机械优化设计讲义

1、机械优化设计讲义学院： 专业： 姓名： 学号： 第一讲 绪论一、机械优化设计的基本概念1、什么是优化设计在机械产品设计过程中，根据问题的性质和给定的条件，在分析的基础上，综合各方面的要求因素，从全部可行的方案中，寻找出最优方案的方法和过程。优化设计是利用高等数学中求极（最）值理论，以计算机为计算工具，用数值分析的方法，对机械产品设计问题求出最佳设计参数的工程方法。“优化设计”对应的是“经验设计”。2、优化设计的过程 A、分析设计任务的对象，提出设计思想 B、建立优化数学模型，包括选取设计变量，建立目标函数和约束方程 C、选择优化方法（自编程序或选择商品程序），上机计算 D、对计算结果进行分析

2、F、当结果不甚合理时，修改数学模型，返回B。 3、优化设计的局限 A、优化设计过程是人和机器合作完成的，“人”在其中起着巨大作用。 B、所谓“最优”是相对的，当设计思想、约束条件，甚至初始方案改变时，最优方案也要改变。 C、“最优方案”是否合理、可行，还是要用经验来判断。PPLD0D0二、一个优化设计实例某空心圆柱压杆，压力载荷为P，长度L，截面外径D0，内径D1。变换成中径D和壁厚T； D= (D0+D1)/2 T = (D0-D1)/2设材料已经选定，即材料的 弹性模量E, 许用应力【】，密度等已确定。设计要求：1、 强度要求：压 P/(DT) 【】2、 稳定要求：压 P/(DT) 欧拉应

3、力3、 结构要求： D K1 T K2 K1,K2为定值 T D/2杆的重量： W = DTL 整个问题可以归结为： 设计一个压杆，在满足上述5个条件的前提下，使W最小。 经验设计此问题，人工选取一对D和T，分别代入上述5个条件，都满足时即可。是否重量最轻，材料最省，不予考虑，也不得而知。用优化设计的语言表示上述问题：D,T（或者D0、D1）为设计变量，表示成： X （x1, x2）W为目标函数，是设计变量的函数，表示成： W = F(x1, x2) = F(X)5个条件叫做 约束方程，或者约束条件。表示为： gi(X) 0 i= 15一般情况下，优化设计问题表述为： Min F (X) =

4、目标函数 S.T gi (X) 0 i = 1,2 m 约束方程（条件） 其中： X = (x1,x2,xi,xn) 设计变量设计变量，目标函数和约束条件，是优化设计问题的三要素。三、设计变量设计变量是设计中的可变化参量（因素）。当有n个变量时，在欧氏空间里表示为：X = (x1,x2,xi,xn) XRn当设计变量取一组定值时，在数学上是n维空间的一个点，在工程上是一个设计方案（在经验设计中，若能满足要求，就可能成为真实的工程设计方案）：X(1)= (,) 是n维空间的一个点，工程设计的一个方案；X(2)= (,) n维空间的另一个点，工程设计的第二方案。 X(k)= (,) n维空间的第k

5、个点，工程设计的第k 个方案。每后一个方案都可以看成是前一个方案的改进。即：X(2) = X(1) +X X(k) = X(k-1) +X= X(k-1)+ 其中是按照某种规则构造的单位矢量，即搜索方向,是搜索步长。四、目标函数目标函数是设计者设定的用于评价设计方案优劣的参数，将它表示成设计变量的可计算函数。目标函数值越小，对应的工程方案就越优；目标函数值最小，对应的工程方案就最优。目标函数的表示要尽量简单易算，或者通过查表能够查出来。机械优化设计的过程就是求目标函数的最小值对应的设计方案的过程。当出现极大化时，加上负号就是最小。五、约束条件 约束条件可能很多，从数学上分类，有等式约束和不等式

6、约束，以不等式约束为多。有些约束可能与别的约束重复，叫多余约束，应该剔除。 等式约束是Rn内的超曲面，不等式约束是Rn内超曲面的某一侧的空间。由满足若干不等式约束构成的空间区域，叫可行域。等式约束的可行域是其超曲面上的某部分。可行域内的点叫内点，是可取方案的集合；可行域之外的点叫外点，为不可取方案。可行域边界上的点叫边界点。最优点经常在几个约束构成的边界上，这几个约束叫起作用约束。其余的叫不起作用约束。六、优化设计问题的完整数学模型 Min F(X) = XRn S.T gu(X)0 u = 1,2,p hv(X)= 0 v = 1,2,q最优解： ）， 最优值： F(X*) 第二讲 优化设计

7、的数学基础一、目标函数（多元函数）的偏导数与梯度设目标函数为F(X)， F(X)是n1维空间的超曲面；偏导数： ,；几何意义：目标函数沿各个坐标轴的变化率。梯度：梯度是一个矢量，是由各个偏导数为元素的矢量。表示为：F(X)，F(X) (,)将“”叫作梯度算子（仅是一种算法），（，）梯度的几何意义：目标函数在点的数值上升最快的方向；而F(X)为目标函数值下降最快的方向（注：此处上升和下降最快是局部最快，不是全局）。梯度的模：将梯度的每个元素都除以其模，构成的矢量是梯度方向的单位矢量。二、方向与方向导数在内表示一个方向用指向该方向的单位矢量，；为方向与坐标轴之间的夹角。其中：叫方向余弦。显然：方向

8、导数是目标函数沿方向的变化率，方向导数是一个标量（数量），引进矢量分析中的点积的概念，方向导数为梯度与方向的点积：方向导数的值不仅随所取点X变化，而且随在点X不同的方向而变化，当角时（与重合时）方向导数最大，且：所以说梯度方向是目标函数增加（上升）最快的方向。当时，角, (与垂直时)，即在目标函数的等值面（线）上。三、海赛矩阵 （Hessian）海赛矩阵是由目标函数的二阶偏导数组成的矩阵：如果将梯度理解成目标函数的一阶“导数”，则海赛矩阵就是目标函数的二阶“导数”。因此：，若：，则海赛矩阵是一个对称矩阵（阶）。主子式：从海赛矩阵的左上角开始，分别取其个，个，个个元素构成的行列式，叫海赛矩阵的主

9、子式。一阶主子式：；二阶主子式：；按照行列式的计算法则，可以计算海赛矩阵各阶主子式的值。若各阶主子式恒大于0，则称正定；各阶主子式负、正相间，则称负定；各阶主子式正、负不定，则称不定。四、目标函数的二阶泰勒展开一元函数在点泰勒展开式为：其中：泰勒展开可以理解为在函数的某点附近，用一简单的多项式去逼近（或者代替）复杂的函数。只要所取的多项式的次数足够大，就能使二者的误差足够小，条件是在附近连续且多阶可导。对于多元函数，也可以在点处展开成泰勒多项式。只要将一元函数泰勒展开中的换成，换成，一般二阶展开式（中间的“· ”为矢量或矩阵乘）：其中，为维矢量， 为二次型函数 。五、无约束目标函数极

10、值存在的条件先看一元函数的极值存在情况。在点取得极值：必要条件： 即是驻点。充分条件： 此条件可以推展到多元函数：在处取得极值：必要条件： 即：，（也叫驻点）充分条件：特别提醒 此处的“极值”与“优化”所需要的最大或最小值并不是一回事，“极值”是局部的，“最值”是全局的； 此判定仅具有理论意义，复杂的目标函数海赛矩阵及其正负定判断极其困难。第三讲 约束优化极值条件寻优过程的基本思路 一维寻优方法一、约束优化问题的极值条件g31起作用约束:设最优点X*，约束函数集为：，X*使约束函数变成等式的约束叫起作用约束。几何意义：X*在中某几个的边界上。如右图所示，其中：X0是无约束极值点；X*是约束极值

11、点；是起作用约束；不起作用约束。2库恩塔克定律（KT条件）如果最优点X*在可行域内（所有约束均为不起作用约束），则约束最优点与无约束最优点重合；如果最优点在可行域的边界上，有起作用约束，最优点与目标函数和起作用约束都有关。A. 只有一个起作用约束的情况目标函数的负梯度方向与约束函数的梯度方向重合，即：，几何意义：约束函数与目标函数的某等值线（面）相切。B两个起作用约束条件目标函数的负梯度是各起作用约束的梯度的线性组合（加权合成）。几何意义：“夹”在各之间。Ci个起作用约束几何意义；同上。DKT条件的应用KT条件的意义不是求最优值，而是用来检验最优值。检验方法如下：设是的可能最优值 1求出；2求

12、出起作用约束集，将代入 中，有i个约束函数值的为起作用约束（至少有一个）；3求出，4检查：若 ，其中，至少有一个0，则是最优点，否则不是。（具体检查方法是解方程组，求出i的具体值。）二、寻优过程的基本思路数值解法，逐步逼近若是可行域内的一个点，在点构造能使下降的方向 ，用一维搜索法找到在方向上最小的驻点,有，在点重复上述步骤，经过若干次迭代，即可得到最优解。有人把这种方法叫做瞎子爬山法。涉及四个问题：1必须找出的可行域及可行域内至少一个初始点；2如何构建能使下降的方向：构建的不同方法，就形成了不同的寻优方法。如最速下降法（用作方向），坐标变换法（用各坐标轴方向作S）,牛顿法（改进的梯度法）3如

13、何确定寻优步长：已知和后，就点代入目标函数，则变成的一元函数，可用解析法求能使在此方向的极值点。实际上都是数值法（如0.618法）求；4如何结束寻优过程？一般有三个条件：ABC工程中一般只用前两个，第三个由于要求梯度而不常用。若设计变量只有两个，即，（或者不大于三个），可以用网络法（或大海捞针法）求出最小值；如转向梯形的问题可以在其可行域的上、下、左、右边界上划分网格，分别计算并比较值。三、一维搜索法设已知和后，构建新点代入目标函数 ，是步长的一元函数，即，求出使最小的步长的过程叫一维搜索法。1、一维搜索之前先要确定搜索区间，即找出一个包含，使最小的区间。方法是进退法。从开始，选定一个前进单位

14、h,分别计算 个点的目标函数值F1,F2,F2,FL,FL+1，直到出现目标函数值“高低高”的三个点，如上图： ，故搜索区间取为：（）为搜索区间。2黄金分割法（0.618法）黄金分割法是每次通过计算目标函数值，通过比较，舍弃一部分区间，区间小到一定程度时，即为具体方法：在已知的搜索区间()内，另找两点 ，其中：求出 ，比较 与 的大小，谁大舍弃谁外侧的区间。i若 ,舍弃区间ii若,舍弃区间iii若 ，舍弃两边区间。舍弃一个区间后，补充一个点，重复上述步骤，直到 为止，从其中任取一点即可作为最优点。第四讲 习题课一、 建立优化设计的数学模型二、 求目标函数的梯度及给定方向的方向导数三、 求目标函

15、数的海赛矩阵及其逆四、 求目标函数在给定点的泰勒展开式五、 用K-T条件验证某点为约束最值点六、 用黄金分割法一维搜索求极值第五讲 无约束问题的优化方法（一）最速下降法 牛顿法 改进牛顿法无约束优化问题：in F(X) ， X设F(X)至少二阶可导，即存在：一、梯度法最速下降法基本思路：每次以点的负梯度方向为搜索方向，即：，或，。因为负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向，所以此法又叫最速下降法。这里“最速”只是在点这一局部最速，在整体上并不一定最速。实践中表明，此法在寻优初期效果不错，往后越来越慢。此外，需要反复求梯度，实际的工程问题常不能满足。所以用得不广泛。但其基本思想正确，对寻求其它方

16、法有启发作用。梯度法寻优的步骤框图见陈立周第二版69页。例：Min 解：第一轮： 取, 代入F(X)，得： 求步长可以用黄金分割法。但此处为2次函数，可以直接写出来： （至此，应该检验X（1）是否为最优值。由于它显然不是，省略。）第二轮：代入F(X)，得：（至此，也应该检验X（2）是否为最优值。由于它显然不是，检验省略。）如此继续下去，经若干步以后，可得最优点.二、牛顿法牛顿法是为了改善梯度法收敛越来越慢的缺点而改善搜索方法。其基本思路是用F(X)在处的泰勒展开式代替F(X)，用的极值去逼近F(X)的极值，取=，开始下一轮寻优。F(X)在X(k)点的泰勒展开式为：F(X)= 此二次函数取得极值

17、的必要条件是展开函数的梯度等于0（驻点）：即：解此方程，得：其中：是海赛矩阵的逆矩阵。取： = 作为下一轮寻优的起点。（注意：这里是减号！）将上式与寻优迭代的一般形式 相比，牛顿法的本质，是以负梯度方向为搜索方向、以海赛矩阵的逆为步长的搜索方法。优点：不需要一维搜索，对真正的二次函数一步到达最优点。缺点：要求海赛矩阵及其逆。例： Min 解：仍取为初始点，因F(X)是二次函数，其泰勒展开式与F(X)完全相同，只需求其和H(X), 就行了.如前： 这就是最优值，因是二次函数，所以一步到达。是的行列式。是的伴随矩阵。伴随矩阵的各元素是原矩阵中各对应元素乘以其代数余子式，再经转置而来。代数余子式是去

18、掉该元素所在行和列，剩下的元素组成的行列式，其符号是，转置是。三、改进牛顿法上述牛顿法可以认为是搜索方向为且的迭代。当遇到F(X)非线性严重时，不一定收敛。此外牛顿法对初始点的要求较严，因此有人对牛顿法作了修正。取作搜索方向。但不假定为1，而是由一维搜索决定，即：这种方法叫改进牛顿法，或者修正牛顿法。它保持了牛顿法收敛快的特点，对起始点放宽了要求。对目标函数二阶可导，海赛矩阵可逆的寻优问题非常有效。但这样的优化问题在工程中极少出现。但其思想具有重要的理论意义。后人在此基础上发明了变尺度法（也叫DFP法）。变尺度法的基本思路是构造一个代替改进牛顿法中的。取单位矩阵。的构造虽不需要求及其逆了，但构

19、造方法仍很繁，见陈立周的第二版77页，本课忽略。第六讲 无约束问题的优化方法（二）坐标轮换法，共轭方向法x1x2X（0）一、坐标轮换法的基本思路将1个多维的无约束优化问题转变成一系列一维优化问题来求解。基本做法：在n个变量中，保持其中n-1个变量不变，选择变量x1作为搜索方向。一维搜索得到最优点，再沿x2方向一维搜索，得到最优点，再沿xn方向搜索，得到最优点。至此即完成了第一轮的搜索。如果未达到最优条件，将前一轮的终点作为新的起点，再进行第二轮沿各个变量的一维搜索，分别得到，。如此继续下去，直到最优。坐标轮换法增加了“轮”的概念，每一轮里包含n次一维搜索，每次的搜索方向是： i=1,2,，n

20、每次搜索后得到新点： i=1,2,，n 其余方法均与前述方法相同。二、共轭方向的概念共轭是正交概念推广。设, 是内的两方向（矢量）若,则, 是垂直的，即正交的。在三维空间内正交与垂直是相同的。此式也可写成 。 I：单位矩阵当时，若。则称, 在n维空间内正交。但这样正交的方向不止两个，若存在一组方向：，若 ，. .即：，则这组方向都是正交的。n维空间内的一组正交方向有而且只有n个。共轭方向的意义：设矩阵A是阶对称正定矩阵，另有一组n个方向，若存在，则称方向组是关于矩阵A共轭的。这是矩阵A的“对称”，“正定”两个条件是必不可少的。在2维空间内，A为对称正定矩阵，关于A的共轭方向（矢量）每组含两个。

21、例：设, 方向，关于A共轭： 此外：关于A也是共轭的；可见：关于一个对称正定矩阵，存在不止一组（实际有无数组）共轭方向（矢量）。如何理解共轭方向的几何意义？是对做线性变换。因此共轭可以理解为：经过线性变换后与正交，则二者关于线性变换矩阵共轭。三共轭梯度法共轭梯度法是为了解决最速下降法（梯度法）在接近极值点时收敛太慢而提出的。因为目标函数在接近极值点附近，变化很平坦，太小，所以进步也很缓慢。但在接近极值附近时，目标函数在极值点的泰勒展开是的很好近似，而对的最佳搜索的方向是牛顿方向：用此方向搜索的极值可以一步到达极点。但求目标函数的逆也不是很容易的事情。能否用较为简单的办法求出此，或者构造一个与及

22、其接近的方向来，能达到求泰勒展开函数的极值一步到位的效果。 可以证明，用本次寻优的负梯度方向与上次寻优方向的线性组合而构成的与牛顿方向非常接近。即： 或者： 其中系数： 此即共轭梯度法的寻优方向的构造方法。用共轭梯度法寻优时，取第一次的搜索方向为：第二次以及以后，用上述公式构造。例：Min ，（见陈立国教材第二版72页，刘维信教材第一版84页。注：陈立国教材33页倒数第6行多一个“”号，倒数第5行的根号和平方可以约去。也可以用0.618法求出来。）由例可见，共轭梯度法每次都要用梯度方向和梯度的模来构造新方向。四共轭方向法以二维目标函数寻优，来说明共轭方向法的思路。设从出发，首先沿坐标轴搜索，（

23、即搜索方向为,上标表示第一轮，下标表示第一个坐标轴方向）。得优点；在点沿第二坐标轴搜索（即取）,得到优点。至此完成了第一轮的坐标轮换法的搜索。然后构造出一个新的搜索方向：，沿此方向做第2+1=3次的搜索，得到新优点作为第二轮寻优的起点。这第2+1次的搜索是为下一轮（第二轮）的搜索打基础的，即提供起点的。第二轮的搜索方向是第一轮的搜索方向丢弃第一个，但取用第一轮的第2个和第3个方向，即取，和。从出发沿搜索得到点，从出发沿搜索得点。然后再构造一个新方向，即第二轮搜索的首尾点相连方向作为第二轮的第2+1次搜索，即可得到一个新点，作为第三轮搜索的起点。由此可以看到，共轭方向法搜索时，存在“轮”的概念，

24、每轮包含2+1次一维搜索，下轮的2+1次搜索方向是上轮的后n个方向，再加一个本轮首尾点相连方向。第一轮搜索的方向：第二轮搜索的方向：第三轮搜索的方向：注意：这里的共轭方向只有是共轭的。n维寻优问题方法与工作的相同，不再赘述。 例题： Min 略。第七讲 无约束问题优化方法(三)Powell 法 DFP变尺度法一、 Powell 法（改进的共轭方向法）1、共轭方向法的缺陷第k轮的共轭方向：，其中，。第k+1轮去掉第一个方向，剩下的n个方向可能线性相关，引起实际上少了一维，导致收敛不到真正的最优点上。2、Powell 法提出的改进在完成一轮的寻优后，不一定去掉，而是有选择的去掉一个，确保剩下的n个

25、方向线性无关。判定条件如下：第k轮寻优的方向：，其中，；第k轮寻优得到的点： ；计算3个点的目标函数：。其中，点叫做反射点；若存在：，且：其中， （即相邻寻优中目标函数下降最大的一个）则，第k+1轮寻优去掉对应的方向 。保留：为第k+1轮的搜索方向。3、Powell 法的寻优步骤与共轭方向法基本相同，只增加了在每一轮（或每一次）寻优搜索后计算目标函数值，以及与上次目标函数的差，并在一轮的目标函数中找出下降最大的第m次及对应的方向S，并舍弃。例题：用Powell法求函数的最优点。计算精度要求。解：取初始点。时，第一轮迭代的搜索方向取两个坐标的单位向量，从出发，先从方向进行一维最优搜索，由第三讲所

26、学知识可得，由此得最优点：同理，沿方向进行一维搜索可得，从而得最优点：计算第个方向计算方向上的反射点：计算相邻二点函数值的下降量：检验判别条件成立，故应以方向代替，并求方向上的极小点。同上，可求得至此，完成第一轮的第次搜索。时，二、 DFP变尺度法1、变尺度法的基本思路DFP变尺度法又叫改进的牛顿法或改进的拟牛顿法。牛顿法和拟牛顿法的搜索方向：，即要求Hessian矩阵及其逆，又要求梯度，很繁。DFP变尺度法是设法构造一个对称正定矩阵来代替，并在迭代过程中逐渐逼近，使搜索在接近极值点附近时收敛速度加速。2、近似矩阵的构造方法其中，。注：这里的不是海塞矩阵，而是构造的矩阵。详细推导过程参考陈立周

27、主编的机械优化设计方法第二版76-77页。3、变尺度法的步骤(1)选取初始点，确定计算精度要求。(2)令计算和拟牛顿方向(3)进行一维搜索求使，得(4)检验精度，计算,若，则停止，其最小点为。若否，则进行下一步。(5)检查迭代次数，若，则重置，从负梯度方向开始，并取。否则进行下一步。(6)构造新的拟牛顿方向而 令，转向(3)。4、变尺度法的优缺点(1) DFP变尺度法不需要求海塞矩阵及其逆阵，但需利用一阶导数信息。由于DFP法开始时是梯度法，所以从任一初始点通过梯度方向找到一个比较好的迭代点，这位以后的逐次迭代创造了有利的条件。(2) DFP法的收敛速度介于梯度法和牛顿法之间。大量计算实践证明

28、，DFP方法是目前无约束优化方法中一种比较有效的算法。(3) 计算实践表明，一维搜索的精度对收敛速度影响不大。但如果精度太低，也有可能会使计算失效，因此对一维搜索的精度要求一般不低于终止计算的精度。第八讲 习题课（二）一已知目标函数： 用最速下降法优化第一轮，用牛顿法优化第二轮，用改进牛顿法求出最优值。二已知目标函数： 用坐标轮换法优化第一轮；构造出一组共轭方向，优化第二轮，再用Powell法优化第三轮。三已知目标函数： 用共轭梯度法和DFP变尺度法各优化一轮。第九讲 约束优化问题的直接解法约束优化问题分为直接解法和间接解法两类。直接解法是首先在Rn空间内找到满足不等式约束的可行域，每次搜索都

29、在可行域内进行，直到找到最优解和最优值。间接式解法是将约束优化问题转变成一系列的无约束优化问题来解。直接解法主要有随机方向搜索法、复合形法、可行方向法、梯度投影法等；间接解法主要有拉格朗日乘子法和惩罚函数法。本课只讲复合形法和拉格朗日乘子法，以及惩罚函数法。一、 约束优化问题的直接解法对约束问题： Min S. T n此模型虽为n维约束问题中，但含有q个等式约束。如果这些等式约束都是线性无关的，将它们带入到目标函数，则该问题的实际维数是n-q。既消除了等式约束，又降低了优化维数。因此约束优化问题一般只研究不等式约束即可。直接解法的每一步求解过程都是在可行域内进行，其基本思路与无约束优化基本相同

30、。所不同的有如下几个关键问题：A. 首先要找到（或者建立）可行域D，对于维数较高时，较为困难；B. 所选的初始点及每次的寻优点必须在可行域内（每次都要验证）。C. 每次构造的搜索方向必须是可行方向（即沿此方向搜索，目标函数值一定下降的方向），且要验证。D. 一维搜索得到的步长也必须是可行步长（没有超出可行域），才能保证搜索到的新点 也在可行域内。E. 如果可行域D不是凸集，寻优的结果可能与起始点的选择有关。因此要选择不同的起始点多优化几次。二、 复合形法 复合形，就是在n维空间内由m个顶点构成的不规则多面体，其中，其本质是在可行域D内的一个子域。2.1 复合形法的基本思路复合形法也与其他方法一

31、样，关键是确定搜索方向和搜索步长。其搜索方向是根据复合形的各个顶点的目标函数值的大小关系、利用统计规律（函数值下降的概率大）来确定的。搜索步长也是经验选取的，不一定使用一维搜索。以2维问题为例：建立可行域后，在其内找3点（或者4点），建立一个三角形（或者四边形），即复合形。分别求出各顶点的目标函数值，按照函数值大小分出最坏点X(H)（函数值最大点）、次坏点X(C)（函数值次大点），和最好点X(L)（函数值最小点）。然后求出除最坏点外其余各点的几何中心X(S)，取最坏点X(H)与几何中心X(S)的连线X(S- X(H)为搜索方向S（k），沿S（k）搜索得到一个更好的点X(R)（叫映射点），用X(

32、R)代替X(H)组成新的复合形，进行下一轮寻优。显然，X(R)必须满足如下两个条件：1. F(X(R)F( X(H)，2. X(R)也在可行域内。如此循环，直至找到最优点X(*)。2.2 复合形法直接寻优的步骤（1）分析约束方程，建立可行域；（2）在可行域内选择m个顶点（），组成复合形；（3）计算各个顶点的目标函数值，按照大小排队，选出最坏点X(H)、次坏点X(C)、和最好点X(L)；（4）计算除最坏点外的m-1 个顶点的几何中心点X(S)，并验证其是否在可行域内， ； 但（5）若X(S)在可行域内，构建搜索方向 S（k）= X(S- X(H)，求映射点： 。可以用一维搜索求出，也可以用经验给

33、出。例如取，若越出可行域，将其减半；还不行，继续减半，直至映射点X(R)在可行域内为止。若几何中心点X(S)不在可行域内，说明可行域为非凸集，返回（2），重新组建复合形；（6）计算映射点的目标函数值F(X(R)，并与最坏值F( X(H) 比较。若F(X(R)F( X(H)，用映射点代替最坏点，组成新的复合形，完成一次迭代。若F(X(R)F( X(H)，将减半后再计算映射点X(R)及其对应的目标函数值F(X(R)，若既满足X(R)为可行点（在可行域），又满足F(X(R)F( X(H)，用映射点代替最坏点，组成新的复合形，完成一次迭代。否则，继续将再减半，。（7）每完成一次迭代，要检验终止条件。反

34、复迭代若干次后，复合形越来越小，逐渐向最优点逼近。检验方法是：所有顶点的目标函数值与各顶点几何中心点的目标函数值的差平方和小于设定值即结束，即复合形的“体积”小于设定值。 其中：F(X(j) 是复合形各顶点的目标函数值，F(X(c)是顶点的几何中心目标函数值。由上面的步骤可以看出，复合形法最突出的优点是不需要求导，仅仅计算映射点及其目标函数值即可。只要反复迭代，复合形就会逐渐“收缩”到最优点，其缺点是：当可行域为非凸集时，会出现映射点越出可行域，或者映射点的目标函数值大于最坏点。遇到这两种情况，几乎前功尽弃，都要重新组成新的复合形，从头再来。例题：用复合形法求解汽车转向梯形的优化设计方案。解法

35、：刘惟信 机械最优化设计 第一版 P123； 陈立周 机械优化设计方法 第二版 P95第十讲 约束最优化问题的间接解法(1)一、约束优化的基本方法约束优化分为间接解法和直接解法两种基本方法。直接解法的基本思路是：通过对个不等式约束进行分析，找出其可行域D。在可行域内找一起始点和可行方向，采用无约束方法进行寻优。其基本方法有随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。间接解法的基本思路是：将一个有约束的问题直接转化成一个或一系列无约束问题来求解。即构造一个新的目标函数，该新目标函数包含原目标函数和全部的不等式及等式约束，从而消除了约束。对新目标函数寻优，即可得到原目标函数。常用的方法有：拉格朗日乘子

36、法、惩罚函数法（包括内点惩罚函数法和外点惩罚函数法）。直接解法只适用于不等式约束问题，间接解法适用于等式和不等式约束问题。二、拉格朗日乘子法(间接解法之一)1、只有等式约束的优化问题的拉格朗日乘子法约束优化： Min s.t: , 构造一个拉格朗日函数作为新目标函数，包含目标函数和约束函数：Min 式中：，叫拉格朗日乘子。拉格朗日函数中包含n个设计变量xi和q个待定系数i，共（n+q）个未知变量。它存在极值的条件为：解此方程，可得： ， ，其中极为原目标函数在约束条件下的最优解。*的各项值可为正，亦可为负。为便于在计算机上直接寻优，拉格朗日函数常常改变为：Min 求函数Z的极小值，也就是原等式

37、约束的目标函数的最优解。2、只有不等式约束的优化问题的拉格朗日乘子法 约束优化： Min s.t: , 构造一个拉格朗日函数作为新目标函数：Min 意义同上，叫松弛变量。引入松弛变量是为了让各个非负项与总小于0的约束项相加后变成等式约束。上式存在极值点的条件是：解上述联立方程式，得到X*极为原不等式约束问题的最优解。同样，由于解多个偏导数组成的方程组比较麻烦，在使用计算机寻优时，常将拉格朗日函数变换为：求Z的无约束最优值，即为原目标函数的最优值。3、既有等式又有不等式约束的拉格朗日乘子法 约束优化： Min s.t: , , 构造拉格朗日函数： Min 此拉格朗日函数取得极值的条件依然是其对三

38、组变量的偏导数为零：解此方程（共个未知数），得到X*即为原约束问题的最优解。同样可以将解联立方程转变为对下式求无约束优化问题： 求出Z的无约束最优值，即为原目标函数的最优值。例题：第11讲 约束优化问题的间接解法 （2）三、内点惩罚函数法间接解法之二 约束优化： Min s.t: , , 构造新目标函数：其中：r1，r2：加权因子，又叫惩罚因子；：由不等式约束构成的复合函数，也叫惩罚函数；：由等式约束构成的复合函数，也叫惩罚函数。对寻优，即可得到的最优解。构造新目标函数，涉及两个问题：A：加权因子（惩罚因子）如何取？B：由约束方程（条件）怎样构成复合函数？先看一个实例：Min s.t ：该问题很简单（见右