断裂力学讲义(第五章)

1、5.弹塑性断裂力学的基本概念弹塑性断裂力学的基本概念 n5.1 Irwin对裂端塑性区的估计 q5.1.1 Irwin对裂纹尖端塑性区尺寸的初步估计q5.1.2 Irwin对塑性区的第二步估计 n5.2 Dugdale模型 n5.3 裂端塑性区的形状 n5.4 平面应力与平面应变的塑性区 n5.5 裂纹尖端张开位移（CTOD）n5.6 J积分 q5.6.1 弹塑性力学的难点 q5.6.2 J积分的物理意义 q5.6.3 J积分的线路无关性应用举例 q5.6.4 J积分的能量解释 5.1 Irwin对裂端塑性区的估计对裂端塑性区的估计n由线弹性分析可知：n 随 而变化， 0， 。这些解在的裂纹端

2、点并不适用。这就是所谓的应力奇异性。n在含裂纹的材料受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区（plastic zone）。n对于非常脆的材料，塑性区可能很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计。可用线弹性理论的应力强度因子的概念来分析应力场。n而当塑性较好的材料，塑性区尺寸比较大，进行必要的修正后，才能应用线弹性断裂力学的结果。n若是塑性区尺寸大到超过裂纹长度，则线弹性断裂力学已不适应于这种情况，不能应用应力强度因子的概念。 xyyx,21rr5.1.1 Irwin对裂纹尖端塑性区尺寸的初对裂纹尖端塑性区尺寸的初步估计步估计n裂端正前方应力分布如图 n对I型裂纹n 时，n n平面应力时： (

3、单向拉伸时的屈服强度)n平面应变时： 泊松比n由图可知，阴影部分的应力还没有完全被塑性区所松驰，nIrwin初步估计的塑性区偏小。 prrysysprryrKp20222yspKrsys222yspKr21sys222221spKr5.1.2 Irwin对塑性区的第二步估计对塑性区的第二步估计 n设 为裂纹的有效长度 n ， 由 决定。n当r=时，n当a时，effa aaeffeffKK effKysyyseffK2222yseffK aKKeffpysrK222n现在估计的大小。n假设面积A等于面积B( 段， )，与Dugdale模型比较，Irwin是用面积A等于面积B求得 ，或者说，求得P

4、。而Dugdale是用有效裂纹尖端应力奇异性消失求得P。Irwin利用有效裂纹的概念主要是用到线弹性应力分布规律求 ，等等。n则： yys,p02ysysKdrr2ysysK2ysKn当 时， nn ，n第二步估计的 ，比 大一倍。nIrwin裂端塑性区的估计是建立在“小范围屈服”(small scale yielding)基础上的( )。n 与 成正比，与 成反比。 apr222pysKrKK2ysysK2222222pysysKKr prpr2pprrprapr2K2ys5.2 Dugdale模型模型 nDugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑性区是狭长块状。n类似于

5、Irwin的有效裂纹长度的概念，他认为有效裂纹的长度为 。 （ 是塑性区尺寸） a?n可以设想：当把有效裂纹的概念 引进后，在 的“”方向的有效裂纹 的作用有 ，按有效裂纹的假设应该有一定的位移。而实际情况是没有位移。n可以认为在 的上下裂纹表面作用有指向裂纹的 。n这一分布的 不仅使裂纹表面不分开，而且使有效裂纹端点的应力奇异性消失。n即： （在有效裂纹的端点）n 表示由分布力 引起的应力强度因子。 aO,Oysysys0KKKKa Kysn无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到一对集中拉力P的作用（单位厚度集中力）n结合Dugdale模型： n则： babaaPKAbabaaPKBysdxax

6、axdKaxaaxaxa 12cosysaaKa12cos0ysaaaa cos2ysaan当 时， n ， n小范围屈服 n大范围屈服时， 与 相比不可忽略，直接利用 求出。nDugdale模型的塑性区要比Irwin模型的塑性区大一些。 a12ys11,1aaaaa 21cos() 1,122 22ysysys 2228ysa 28ysKKa acos2ysaa5.3 裂端塑性区的形状裂端塑性区的形状 nDugdale模型描述的裂端塑性区形状（狭长的）存在于低碳钢制成的压力容器与管道中，但对于高强度材料，其裂端塑性区的形状如何呢？n将裂端应力场的线弹性断裂力学的公式代入：212222xyxy

7、xy12cos1 sin222Kr12s 0 平 面 应 力 平 面 应 变n假定是平面应力问题：nMises屈服条件：n将 、 代入Mises屈服条件，得 n （平面应变）n （平面应力）nVon Mises 准则确定nI型裂纹塑性区的形状。 22221223312s 12 pr 222231 21 cossin42psKr22231cossin42psKr5.4 平面应力与平面应变的塑性区平面应力与平面应变的塑性区 5.5 裂纹尖端张开位移（裂纹尖端张开位移（CTOD） n裂纹张开位移一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。简写为COD(crack opening displacemen

8、t)n对I型裂纹：n当 时，即在裂纹面时，n裂端的COD为COTD(crack tip opening displacement)n线弹性时，COTD=0。 221 2cossin222K rk 212Krk122kK rCODnIrwin塑性区修正，裂纹端点移至有效裂纹端点，真正裂纹端点（ ）n小范围屈服时， ， ，n定义：裂端由不加载时的尖锐形状变成加载时的钝化形状，裂端塑性变形愈严重，裂端钝化愈明显，裂端似乎存在着裂端张开位移。n力学上计算的CTOD建立在有效裂纹概念的基础之上。n n (小范围屈服)n启裂判据：CTOD 临界值1n断裂判据：CTOD 临界值2 ,prr12effpKrk

9、CTODeffKK118kE22pysKr221144ysysKGKCTODGEE 4ysysGIrwinCTODGDugdale 5.6 J积分积分 5.6.1 弹塑性力学的难点弹塑性力学的难点n弹塑性力学的难点：裂端弹塑性应力场的封闭解难以得到。nJames. Rice 提出J integral。n定义：n 弹塑性应变能密度n 作用于ds积分单元上i方向的面力分量n ds积分单元上i方向的位移分量 1iicuJWdy Tdsx1WiTiun可以证明：J积分与路径无关。可选择远离裂端的应力应变场容易求得的积分路径来求积分而避开裂端应力应变场难以求得的路径积分。n小范围屈服时：J=GnI型裂纹

10、，启裂判据： nK判据用于：n1.脆性材料n2.中低强度，延性较佳材料制成的大截面构件nCTOD用于：薄壁压力容器、船壳等。n延性断裂发生的三个阶段：1. 裂纹的启裂 2. 亚临界裂纹扩展 3. 失稳断裂IIcJJ,:effaKCTODJaaKKeff时为代表的线弹性断裂力学理论仍然适用应用或 积分不满足时仍用但+aa得5.6.2 J积分的物理意义积分的物理意义 nSanders and Rice：n线路C外部对内部做功的速率大于或等于储存于A中内能的改变率和不可恢复的损耗能量率之和。n代入裂纹长度a，n应用格林公式， ，n得：n为纪念James. Rice ，记为 1iiCAduddDTds

11、WdAdtdtdtddadta dtdDdaGdtdt1iiCuGWdy Tdsx1iiCuJW dyTdsxn实际上，是和Irwin能量平衡公式意义一致的。n对于线弹性体，J为Griffith的能量释放率。n对于线弹性体，平面应变I型裂纹端点区： n （平面应力和平面应变）n平面应变： n平面应力：n以上等式的假设条件是：裂纹沿原方向扩展，小范围屈服。 21IIKJGEIIJG221IIKJEIIJG2IIKJEIIJG5.6.3 J积分的线路无关性应用举例积分的线路无关性应用举例 n无限长平板有对称的半无限长裂纹：n在 施以固定位移 n ， 上，面力为零，应变能也为零。n n ， 上， ；

12、 为常数， 为常数n n 上： ， ， ， ， ，n2hy 1C5C150CC2C4C0dyu240CC3C1xn 0yn dy ds0 x0 xy0yxxxxyyTnnyyyyxxTnn0 xyTT322hhCSJWdyW hn施以固定力矩M： n ， 为水平线， ， ，且面上自由， n 不受M的影响， ，nn ， 上： n（梁受M， ， ）n 为余能密度，设 为 ， 上的平均值n 2C4Cy0dy0 xyTT3C0W 0 xyTT2430CCC1C5C22hhxxCWdydy 0y0 xy22hhxxCWdy xxW W1C5CCJWh5.6.4 J积分的能量解释积分的能量解释 nJ积分是一种能量观念的力学参量。n 给定面力n 给定位移n线积分只在 上n 平板总应变能n 外界对此弹性平板所做的功 1iiACJWdAT u dsa tutti iAJW dATudsU LaaULn定义：总势能 n ，系统的势能总是随裂纹增长而减小， 为负值n J恒为正值。n当线弹性时，n 适用于弹性体或简单加载的弹塑性体。 VULVJa VaVaJGVJa弹塑性板（一个裂端或几个裂端弹塑性板（一个裂端或几个裂