第三章89刚体力学

1、第三章第三章刚刚 体体 力力 学学导读导读 定点转动和一般运动描述定点转动和一般运动描述 定点转动加速度定点转动加速度 欧勒动力学方程欧勒动力学方程3.8 刚体绕固定点的转动刚体绕固定点的转动1 定点转动运动学定点转动运动学刚体内只有一点始终不动刚体内只有一点始终不动. 圆盘绕轴圆盘绕轴Oz转动转动, 该轴固结在内该轴固结在内悬架悬架, 内悬架绕固结于外悬架的内悬架绕固结于外悬架的ON轴转动轴转动, 外悬架又绕轴外悬架又绕轴Oz转动转动. 三轴交点三轴交点O始终不动的始终不动的.rtrvddOrRP 刚体绕固定点刚体绕固定点O转动时，则体内任一点转动时，则体内任一点P 的线加速度为的线加速度为

2、转动加速度转动加速度rrrtrrttva2dd dddd向轴加速度向轴加速度刚体作一般运动时刚体作一般运动时, 刚体内任一点刚体内任一点P的速度及加速度为的速度及加速度为 rvvadd dd2rrrtarrtaaAA例例1 当飞机在空中以定值速度当飞机在空中以定值速度V沿半径为沿半径为R的水平圆形轨的水平圆形轨道道C转弯时转弯时, 当螺旋浆尖端当螺旋浆尖端B与中心与中心A的联线和铅垂线成的联线和铅垂线成 角时角时, 求求B点的速度及加速度点的速度及加速度. 已知螺旋桨的长度已知螺旋桨的长度AB=l, 螺螺旋桨自身旋转的角速度为旋桨自身旋转的角速度为 1.解解: 取螺旋桨的中心取螺旋桨的中心A为

3、动坐标系原为动坐标系原点点, 其单位矢量如图其单位矢量如图, 则当飞机转弯时则当飞机转弯时, 整个飞机绕整个飞机绕 k 转动的角速度为转动的角速度为 0=V/R, 故螺旋浆的合成角速度为故螺旋浆的合成角速度为kRVj1又当飞机转弯时，又当飞机转弯时，A描绘一半径为描绘一半径为R的水平圆周的水平圆周, 故故A的速度为的速度为V, 方向沿圆周的切线方向沿圆周的切线, 即即j的方向的方向. 取取A为为基点基点, 则螺旋桨尖端则螺旋桨尖端B的速度为的速度为kljRlVilklilkRVjjVrjVvsinsin1coscossin111现在求现在求B点的加速度点的加速度 . 因因A点加速点加速度为度为

4、 V 2/Ri . 而而tkRVtjtdddddd1因因k为恒矢量为恒矢量, 故故tjtdddd1又又iRVjkRVjtj0dd故故iRVtjt11dddd所以所以, B点的点的加速度为加速度为kljRVlilkRVjkliliRViRVrrtaaAsinsincos cossin dd11112 coscos2sinsin21122212kljRlViRlVlRVa 刚体绕定点刚体绕定点O以角速度以角速度 转动时转动时, 其运动方程是其运动方程是2 欧勒动力学方程欧勒动力学方程MtJddJ是刚体绕定点是刚体绕定点O的动量矩的动量矩, M为诸外力对为诸外力对O点的主矩点的主矩. 我们选用固定在

5、刚体上并一起转动的坐标系并选用我们选用固定在刚体上并一起转动的坐标系并选用O点点上的惯量主轴为动坐标轴上的惯量主轴为动坐标轴, JxI1 x , JyI2 y , JzI3 z . 坐标轴转动角速度等于刚体角速度坐标轴转动角速度等于刚体角速度 ,如把角动量如把角动量J和随和随刚体转动的坐标系刚体转动的坐标系O-xyz固着在一起固着在一起, 和位置矢量和位置矢量r相仿相仿, J 对时间微商应为对时间微商应为 J. 不过实际上不过实际上J 相对于相对于O-xyz也在也在发生变化，它的每一个分量也都是时间的函数发生变化，它的每一个分量也都是时间的函数, 所以所以JkJjJiJtJzyxdd因因 kM

6、jMiMMkjikIjIiIJzyxzyxzyx321所以所以zyxzyxzyxzyxMIIIMIIIMIII213132321欧勒动力学方程欧勒动力学方程机械能守恒律（外力为保守力时）机械能守恒律（外力为保守力时）EVIIIzzyyxx22221一般来说一般来说, 有动力学和运动学方程就可以完全确定刚体的有动力学和运动学方程就可以完全确定刚体的运动运动. 在无力矩情形在无力矩情形, 角动量守恒角动量守恒: L和和 均为常矢量均为常矢量. 典典型应用是陀螺仪型应用是陀螺仪.动量矩的进动动量矩的进动 在外力矩为有限值时在外力矩为有限值时, 动量矩将随时间变化动量矩将随时间变化. 当力矩当力矩和动

7、量矩方向一致时和动量矩方向一致时, 情况简单情况简单. 当二者不共线时当二者不共线时, 动量矩不能保持其方向动量矩不能保持其方向. 当动量矩当动量矩增量很小或者外力矩垂直于动量矩时增量很小或者外力矩垂直于动量矩时, 对动量矩和增量对动量矩和增量的分解可看出的分解可看出,转轴本身在转动转轴本身在转动, 此时为动量矩的进动此时为动量矩的进动.LMmg sinrmggmrMsinsinILLImgrtlim进动角速度进动角速度动量矩的章动动量矩的章动 动量矩的倾角在一个范围内变化动量矩的倾角在一个范围内变化. 好像是点头好像是点头的动作一样的动作一样. zyx小结小结rtrvddOrRP 转动加速度

8、转动加速度rrrta2dd 向轴加速度向轴加速度zyxzyxzyxzyxMIIIMIIIMIII213132321欧勒动力学方程欧勒动力学方程动量矩的进动动量矩的进动 章动章动导读导读 定点转动可严格求解的情况定点转动可严格求解的情况 欧勒欧勒-潘索情况潘索情况 拉格朗日拉格朗日-泊松情况泊松情况 C.B.柯凡律夫斯卡雅情况柯凡律夫斯卡雅情况3.9 重刚体绕固定点转动的解重刚体绕固定点转动的解 一个刚体一个刚体, 除约束反力外除约束反力外, 有时只在重力作用下作定有时只在重力作用下作定点转动点转动, 我们把这种刚体叫我们把这种刚体叫重刚体重刚体.欧勒欧勒潘索情况潘索情况: 刚体因惯性而运动刚体

9、因惯性而运动, 这时外力的合这时外力的合力通过固定点力通过固定点O, 在重刚体的特殊情况下在重刚体的特殊情况下, 固定点固定点O和刚体重心和刚体重心G相重合相重合. 不对称陀螺不对称陀螺.拉格朗日拉格朗日泊松情况泊松情况: 对固定点对固定点O所作的惯量椭球所作的惯量椭球是一旋转椭球是一旋转椭球, 亦即亦即I1=I2, 至于刚体的重心则位于动至于刚体的重心则位于动力对称轴上但不与固定点重合力对称轴上但不与固定点重合. 回转仪回转仪.C.B.柯凡律夫斯卡雅情况柯凡律夫斯卡雅情况: 在这一情况下，在这一情况下，I1I22I3, 而重心则在惯量椭球的赤道平面上而重心则在惯量椭球的赤道平面上. 这也是一

10、种这也是一种对称陀螺对称陀螺.1 1 欧勒欧勒潘索情况潘索情况 力矩为零力矩为零, 原则上可用欧勒动力学方程求出角速度，原则上可用欧勒动力学方程求出角速度，再代入欧勒运动学方程求出欧勒角和时间的函数关系再代入欧勒运动学方程求出欧勒角和时间的函数关系. 以地球自转作为例子来分析以地球自转作为例子来分析. 地球看作扁平球体地球看作扁平球体, I1=I2. 地球的中心作为定点取为坐标原点地球的中心作为定点取为坐标原点, z轴于地球的对称轴于地球的对称轴重合轴重合, 因因 I1=I2, Mx=My=Mz=0 ,所以欧勒动力学方程为所以欧勒动力学方程为(3) 0(2) 0(1) 03131311zxzy

11、zyxIIIIIII 将将(3)积分积分, 得得(4) 常数z 将将(4)带入带入(1), (2) 得得(6) (5) 113113xxyyyxnIIInIII上式的通解为上式的通解为:(8) )sin(7) )cos(00ntntyx这样知道地球的自转总角速度大小是常量这样知道地球的自转总角速度大小是常量, 为为220但地球自转角速度的方向则绕着对称轴但地球自转角速度的方向则绕着对称轴Oz作匀速转动作匀速转动, 且描绘一圆锥体且描绘一圆锥体, Oz为圆锥体轴线为圆锥体轴线, 其周期为其周期为13122IIIn 目前我们知道了角速度目前我们知道了角速度,可以用欧勒运动学方程计算可以用欧勒运动学

12、方程计算欧勒角随时间的变化欧勒角随时间的变化 因力矩为零因力矩为零, 所以在固定坐标系角动量是恒量所以在固定坐标系角动量是恒量, 取为取为固定系的固定系的 轴轴, 所以所以L和和 轴以及进动角速度共线轴以及进动角速度共线. 所以所以(11) cos(10) cossin(9) sinsin3321IILLILLILLzzyyxx因因L为常数为常数, 由由(11)知知 = 0=常数常数, 再考虑再考虑(7), (8), 可得可得ntIL2 ,sin010把这些结果带入欧拉运动学方程把这些结果带入欧拉运动学方程, 得得10sectn这样我们知道这样我们知道 是常数而是常数而 , 都是时间的函数都是

13、时间的函数. 地球除地球除了绕了绕 z 轴自转外轴自转外, 还有绕还有绕 轴的角速度轴的角速度 , 即即z轴不是轴不是固定不动的固定不动的,而是绕而是绕 轴进动轴进动. 此时刚体的瞬时角速度为此时刚体的瞬时角速度为绕绕 轴和绕轴和绕 z 轴的轴的 矢量和矢量和.2 2 拉格朗日拉格朗日泊松情况泊松情况力矩不为零力矩不为零. 需要动力学和运动学方程联合求解需要动力学和运动学方程联合求解.令动系令动系S的的z轴与陀螺的对称轴重合轴与陀螺的对称轴重合, 固定点定系固定点定系S原点原点O重合重合. 如陀螺的重如陀螺的重心在心在G, 且长度且长度OGl, 则作用在刚体则作用在刚体上的外力上的外力, 就是

14、重力一就是重力一mgK，K是是 轴轴上的单位矢量上的单位矢量. 重力对重力对O点的力矩为点的力矩为KkmglKmgk lM)(因为因为kjiKcoscossinsinsinjimglMsinsincossin因此因此 , 得到对称陀螺的动力学方程得到对称陀螺的动力学方程(3) 0(2) sinsin(1) cossin3131311zxzyzyxImglIIImglIII(4) scos常数z这表明陀螺沿着它的对称铀的分角速度是不变的这表明陀螺沿着它的对称铀的分角速度是不变的. 考虑运动方程考虑运动方程cossincossincossinsinzyx用用 x 乘式乘式(1) , y 乘乘 (2

15、) , z 乘乘 (3)，并相加，并相加, 然后将运动然后将运动方程中的方程中的 x 和和 y 的表示式代入所得方程的右端的表示式代入所得方程的右端, 得得sin311mglIIIzzyyxx积分积分, 得得EmglIIIzyxcos21232121进一步进一步, 得得(5) cos2sin232221mglEsII 式式(4)及及(5) 是陀螺的两个第一积分是陀螺的两个第一积分, 还要找出它的另一个还要找出它的另一个第一积分第一积分. 因为陀螺重量与因为陀螺重量与 轴平行，对它的力矩为零，轴平行，对它的力矩为零，因而角动量因而角动量 L 在这个方向上的分量必定是一个常数在这个方向上的分量必定

16、是一个常数(6) cossin321sIIKL做变量代换做变量代换I3s= , cos =x, 从从(6)解出解出 带入带入(5), 并用并用sin2 乘乘(5),223221221121xmglxExIIxxI简化为简化为其中其中 整理后得整理后得)(2xfx21223211221)(IxxmglxIEIxf 而由而由(4), (6)又可得又可得xIxIx321,)1(故只要故只要x与与t 的关系已知的关系已知, 则陀螺的运动完全确定则陀螺的运动完全确定.f (x) 是是x的三次多项式的三次多项式, ,函数有三个实根函数有三个实根x1, x2, x3, ,且且-1-1x1 x211x3, ,

17、因此因此321122xxxxxxImglx例例: : 一陀螺由半径为一陀螺由半径为2a2a的薄圆盘即一垂直通过盘中心的薄圆盘即一垂直通过盘中心C, C, 长为长为a a的杆所组成的杆所组成, ,杆轴的质量可忽略不计杆轴的质量可忽略不计. . 将杆轴的另一端将杆轴的另一端O O放在水放在水平面上平面上, , 使陀螺作无滑动的转动使陀螺作无滑动的转动. . 如起始时如起始时, , 杆轴杆轴OCOC与竖直线与竖直线的夹角为的夹角为 , , 而总角速度的量值为而总角速度的量值为 , , 方向沿着方向沿着 角的平分线角的平分线. . 试证经过试证经过02222)cos(cosseccos1kdt后后, , 杆轴将直立起来杆轴将直立起来, , 式中式中 , 为任一瞬时杆轴与竖直线间的夹角为任一瞬时杆轴与竖直线间的夹角. .2agk 解解: 本题属于拉格朗日本题属于拉格朗日-泊松情况泊松情况, 且且2221322241212)2(2)2(maamImamaamII常数常数常数cossin