方案设计型问题

1、(学P142)第35讲方案设计型问题第七章数学思想与开放探索问题第四篇综合与实践1内容特性方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题2问题类型(1)利用计算、比较的方案设计；(2)利用方程(组)的方案设计；(3)利用不等式的方案设计；(4)利用函数的方案设计；(5)利用图形的方案设计3解题策略建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型和几何模型等，依据所建立的数学模型求解，从而设计方案方程思想、函数思想和数形结合运用这些思想解决方程或不等式方案设计问

2、题，函数方案设计问题，几何方案设计问题类型一利用计算、比较的方案设计例1 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最

3、后得分【思路分析】本题关键是理解每种方案的计算方法：(1)方案1：平均数总分数10.方案2：平均数去掉一个最高分和一个最低分的总分数8.方案3：10个数据，中位数应是第5个和第6个数据的平均数方案4：求出评委给分中，出现次数最多的分数(2)考虑不受极值的影响，不能有两个得分等原因进行排除(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案【答案】(1)方案1最后得分： (3.27.07.83838.49.8)7.7； 方案2最后得分： (7.07.

4、83838.4)8； 方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4.【解后感悟】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较；学会选用适当的统计量分析问题101811小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：洗锅盛水需2分钟；洗菜需3分钟；准备面条及佐料需2分钟；用锅把水烧开需7分钟；用烧开的水煮面条和菜需3分钟以上各工序除外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( )A14分钟 B13分钟 C12分钟 D11分钟C类型二利用方程(组)的方案设计例2某乳制品厂现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元该工

5、厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶； (学P143页)方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成你认为哪种方案获利最多，为什么？【思路分析】由题意可知方案一可直接列算式计算；在方案二中，可设x天制奶粉，则(4x)天制酸奶首先根据4天内全部加工完成，可求出时间，从而进一步算出奶粉和酸奶的吨数，最后算出利润【答案】方案一获利：42000650011000(元) 方案二：设制奶

6、粉x天，则1x(4x)310， 解得x1天 故11200033120012800(元) 故选方案二【解后感悟】本题是一元一次方程的应用，注意仔细理解两种方案的内容，在求解方案二的获利时，要设出未知数，利用方程思想求解2广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售(1)求平均每次下调的百分率(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优

7、惠？【答案】(1)设平均每次下调的百分率x， 则6000(1x)24860. 解得：x10.1，x21.9(舍去) 平均每次下调的百分率为10%. (2)方案可优惠：4860100(10.98)9720元 方案可优惠：100808000元 方案更优惠类型三利用不等式的方案设计例3(2013黄冈)为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表： 甲种货车乙种货车载货量4530租金400300如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案【思路分析】根据题意设租用甲种货车x

8、辆，则租用乙种货车6x辆，利用某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案【答案】设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车6x辆，根据题意得出：45x30(6x)240，解得：x4，则租车方案为：甲4辆，乙2辆；甲5辆，乙1辆；甲6辆，乙0辆；租车的总费用分别为：440023002200(元)，540013002300(元)，64002400(元)2300(不合题意舍去)，故最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆【解后感悟】此题是一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键3(2014益阳)某电器超市销售每台

9、进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段 销售收入 A种型号 B种型号 第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本)销售数量(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由【答案】(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 得： 解得：答：A、B两种型号电风

10、扇的销售单价分别为250元、210元；(2)设采购A种型号电风扇a台，依题意得：200a170(30a)5400，得：a10.答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；(3)依题意有：(250200)a(210170)(30a)1400， 解得：a20，a10，在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标x250，y210，3x5y1800，4x10y3100，例4 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元

11、)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由类型四利用函数的方案设计【思路分析】(1)根据利润(单价进价)销售量，列出函数关系式即可； (2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； (3)分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较 【答案】(1)w(x20)(25010 x250) 10 x270

12、0 x10000 (2)w10 x2700 x1000010(x35)22250 所以，当x35时，w有最大值2250， 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；(3)方案A：由题可得20 x30，因为a100，对称轴为x35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以，当x30时，w取最大值为2000元，方案B：由题意得解得：45x49，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以，当x45时，w取最大值为1250元，因为2000元1250元，所以选择方案A.x45，25010（x25）10，【解后感悟】本题是二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先

13、要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x 时取得(学P144)ab24(2014台州)某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(x2)(单位：吨)之间的函数关系式如图，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：吨)之间的函数关系是s123t，平均销售价格为9万元/吨(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销

14、售量x之间的函数关系式；(2)第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润销售总收入经营总成本)求w关于x的函数关系式；若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投入132万元资金，请设计种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润【答案】(1)y (2)当2x8时，经营A类杨梅所获得的毛利润为x(x14)3x1xx210 x，经营B类杨梅所获得的毛利润为9(20 x)3(20 x)123(20 x)3x48，wx210 x(3x48)x27x48.当x8时，经营A类杨梅所获得的毛利润为6x3x1x

15、2x，经营B类杨梅所获得的毛利润为9(20 x)3(20 x)123(20 x)3x48，w2x(3x48)x48.x14 (2x8) 6(x8)综上所述，w关于x的函数关系式为w由x27x4830得x27x180，解得x12，x29，不符题意，舍去由x4830解得x18.用于直销的A类杨梅有18吨(3)设用m万元购买杨梅，则共购买杨梅 吨，其中A类杨梅x吨，B类杨梅 x吨，得mx123( x)132，m60 x， 20 x.x27x48（2x8）x48（x8）.3m3m3m3m31当2x8时，经营A类杨梅所获得的毛利润为x210 x，经营B类杨梅所获得的毛利润为6(20 xx )123(20

16、 xx)2x48，wx210 x(2x48)x28x48 (x4)264.当x4时，w最大64.此时m64， ，3131364=3m352=3xm综上所述，购买杨梅 吨，其中A类杨梅4吨，B类杨梅 吨，公司能获得最大毛利润，最大毛利润为64万元当x8时， 经营A类杨梅所获得的毛利润为2x，经营B类杨梅所获得的毛利润为 6(20 xx )123(20 xx)2x48，w2x(2x48)48.当x8时，w最大48.3131364352类型五利用图形的方案设计例5某校数学研究性学习小组准备做测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图经研究发现，原来制定的一系列测量方

17、案，在此都不需要如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程； (2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？【思路分析】针对该问题所提供的情境知道：(1)旗杆垂直于地面；(2)旗杆AB顶端A垂下一段绳子，即绳子比旗杆长出的部分可度量因此可联系相关的数学知识利用勾股定理探讨具体测量方案【答案】(1)测量方案设计如下：测量绳子比旗杆多出的部分BCam；把绳子ABC拉紧到地面D处如图1，测量B到D的距离BDbm.推算过程：设旗杆的高度为xm，则AD是(xa)m.在直角ABD中

18、，根据AB2BD2AD2得x2a2(xb)2，x2a2x2b22bx，解得x .(2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：bba222【解后感悟】关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出5(2014济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面

19、积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告名称四等分圆的面积 方案方案一方案二方案三选用的工具带刻度的三角板 画出示意图简述设计方案作O两条互相垂直的直径AB、CD，将O的面积分成相等的四份 指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】名称四等分圆的面积方案方案一方案二方案三选用的工具带刻度的三角板带刻度的三角板、量角器、圆规带刻度三角板、圆规画出示意图简述设计方案作O两条互相垂直的直径AB、CD，将O的面积分成相等的四份(1)以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大O上依次取三等分点A、B、C；(

20、3)连结OA、OB、OC，则小圆O与三等份圆环把O的面积四等分(1)作O的一条直径AB；(2)分别以OA、OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作O1、O2；则O1、O2和O中剩余的两部分把O的面积四等分指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形【探索研究题】【试题】(2013威海)要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x； (学P145页)(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)【分析与解】(1)根据小亮的方案表示

21、出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可根据小亮的设计方案列方程得：(52x)(48x)2300 解得：x2或x98(舍去) 小亮设计方案中甬道的宽度为2m；(2)求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可作AICD，HJEF，垂足分别为I，J，ABCD，160，ADI60， BCAD，四边形ADCB为平行四边形，BCAD由(1)得x2，BCHE2AD在RtADI中，AI2sin60 .小颖设计方案中四块绿地的总面积为5248522482( )22299平方米33【方法与对策】本题是一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的

22、应用的主要题型该题型是实际应用和图形变换相结合，是中考命题的方式之一【问题】(2012鸡西)为了迎接“五一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润售价进价)不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0a20)元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【分析】出错