIII 121121 llllIIIIIII 12121 lkkllkkkkllkIIIIIIIf12)12( j2)12( j2j22j2j23j22)12( j2)12( ja2)12( cos 2 eeee eeee)(|

11、lkkllkkkkllkIIIIIIIf2)1( j)1( jj2j2)1( j)1( ja)1cos(21 ee e1eee)( 二、二项式分布同相直线天线阵二、二项式分布同相直线天线阵图图 2-3-2二项式直线天线阵的构成二项式直线天线阵的构成 定义：馈电电流振幅呈二项式系数分布规律的同相天线阵。定义：馈电电流振幅呈二项式系数分布规律的同相天线阵。3元二项式阵电流振幅分布为元二项式阵电流振幅分布为1：2：14元二项式阵电流振幅分布为元二项式阵电流振幅分布为1：3：3：15元二项式阵电流振幅分布为元二项式阵电流振幅分布为1：4：6：4：1图图 2-3-2二项式直线天线阵的构成二项式直线天线阵

12、的构成 把间距为把间距为 d 的等幅同相二元天线阵作为一个单元天线，的等幅同相二元天线阵作为一个单元天线，由这样的单元天线以同样的间距由这样的单元天线以同样的间距 d 再组成一个二元天线阵。再组成一个二元天线阵。 根据方向性图乘法，新天线阵的阵因子为根据方向性图乘法，新天线阵的阵因子为 2cos4ee21e1)(22jj2ja f3元二项式阵电流振幅分布为元二项式阵电流振幅分布为1：2：1图图 2-3-2二项式直线天线阵的构成二项式直线天线阵的构成 2cos4ee21e1)(22jj2ja f这样构成新天线阵的时候，两个二元阵各有一个单这样构成新天线阵的时候，两个二元阵各有一个单元天线重合到一

13、起，成为一个电流振幅比为元天线重合到一起，成为一个电流振幅比为 1 2 1 的三的三元直线天线阵。元直线天线阵。 121如图如图 2-3-2( (b) )所示，把这样的三元天线阵作为一个所示，把这样的三元天线阵作为一个单元天线，再按同样的间距单元天线，再按同样的间距 d 组成一个二元天线阵。组成一个二元天线阵。 根据方向性图乘法，新天线阵的阵因子为根据方向性图乘法，新天线阵的阵因子为 2cos8ee3e31e1)(33j2jj3ja f图图 2-3-2二项式直线天线阵的构成二项式直线天线阵的构成 1212cos4ee21e1)(22jj2ja f2cos8ee3e31e1)(33j2jj3ja

14、 f原来两个三元天线阵总共有原来两个三元天线阵总共有 4 个单元天线两两重合个单元天线两两重合到一起，构成电流振幅比为到一起，构成电流振幅比为 1 3 3 1 的新天线阵。的新天线阵。 1331把这个四元天线阵作为单元天线再组成二元天线阵，把这个四元天线阵作为单元天线再组成二元天线阵，就能得到一个五元天线阵，其阵因子为就能得到一个五元天线阵，其阵因子为 2cos16ee4e6e41e1)(44j3j2jj4ja f图图 2-3-2二项式直线天线阵的构成二项式直线天线阵的构成 12113312cos4ee21e1)(22jj2ja f2cos8ee3e31e1)(33j2jj3ja f2cos1

15、6ee4e6e41e1)(44j3j2jj4ja f这个五元直线天线阵的电流振幅比为这个五元直线天线阵的电流振幅比为 1 4 6 4 1，如，如图图 2-3-2( (c) )所示。所示。 14641像上面那样依次做下去得到的直线天线阵的电流振幅像上面那样依次做下去得到的直线天线阵的电流振幅比恰好是二项式乘方的系数。因此，这样的直线天线阵就比恰好是二项式乘方的系数。因此，这样的直线天线阵就称为称为二项式分布二项式分布直线天线阵。直线天线阵。 2cos4ee21e1)(22jj2ja f2cos8ee3e31e1)(33j2jj3ja f2cos16ee4e6e41e1)(44j3j2jj4ja

16、f二项式乘方的系数可以通过杨辉三角形较为容易二项式乘方的系数可以通过杨辉三角形较为容易地获得，杨辉三角形中的每一个系数，都是它上方左地获得，杨辉三角形中的每一个系数，都是它上方左右两数之和。右两数之和。1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1图图 2-3-3杨辉三角形杨辉三角形 以两端的单元天线电流做参以两端的单元天线电流做参照照，n 元二项式分布天线阵的阵元二项式分布天线阵的阵因子为因子为 2cos2)(11a nnf2cos2)(11a nnf归一化阵因子为归一化阵因子为2cos)(1a nF用方向变量用方向变量 来表示，来表示，n 元同相元同相二项式天线

17、阵的归一化阵因子为二项式天线阵的归一化阵因子为 coscos)(1adFn右图为间距右图为间距 d = 0.5 的五元二项的五元二项式分布的同相天线阵的阵因子方向性式分布的同相天线阵的阵因子方向性图。图。图图 2-3-4五元二项式分布五元二项式分布天线阵的阵因子方向性图天线阵的阵因子方向性图 由于间距由于间距 d = 0.5 的同相二元天线阵的方向性图没有的同相二元天线阵的方向性图没有副瓣，因此间距副瓣，因此间距 d = 0.5 的二项式分布天线阵的方向性图的二项式分布天线阵的方向性图也没有副瓣。也没有副瓣。 2cos2)(11a nnf2cos)(1a nF coscos)(1adFn图图

18、2-3-4五元二项式分布五元二项式分布天线阵的阵因子方向性图天线阵的阵因子方向性图 计算表明，与单元数目相同的均计算表明，与单元数目相同的均匀直线天线阵相比，匀直线天线阵相比，二项式天线阵的二项式天线阵的主瓣主瓣变宽变宽了。了。二项式分布直线天线阵的构成，二项式分布直线天线阵的构成，实际上是实际上是方向性图乘法原理的推广方向性图乘法原理的推广。 三、三角形分布同相直线天线阵三、三角形分布同相直线天线阵图 2-3-5三角形分布天线阵的构成如图如图 2-3-5 所示，所示，把间距为把间距为 d 的三元均匀的三元均匀直线天线阵看成是单元直线天线阵看成是单元天线，以相同的间距天线，以相同的间距 d 再

19、次组成三元均匀直线再次组成三元均匀直线天线阵，也能得到一个天线阵，也能得到一个新的直线天线阵。新的直线天线阵。 三角形分布同相阵：三角形分布同相阵：间距相等、馈电电流相位相同，间距相等、馈电电流相位相同，但振幅按三角形分布的直线阵。但振幅按三角形分布的直线阵。三角形天线阵三角形天线阵图 2-3-5三角形分布天线阵的构成这个直线天线阵的阵因子为这个直线天线阵的阵因子为 2/sin2/3sinee2e3e21ee1)(224j3j2jj22jja f这是电流振幅分布为这是电流振幅分布为 1 : 2 : 3 : 2 : 1 的三角形分布同相的三角形分布同相对称直线天线阵。对称直线天线阵。 如果用相同

20、的方法如果用相同的方法把间距为把间距为 d 的的 l 元均匀直元均匀直线天线阵作为单元天线，线天线阵作为单元天线，以原来的间距以原来的间距 d 为间距，为间距，再构成一个再构成一个 l 元均匀直线元均匀直线天线阵（即天线阵（即l个个l元均匀元均匀阵），就得到一个阵），就得到一个 (2l 1) 元直线天线阵。元直线天线阵。 2/sin2/3sinee2e3e21ee1)(224j3j2jj22jja f 这样构成的这样构成的 (2l 1) 元直线天线阵的阵因子为元直线天线阵的阵因子为 )22( j)32( j)12( j)1( j)1( jj2)1( j2jjaee2e eee21 eee1)(

21、 llkllklklkf电流振幅分布为电流振幅分布为 1 2 3 l 3 2 1 的三角的三角形分布同相对称直线天线阵的阵因子形分布同相对称直线天线阵的阵因子 2sin2sin )(22a lf )22( j)32( j)12( j)1( j)1( jjaee2e eee21)( llkllkklkf 2sin2sin )(22a lf (2l 1) 元三角形同相对称直线天线阵的归一化阵因子元三角形同相对称直线天线阵的归一化阵因子 2sin2sin)(222a llF图图 2-3-6五元三角形分布五元三角形分布天线阵的阵因子方向性图天线阵的阵因子方向性图 与单元数目相同的同相均匀直与单元数目相

22、同的同相均匀直线天线阵相比，三角形分布同相直线天线阵相比，三角形分布同相直线天线阵的线天线阵的副瓣较小副瓣较小，但，但主瓣较宽主瓣较宽。 三角形分布直线天线阵的构成，三角形分布直线天线阵的构成，同样也是方向性图乘法原理的推广。同样也是方向性图乘法原理的推广。 理论分析表明，理论分析表明，任何形式的馈电任何形式的馈电不均匀的直线天线阵与单元数相同的不均匀的直线天线阵与单元数相同的均匀直线天线阵相比，都在不同程度均匀直线天线阵相比，都在不同程度上上主瓣变宽主瓣变宽而而副瓣变小副瓣变小。 右图为间距右图为间距 d = 0.5 的五元三的五元三角形分布同相直线天线阵的阵因子角形分布同相直线天线阵的阵因

23、子方向性图。方向性图。 图图 2-3-4五元二项五元二项 五元三角五元三角 下图是由半波对称振子构成共轴线排列的五元侧射式下图是由半波对称振子构成共轴线排列的五元侧射式天线阵。间距天线阵。间距 d = 0.5 。结论：结论：均匀阵主瓣最窄，副瓣最多、大；二项式阵在间距均匀阵主瓣最窄，副瓣最多、大；二项式阵在间距 d = 0.5 时时无副瓣，但主瓣最宽。无副瓣，但主瓣最宽。均匀阵方向性图均匀阵方向性图的主瓣宽度为的主瓣宽度为 2 0.5 = 20.12 。 1 : 2 : 3 : 2 : 1 的的三角形阵的主瓣宽度三角形阵的主瓣宽度为为 2 0.5 = 24.68 ，副瓣，副瓣要小一点。要小一点

24、。 1 4 6 4 1 的的二项式阵的主瓣宽度二项式阵的主瓣宽度为为 2 0.5 = 28.27 ，没有，没有副瓣。副瓣。 第第 2 章天线阵的电气特性章天线阵的电气特性2-4耦合对称振子阵的辐射阻抗耦合对称振子阵的辐射阻抗一、耦合对称振子阵及其辐射阻抗的概念一、耦合对称振子阵及其辐射阻抗的概念二、耦合对称振子辐射阻抗的求解方法二、耦合对称振子辐射阻抗的求解方法三、多元耦合对称振子阵的辐射阻抗三、多元耦合对称振子阵的辐射阻抗一、耦合对称振子阵及其辐射阻抗的概念一、耦合对称振子阵及其辐射阻抗的概念1耦合对称振子的概念耦合对称振子的概念1耦合对称振子的概念耦合对称振子的概念前面前面讨论天线阵方向特

25、性的时候并没有考虑各单元天讨论天线阵方向特性的时候并没有考虑各单元天线之间的能量耦合问题。线之间的能量耦合问题。 天线阵中每一个单元天线的辐射复功率与它孤立存在天线阵中每一个单元天线的辐射复功率与它孤立存在时不同，而是受到邻近其他单元天线的影响而发生变化。时不同，而是受到邻近其他单元天线的影响而发生变化。图图 2-4-1耦合对称振子耦合对称振子图图 2-4-1 中有两个距离较近的对中有两个距离较近的对称振子，每一个对称振子都处于对称振子，每一个对称振子都处于对方的方的近区近区之中。之中。每一个对称振子既要受到对方每一个对称振子既要受到对方辐射场的影响，也要受到对方感应辐射场的影响，也要受到对方

26、感应场的影响。场的影响。图图 2-4-1耦合对称振子耦合对称振子每一个对称振子上的电压和电流的关系都要发生变每一个对称振子上的电压和电流的关系都要发生变化，因而辐射复功率也要随之发生变化，这种现象称为化，因而辐射复功率也要随之发生变化，这种现象称为能量耦合能量耦合，简称耦合。，简称耦合。耦合对称振子耦合对称振子: :距离很近、相互间存在能量耦合的对称振子距离很近、相互间存在能量耦合的对称振子辐射复功率辐射复功率: :既包括天线辐射的既包括天线辐射的有功功率有功功率( (辐射场的功率辐射场的功率) )，也，也包括感应场的包括感应场的虚功率虚功率。 虽然虽然虚功率虚功率并不辐射出去，并不辐射出去，

27、但它总是与有功功率同时发生但它总是与有功功率同时发生同时存在的，因此仍把它与有同时存在的，因此仍把它与有功功率一起合称为功功率一起合称为辐射复功率辐射复功率。图图 2-4-1耦合对称振子耦合对称振子1MI2MI振子振子 1 和振子和振子 2 总的辐射复功率分别为总的辐射复功率分别为，12111SSS 22212SSS 把二元耦合对称振子的每一个对称振子的自辐射复功把二元耦合对称振子的每一个对称振子的自辐射复功率、感应辐射复功率和总的辐射复功率分别以各自波腹电率、感应辐射复功率和总的辐射复功率分别以各自波腹电流做参照折合成等效的阻抗值，即流做参照折合成等效的阻抗值，即， 221M1111ISZ

28、， 221M1212gISZ ，21M112ISZ ， 222M2222ISZ ， 222M2121gISZ 22M222ISZ 2耦合对称振子的阻抗方程和等效电压方程耦合对称振子的阻抗方程和等效电压方程，12111SSS 22212SSS ， 221M1111ISZ ， 221M1212gISZ ，21M112ISZ ， 222M2222ISZ ， 222M2121gISZ 22M222ISZ 它们依次称为振子它们依次称为振子 1 的的自辐射阻抗自辐射阻抗、振子、振子 1 受振子受振子 2 影响影响的的感应辐射阻抗感应辐射阻抗和振子和振子 1 总的辐射阻抗总的辐射阻抗；振子振子 2 的的自辐

29、射阻抗自辐射阻抗、振子、振子 2 受振子受振子 1 影响的影响的感应辐射阻感应辐射阻抗抗和振子和振子 2 总的辐射阻抗总的辐射阻抗。比较上面各式，就能得到比较上面各式，就能得到耦合对称振子的阻抗方程式耦合对称振子的阻抗方程式Z 1 Z11 Zg12Z 2 Zg21 Z22 Z 1 Z11 Zg12Z 2 Zg21 Z22 ，12111SSS 22212SSS ， 221M1111ISZ ， 221M1212gISZ ，21M112ISZ ， 222M2222ISZ ， 222M2121gISZ 22M222ISZ 为了能够确定耦合对称振子的辐射阻抗，定义耦合对为了能够确定耦合对称振子的辐射阻抗

30、，定义耦合对称振子的称振子的等效电压等效电压。以这两个振子波腹电流以这两个振子波腹电流 和和 做参照的做参照的等效电压等效电压与与各自的辐射复功率关系分别为各自的辐射复功率关系分别为1MI2MI， 1M1121ISU 2M2221ISU ，12111SSS 22212SSS ， 221M1111ISZ ， 221M1212gISZ ，21M112ISZ ， 222M2222ISZ ， 222M2121gISZ 22M222ISZ Z 1 Z11 Zg12Z 2 Zg21 Z22， 1M1121ISU 2M2221ISU 上式中，上式中，等效电压等效电压和和只是只是由两个振子各自的电流由两个振子

31、各自的电流和辐射复功率和辐射复功率计算出来的复数电压，它们并不是对称振子计算出来的复数电压，它们并不是对称振子上某处的电压。上某处的电压。1U2UZ 1 Z11 Zg12 ，Z 2 Zg21 Z22， 1M1121ISU 2M2221ISU ，12111SSS 22212SSS ，21M112ISZ 22M222ISZ 从上式中解出从上式中解出等效电压等效电压，并把两振子的辐射复功率用各自，并把两振子的辐射复功率用各自总的辐射阻抗来表示，可得到等效电压和辐射阻抗的关系总的辐射阻抗来表示，可得到等效电压和辐射阻抗的关系，11M1M12M11M112 ZIIZIIS U22M2M222MM2222

32、 ZIIZIIS U把上面辐射阻抗把上面辐射阻抗 Z 1 和和 Z 2 代入上式，可得代入上式，可得121112g1M111M1 UUU ZIZI2221222M21g2M2UUU ZIZI， 1M1121ISU 2M2221ISU ，12111SSS 22212SSS 121112g1M111M1 UUU ZIZI2221222M21g2M2UUU ZIZI显然振子显然振子 1 的附加电压的附加电压 应与振子应与振子 2 的电流成正的电流成正比；而振子比；而振子 2 的附加电压应与振子的附加电压应与振子 1 的电流成正的电流成正比，即比，即 12U21U2MI1MI122M12g1M12ZI

33、ZI U211M21g2M21ZIZI U121112g1M111M1 UUU ZIZI2221222M21g2M2UUU ZIZI122M12g1M12ZIZI U211M21g2M21ZIZI UZ12 是在振子是在振子 2 影响下振子影响下振子 1 的的互阻抗互阻抗；Z21 是在振子是在振子 1 影响下振子影响下振子 2 的的互阻抗互阻抗。 在一定条件下在一定条件下( (例如，天线工作频率不变，两天线的相例如，天线工作频率不变，两天线的相对位置固定对位置固定) )，这，这两个互阻抗均为两个互阻抗均为常数常数。因此，每一个单元对称振子上的因此，每一个单元对称振子上的等效电压等效电压都是由两

34、振都是由两振子上的电流共同决定的子上的电流共同决定的122M111M1ZIZI U222M211M2ZIZI U这就是这就是耦合对称振子的等效电压方程式耦合对称振子的等效电压方程式。121112g1M111M1 UUU ZIZI2221222M21g2M2UUU ZIZI122M12g1M12ZIZI U211M21g2M21ZIZI U122M111M1ZIZI U222M211M2ZIZI U从从，11M1 ZI U22M2 ZI U可以得到下面的可以得到下面的辐射阻抗方程式辐射阻抗方程式121M2M111 ZIIZZ 22212M1M2ZZIIZ 二、耦合对称振子辐射阻抗的求解方法二、耦

35、合对称振子辐射阻抗的求解方法1感应电动势原理分析感应电动势原理分析 1感应电动势原理分析感应电动势原理分析振子振子 2 在振子在振子 1 表面上产生的表面上产生的电场强度矢量的切向分量记作电场强度矢量的切向分量记作。12E12zE由于的作用，在振子由于的作用，在振子 1 上上任意位置任意位置 z1 处的元长度处的元长度 dz1 上将产上将产生一个感应电动势生一个感应电动势11212ddzEezz 因为振子因为振子 1 是理想导体构成的，它表面上总电场的切是理想导体构成的，它表面上总电场的切向分量为零，所以在振子向分量为零，所以在振子 1 电源的作用下将产生一个反相电源的作用下将产生一个反相的电

36、动势来抵消的作用，从而满足理想导体表的电动势来抵消的作用，从而满足理想导体表面电场切向分量为零的边界条件。面电场切向分量为零的边界条件。12dze 12zE12zE图图 2-4-1耦合对称振子耦合对称振子11212dd-zEezz11112111212d)(21)(d21dzzIEzIeSzz 122M12g1M12ZIZI U211M21g2M21ZIZI U整个振子整个振子 1 总的感应辐射复功率为总的感应辐射复功率为 111111212d)(21llzzzIES122M1M121M2M21M12g2M112212121ZIIZIIIZIS 从上式中解出互阻抗后，再把从上式中解出互阻抗后，

37、再把上面积分式代入，可得上面积分式代入，可得 11111122M1M12d)(1llzzzIEIIZ教科书教科书 52 页式页式( (2-4-12) )有误：有误：电流电流 I 的下标的下标是是 1 不是不是 2。这个反电动势是由振子这个反电动势是由振子 1 的电源所提供的，因此振子的电源所提供的，因此振子 1 在在 dz1 处就产生额外的辐射复功率，即感应辐射复功率处就产生额外的辐射复功率，即感应辐射复功率图图 2-4-1耦合对称振子耦合对称振子 111111212d)(21llzzzIES122M1M121M2M21M12g2M112212121ZIIZIIIZIS 11111122M1M

38、12d)(1llzzzIEIIZ上式中电场切向分量是由振子上式中电场切向分量是由振子 2 电流所产生的，因此电流所产生的，因此有，而振子有，而振子 1 的电流仍可假设为纯驻波正弦分的电流仍可假设为纯驻波正弦分布，即布，即12zE2M12IEz )(sin)(|111M11zlIzI 可见，可见，上式的积分结果与两振子上式的积分结果与两振子电流的大小与相位无关，完全取决于电流的大小与相位无关，完全取决于两者的电长度和相互位置两者的电长度和相互位置。图图 2-4-1耦合对称振子耦合对称振子 11111122M1M12d)(1llzzzIEIIZ2M12IEz )(sin)(|111M11zlIzI

39、 用同样的方法还可以得到互阻抗用同样的方法还可以得到互阻抗 Z21。根据天线理论中的互易原理，可以证明根据天线理论中的互易原理，可以证明Z21 Z12 互易原理的证明过程非常麻烦，互易原理的证明过程非常麻烦，只是在电磁理论与工程类专业的书只是在电磁理论与工程类专业的书籍中才加以证明。籍中才加以证明。 2二元耦合对称振子阵的互辐射阻抗二元耦合对称振子阵的互辐射阻抗假设在耦合对称振子阵中，各振子彼此之间是相互假设在耦合对称振子阵中，各振子彼此之间是相互平行的，如图平行的，如图 2-4-3 所示。所示。 图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置振子振子 1 和振子和振子 2 之间

40、的互阻抗为之间的互阻抗为 11111122M1M12d)(1llzzzIEIIZ为了完成这个积分，首先要求为了完成这个积分，首先要求出振子出振子 2 在振子在振子 1 表面上电场强度表面上电场强度矢量矢量 的切向分量的切向分量。12zE12E图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置在图在图 2-4-3 中，根据振子中，根据振子 2 上的上的电流分布，可求得它的矢量磁位电流分布，可求得它的矢量磁位 A，可以证明它只有可以证明它只有 Az 分量。分量。通过矢量磁位通过矢量磁位 A 可求得振子可求得振子 2 产生的磁场强度矢量产生的磁场强度矢量 H，可以证明，可以证明它只有它只有

41、 H 分量。分量。 最后，再通过微分形式的麦克最后，再通过微分形式的麦克斯韦方程就可求得振子斯韦方程就可求得振子 2 产生的电产生的电场强度矢量场强度矢量 E，它只有，它只有 E 和和 Ez 两两个坐标分量。个坐标分量。 两振子互相平行，两振子互相平行，Ez12 也就是振子也就是振子 2 的的 Ez 分量，即分量，即 0j22j1jM212021e)cos(2ee30jrlrrIErrrz 教科书教科书 53 页式页式( (2-4-17) )有误：有误：指数有指数有负号负号。图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置 11111122M1M12d)(1llzzzIEIIZ 0

42、j22j1jM212021e)cos(2ee30jrlrrIErrrz 可用可用 z1，d1 和和 d2 来表示来表示 r0，r1 和和 r2，即，即， )(221210dzdr ， )(2221211ldzdr 2221212)(ldzdr 11111122M1M12d)(1llzzzIEIIZ 0j22j1jM212021e)cos(2ee30jrlrrIErrrz )(sin)(|111M11zlIzI 把把和式代入上面积分式，完成积和式代入上面积分式，完成积分便可求得两振子之间的互辐射阻分便可求得两振子之间的互辐射阻抗抗12zE10j22j1j11121212de)cos(2ee|)|

43、(sin30jj11021zrlrrzlXRllrrr Z可见，可见，振子振子 1 和振子和振子 2 之间的互阻抗之间的互阻抗 Z12 仅与它们本身仅与它们本身的电长度和相互位置有关，而与两振子的振幅和相位无关。的电长度和相互位置有关，而与两振子的振幅和相位无关。 10j22j1j11121212de)cos(2ee|)|(sin30jj11021zrlrrzlXRllrrr Z利用欧拉公式把上式中的实部与虚部分开，可得利用欧拉公式把上式中的实部与虚部分开，可得100222111112d)sin()cos(2)sin()sin(|)|(sin30 11zrrlrrrrzlRll 1002221

44、11112d)cos()cos(2)cos()cos(|)|(sin3011zrrlrrrrzlXll 如果图如果图 2-4-3 中两振子中心的中两振子中心的高度差高度差 d2 l1 + l2 ，而两振子轴，而两振子轴线间距离线间距离 d1 = 0，这时两振子就成这时两振子就成了了共轴线排列共轴线排列的的耦合对称振子。耦合对称振子。两振子相互位置关系应改写为两振子相互位置关系应改写为 r0 z1 d2 r1 z1 d2 l2 r2 z1 d2 l2 图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置100222111112d)sin()co

45、s(2)sin()sin(|)|(sin3011zrrlrrrrzlRll 100222111112d)cos()cos(2)cos()cos(|)|(sin3011zrrlrrrrzlXll 把把相互位置关系相互位置关系r0 z1 d2r1 z1 d2 l2，r2 z1 d2 l2 代入上面积分式便可求得代入上面积分式便可求得共轴线排列共轴线排列的耦的耦合对称振子地互辐射阻抗。合对称振子地互辐射阻抗。图图 2-4-4 给给出了共轴线排列的耦合半出了共轴线排列的耦合半波对称振子波对称振子( (l1 = l2 = l = 0.25 ) )互电阻和互互电阻和互电抗随距离的变化的曲线。电抗随距离的变

46、化的曲线。 共轴线互阻抗曲线共轴线互阻抗曲线图图 2-4-4共轴线排列的耦合半波对称振子的互电阻和互电抗曲线共轴线排列的耦合半波对称振子的互电阻和互电抗曲线图中图中 s = d2 2l = d2 0.5 是耦合半波对称振子相对的是耦合半波对称振子相对的两个端点之间的距离。两个端点之间的距离。从图中可以看出，从图中可以看出，随距离随距离 s 增大，互电阻增大，互电阻 R12 和互电抗和互电抗 X12 的变化幅度逐渐减小。的变化幅度逐渐减小。图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置如果图如果图 2-4-3 中两振子中心的高度差中两振子中心的高度差 d2 = 0，它们就成，它们就

47、成了平行排列的耦合对称振子。了平行排列的耦合对称振子。耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置两振子的相互位置关系为两振子的相互位置关系为，21210zdr ，221211)(lzdr 221212)( lzdr 把上式代入互电阻和互电抗表达式，把上式代入互电阻和互电抗表达式，就可求得平行排列的耦合对称振子就可求得平行排列的耦合对称振子之间的互电阻和互电抗。之间的互电阻和互电抗。由于对称性，平行排列的耦合由于对称性，平行排列的耦合对称振子的互电阻和互电抗定积分对称振子的互电阻和互电抗定积分式可以改写为式可以改写为1000222111112d)sin() cos(2)sin()sin()(s

48、in601zrrlrrrrzlRl 1000222111112d)cos() cos(2)cos()cos()(sin60 1zrrlrrrrzlXl 若平行排列的耦合对称振子的臂长若平行排列的耦合对称振子的臂长 l1 = l2 = l，就成了，就成了齐平排列的耦合对称振子。齐平排列的耦合对称振子。齐平排列的齐平排列的耦合对称振子耦合对称振子10002211112d)sin() cos(2)sin()sin()(sin60zrrlrrrrzlRl 10002211112d)cos() cos(2)cos()cos()(sin60 zrrlrrrrzlXl 图图 2-4-5 给出了齐平排列的耦合

49、半波对称振子给出了齐平排列的耦合半波对称振子( (l1 = l2 = l = 0.25 ) )互电阻和互电抗随间距互电阻和互电抗随间距 d1 的变化曲线。的变化曲线。 图图 2-4-5齐平排列耦合半波对称振子的互电阻和互电抗曲线齐平排列耦合半波对称振子的互电阻和互电抗曲线齐平互阻抗曲线齐平互阻抗曲线10002211112d)sin() cos(2)sin()sin()(sin60zrrlrrrrzlRl 10002211112d)cos() cos(2)cos()cos()(sin60 zrrlrrrrzlXl 除了第除了第 7 章中将要讨论的引向天线之外，绝大多数由章中将要讨论的引向天线之外

50、，绝大多数由对称振子构成的天线阵，无论是哪种排列方式，各单元对对称振子构成的天线阵，无论是哪种排列方式，各单元对称振子都是等长的，即称振子都是等长的，即 l1 = l2 = l。由于由于对称性，证明式对称性，证明式Z21 Z12 就很容易了。就很容易了。如果齐平排列的两个对称振子之间的如果齐平排列的两个对称振子之间的距离距离 d1 逐渐缩小直到接触到一起，就成逐渐缩小直到接触到一起，就成了一个振子。了一个振子。这种情况下，耦合对称振子这种情况下，耦合对称振子就变成了单个对称振子。就变成了单个对称振子。 耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置10002211112d)sin() cos(2

51、)sin()sin()(sin60zrrlrrrrzlRl 10002211112d)cos() cos(2)cos()cos()(sin60 zrrlrrrrzlXl 单个对称振子单个对称振子的自辐射阻抗的自辐射阻抗图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置这种情况下，图这种情况下，图 2-4-3 中中 d1 = a 和和 l1 = l2 = l，上式中的，上式中的， 2120zar ， )(2121lzar 2122)(lzar 把上面关系代入把上面关系代入互阻抗积分式中，便互阻抗积分式中，便可以求得对称振子的可以求得对称振子的自辐射阻抗自辐射阻抗 R11 和和 X11。

52、10002211111d)sin() cos(2)sin()sin()(sin60zrrlrrrrzlRl 10002211111d)cos() cos(2)cos()cos()(sin60 zrrlrrrrzlXl 图图 2-4-3耦合对称振子耦合对称振子的相互位置的相互位置10002211111d)sin() cos(2)sin()sin()(sin60zrrlrrrrzlRl 10002211111d)cos() cos(2)cos()cos()(sin60 zrrlrrrrzlXl 同样，上式中的定积分也只能通过数值方法完成。同样，上式中的定积分也只能通过数值方法完成。对于半波对称振子

53、，其自辐射对于半波对称振子，其自辐射阻抗为阻抗为Z11 R11 jX11 73.1 j42.5 ( ( ) ) 用数值积分方法就可求出图用数值积分方法就可求出图 2-4-3 中相对位置关系的耦合半波对称振中相对位置关系的耦合半波对称振子的互辐射阻抗值。子的互辐射阻抗值。表表 2-4-1 列出了不同相对位置关列出了不同相对位置关系的耦合半波对称振子若干个互辐系的耦合半波对称振子若干个互辐射阻抗值。射阻抗值。 互阻抗表互阻抗表表表 2-4-1耦合半波对称振子的互阻抗表耦合半波对称振子的互阻抗表( ( ) ) d2 / d1 1 / 00.511.520 73.1 j42.526.4 j20.2 4

54、.1 j0.71.7 j0.2 1.0 j0.10.2540.8 j28.310.7 j12.5 3.8 j1.051.65 j0.3 0.9 j0.10.5 12.5 j29.9 11.9 j7.9 0.8 j4.11.1 j1.4 0.7 j0.60.75 22.5 j6.6 8.4 j10.94.5 j2.3 0.85 j2.00 j1.114.0 j17.79.0 j8.94.1 j4.2 2.7 j0.31.1 j0.91.2514.6 j2.78.9 j7.3 3.2 j5.4 1.65 j2.71.7 j0.551、d1 = 0 ， d2 = 0 对应的数据就是半波对对应的数据就

55、是半波对称振子的称振子的自辐射阻抗值自辐射阻抗值。73.1 j42.52、 d1 = 0 对应的数据就是对应的数据就是共轴线排列共轴线排列半波半波对称振子的互阻抗值。对称振子的互阻抗值。3、d2 = 0 对应的数据就是对应的数据就是齐平排列齐平排列半波对半波对称振子的互阻抗值。称振子的互阻抗值。三、多元耦合对称振子阵的辐射阻抗三、多元耦合对称振子阵的辐射阻抗1阻抗方程式阻抗方程式1阻抗方程式阻抗方程式对于对于 n 元直线天线阵，其中每一个单元天线都要受到元直线天线阵，其中每一个单元天线都要受到其他其他 (n 1) 个单元天线的影响，其电流和等效电压发生变个单元天线的影响，其电流和等效电压发生变

56、化，从而引起额外的感应辐射复功率。化，从而引起额外的感应辐射复功率。n 元天线阵中辐射复功率元天线阵中辐射复功率nnnnnnnnnSSSZISSSSZISSSSZIS 212M22221222M211211121M121 2121 每一个单元天线的辐射复功率是自辐射复功率与每一个单元天线的辐射复功率是自辐射复功率与 (n 1) 个感应辐射复功率之和，也可以看成是以自身个感应辐射复功率之和，也可以看成是以自身电流做参照的辐射阻抗所对应的辐射复功率。电流做参照的辐射阻抗所对应的辐射复功率。nnnnnnnnnSSSZISSSSZISSSSZIS 212M22221222M211211121M121

57、2121 同样，上式中每一个单元天线的自辐射复功率和受其同样，上式中每一个单元天线的自辐射复功率和受其他单元天线影响的各个感应辐射复功率也可以分别用自辐他单元天线影响的各个感应辐射复功率也可以分别用自辐射阻抗以及感应辐射阻抗或互辐射阻抗来表示，即射阻抗以及感应辐射阻抗或互辐射阻抗来表示，即 kkkkkZIS2M21 kllkklklkklkklZIIZIIIZISMMMM2Mg2M212121 上式中，上式中，k，l = 1，2， ，n。多元耦合对称振子阵中的每一个单元振子的等效电压多元耦合对称振子阵中的每一个单元振子的等效电压nnnnnnnnnnnnZIZIZIZIZIZIZIZIZIZIZ

58、IZIM22M11MM2M222M211M22M21M122M111M11M1 UUU从上式或者辐射复功率表达式都可以解出来各单元振子从上式或者辐射复功率表达式都可以解出来各单元振子的辐射阻抗的辐射阻抗 nnnnnnnnnnnZZIIZIIZZIIZZIIZZIIZIIZZ 2MM21MM122MM22212M1M211MM121M2M111 nnnnnnnnnnnZZIIZIIZZIIZZIIZZIIZIIZZ 2MM21MM122MM22212M1M211MM121M2M111 nnnnnnnnnSSSZISSSSZISSSSZIS 212M22221222M211211121M121 2

59、121 kkkkkZIS2M21 kllkklZIISMM21 nnnnnnnnnnnZZIIZIIZZIIZZIIZZIIZIIZZ 2MM21MM122MM22212M1M211MM121M2M111 上式中上式中Zkl = ZlkZ11 = Z22 = = Zkk = = Znn 如果如果 n 元天线阵中，某一个单元振子是无源的，该振子的元天线阵中，某一个单元振子是无源的，该振子的等效电压为零等效电压为零，辐射总复功率为零辐射总复功率为零，辐射阻抗也为零辐射阻抗也为零。但是，这个无源振子的自辐射复功率和感应辐射复功但是，这个无源振子的自辐射复功率和感应辐射复功率并不为零，率并不为零，它上

60、面的电流也不为零它上面的电流也不为零。nnnnnnnnnnnZZIIZIIZZIIZZIIZZIIZIIZZ 2MM21MM122MM22212M1M211MM121M2M111 上式中上式中Zkl = ZlkZ11 = Z22 = = Zkk = = Znn 例如，当第例如，当第 l 个振子是无源振子时，其阻抗方程式为个振子是无源振子时，其阻抗方程式为 0MM2M2M1M1M nllnl llllllZIIZZIIZIIZ 根据这一原理，可以设计引向天线。根据这一原理，可以设计引向天线。2耦合对称振子阵的总辐射阻抗耦合对称振子阵的总辐射阻抗n 元天线阵的总辐射复功率为各个振子辐射复功率的总和