数学建模中的优化模型

1、 现实世界中普遍存在着现实世界中普遍存在着优化问题优化问题. 建立静态优化模型的关键之一是根据建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的建模目的确定恰当的目标函数目标函数.求解静态优化模型一般用求解静态优化模型一般用微分法微分法. 静态优化问题指静态优化问题指最优解是数最优解是数(不是函数不是函数).简单的优化模型简单的优化模型( (静态优化静态优化) )1. 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂该厂生产能力非

2、常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要要求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次, 每次每次100件件

3、,无贮存费无贮存费,准备费准备费5000元元.日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元元. 10天生产一次天生产一次, 每次每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元元. 50天生产一次天生产一次,每次每次5000件件, 贮存费贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元元.平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元10天生产一次天生产一次,平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗?每天

4、费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数这是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值. 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费

5、为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小.4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r

6、递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用221QTccC每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化Tdttqc02)(一周期贮存费为一周期贮存费为A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解MinrTcTcTC2)(21求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型解释模型解释QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析参数参数c1,c2, r的微小变化对的微小变化对T,Q的影响的影响T对对c1的的(相相对对)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTSTccT

7、11dd21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2c2或或r增加增加1%, T减少减少0.5%经济批量订货公式（经济批量订货公式（EOQ公式）公式）212rccT 212crcrTQ 用于订货供应情况用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型模型应用模型应用T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原问题回答原问题c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1, 每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 , T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订

8、货Q件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，Q件立即到货件立即到货.思考思考: 为什么与前面计算的为什么与前面计算的C=950元有差别元有差别?允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失.原模型假设：原模型假设：贮存量降到零时贮存量降到零时Q件立即生产出来件立即生产出来(或立即到货或立即到货).现假设：现假设：允许缺货允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足.T1rTQ Ac2Bc3周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121T

9、TrcQTccC一周期总费用一周期总费用一周期一周期贮存费贮存费102)(Tdttqc一周期一周期缺货费缺货费dttqcTT1)(3TCQTC),(0,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用MinQTC),(求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q.rTQrTcrTQcTc2)(223221允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型212rccT 212crcrTQ不允许不允许缺货缺货模

10、型模型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQR2. 冰山冰山运输运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米的成本为每立方

11、米0.1英镑英镑. 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水船运送冰山，取代淡化海水. 从经济角度研究冰山运输的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性.建模准备建模准备1. 日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45

12、0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较较.模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米. 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同.到达目的地后到达目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.

13、85立方米水立方米水.建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融

14、化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的线性函数的线性函数d4000时时r与与d无关无关航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律 tkktrRR10冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积30034RV334ttRVt天时体积天时体积总航行天数总航行天数313004334),(tkkrVtVuV选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体

15、积uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc),()lg(24),(30210ctVuVcucutVuq),)(lg(3211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性, 对对lgV 线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用TttVuqVuQ100),(),(14334lg)6(2.73130tkkrVuu V0 5 105 1

16、06 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）（英镑）uT400航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用冰山运输总费用),(),(),(000VuQVuRVuS14334lg)6(2 . 7),(313010tkkTtrVuuVuQ冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积),(85. 0),(00VuVVuW3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每立方运送每

17、立方米水费用米水费用),(),(),(000VuWVuSVuY313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积),(),(),(000VuQVuRVuS模型求解模型求解选择船型和船速选择船型和船速,使冰山到达目使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小时小时), V0= 107 (米米3)， Y(u,V0)最最小小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法枚举法计算计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性低于淡化海水的成本时，才考虑其可行