矢量场的环量及旋度分析

1、一、场的概念：一、场的概念：具有某种物理性质的物理量在空间的分布；具有某种物理性质的物理量在空间的分布； 在数学上用函数表示在数学上用函数表示. . 二、场的分类：二、场的分类：2.1 场场,数(标）量场如温度场 电位场 高度场等矢量场如力场、速度场等即：场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.三三. . 数数( (标标) )量场量场1 1、定义、定义 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量函数标量函数, ,其值随空间坐标其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。的变化而变化，有时还可随时间变化。)()( ),(222z2y1x45zyx 举例：

2、举例：为标量场2、标量场的- -等值线(面). .constzyxh),( 其方程为等值线四、矢量场 1 1、定义：、定义： 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量函数矢量函数, ,其大小和方其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场区域存在一矢量场。如速度场, ,电场、磁场等电场、磁场等. .zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA举例：举例：为矢量场2 2、矢量场的、矢量场的矢量线：特点：曲线上每一点处，曲矢量线：特点：曲线上每一点处，曲线都和对应于该点的矢量线都和对应于该点的矢

3、量 A A 相切相切矢量线dzAdyAdxAzyx三维场在直角坐标下:二维场dyAdxAyx3 3、矢量线方程、矢量线方程第二节第二节 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、矢量线（力线）一、矢量线（力线） 矢量场的通量 二、矢量场的通量二、矢量场的通量v矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线的疏密表征矢量场的大小；v矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向； 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ( )srd AS( )SrdAS 若矢量场若矢量场 分布于空间中，在空间中存分布于空间中，在空间中存在任意曲面在任意曲面S S，则定义：，则定义：( )A r为为矢量矢

4、量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的矢量通量的代数和。的矢量通量的代数和。 讨论讨论1 1）面元）面元 定义；定义；dS( ) cos ( )sA rr ds 2 2）穿过闭合面的通量）穿过闭合面的通量 3) 通过闭合面通过闭合面S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a) 若若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；0 b) 若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；0 c) 若若 ，闭合面无源。，闭合面无源。0 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无

5、源)1、散度的定义、散度的定义2、散度的物理意义、散度的物理意义 1) 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为： ( )A rV( )A r0()div()limsvrdrvASA 2) 2) 矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量； 3) 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；三、矢量场的散度三、矢量场的散度通量反映的是大面积上的积分

6、量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在，即：( ( 无源无源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 负负源源) )( )0divF r 4) 4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中， 1 1）若）若 ，则该矢量场称为有源场，则该矢量场称为有源场， 为源密度为源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无

7、源场。某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中的通量源的通量源-通量源密度。通量源密度。1) 在直角坐标系下：在直角坐标系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 式中：式中：()xyzeeexyz 哈密顿算符哈密顿算符3、散度的计算、散度的计算2) 在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：1()rzeeerrz ()11( )rzFrFFF rrrrz3) 在球面坐标系下：在球面坐标系下：11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF rr F

8、Frrrr一些常用的运算恒等式BABA)(ACAC)(AAA)(四、散度定理（矢量场的高斯定理）四、散度定理（矢量场的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场 与边界与边界S S上的场上的场 之间的关系。之间的关系。( )F r( )F r高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。 从散度定义，可以得到：从散度定义，可以得到：( )( )limlimsVVF rdSdF rVVdV则在一定

9、体积则在一定体积V内的总的通量为：内的总的通量为：( )VF r dV 式中：式中：S为包围为包围V的闭合面的闭合面式中：式中：S为包围为包围体积体积V的闭合面的闭合面得证！得证！( )sF rdS 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量F F 散度定理的证明散度定理的证明例题一：例题一：( 例例1.2.3 书书 pp.6) 已知空间中矢量场分布满足已知空间中矢量场分布满足 ，求，求矢量场在空间中的散度源分布。矢量场在空间中的散度源分布。 ( )A rr分析：分析： 该矢量场的场量等于其空间位置矢量值该矢量场的场量等于其空间位置矢量值 。在

10、空间任。在空间任意位置，意位置， 是变量。是变量。rr在直角坐标系下：在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：在球面坐标系下：xyzrxeyezerzrezerrre例题二：例题二： 已知：已知： ，()()()xyzRe xxeyye zzRR求：矢量求：矢量3RDR在在R R 0 0处的散度。处的散度。1）矢量场的通量）矢量场的通量通量的定义封闭曲面通量的意义2）散度的定义）散度的定义3）散度的计算）散度的计算4）高斯定理）高斯定理思考题思考题1、通量和散度的意义各是什么？2、高斯定理的意义是什么？其积分面的方向是如何规定的？3、如果矢量场对于某区域封闭面S的通量为

11、零，那么矢量场在该区域中的散度处处为零吗？为什么？ 小结小结第三节第三节 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度一、矢量的环流一、矢量的环流SSn 环流的计算ALP环流的定义：环流的定义：在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合路空间中，取一有向闭合路径径L L，则称，则称 沿沿L L积分的结果称为矢量积分的结果称为矢量 沿沿L L的环流。即：的环流。即：( )A r( )A r( )A r( )lA rdl讨论：讨论：1 1）线元矢量）线元矢量 的定义；的定义；dl3 3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。反之

12、，则矢量场存在涡漩运动。( )( ) cos( )llA rdlA rr dl2)2)反映矢量场漩涡源分反映矢量场漩涡源分布情况。布情况。矢量场除了有散度源外，还有另一种源旋度源。 环量; 该环量表示绕线旋转趋势的大小；矢量场的涡旋是由某种“力”（涡旋源）引起的。二、矢量的旋度二、矢量的旋度1. 1. 环流面密度环流面密度在场矢量在场矢量 空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M M取一面元取一面元S S，其，其边界曲线为边界曲线为C C，面元法线方向为，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小，当面元面积无限缩小时，可定义时，可定义 在点在点M M处沿处沿 方向的环量面密度方向的环量面密度(

13、)A r nnrot A n( )A r0limcnsA dlrot As 表示矢量场表示矢量场 在点在点M M处沿处沿 方向的漩涡源密度；方向的漩涡源密度；nrot A( )A r nSSnACM法线方向与曲线绕向成右手螺旋法则取不同的路径，其环量密度不同。环量密度讨论环量密度是面上的函数，表示环量在面上的分布。环量密度是面上的函数，表示环量在面上的分布。环量密度的面积分就等于面边界闭合回路的环量。环量密度的面积分就等于面边界闭合回路的环量。某面上各点的环量密度与该面的取向有关。某面上各点的环量密度与该面的取向有关。不同的方向，环量密度不同。不同的方向，环量密度不同。一定存在一个方向，其环量

14、密度比其它方向的大。一定存在一个方向，其环量密度比其它方向的大。2. 矢量场的矢量场的旋度旋度 旋度是一个矢量，旋度是一个矢量， 模值等于环量密度的最大值；模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。方向为最大环量密度的方向。 用用 表示，即：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：式中： 表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向； n1 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。

15、而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。2 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的分布情况。分布情况。3. 旋度的物理意义旋度的物理意义4. 旋度的计算旋度的计算在直角坐标系下：在直角坐标系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxxxeeexyzFFF由旋度的定义可以得到

16、矢量场的旋度与该矢量场的关系为：由旋度的定义可以得到矢量场的旋度与该矢量场的关系为：zyxAAAzyxzyxARot)(AzyxAAAzyxzyxAAAzAAAzz1ArrAArrrrrrsinsinsin12可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场在空间的某种变化情况。在空间的某种变化情况。由求旋度的公式可见，旋度运算是求导运算的组合，因此，其运算规则与微分运算规则相似，例如 ()ABAB ()CACA ()AAA三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定义由旋度的定义 对于有限大

17、面积对于有限大面积s，可将其按如图方可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有式进行分割，对每一小面积元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd AScdlA()SlddAlAS斯托克斯定理的证明：斯托克斯定理的证明：得证！得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。斯托克斯定理给出了闭合线积分与斯托克斯定理给出了闭合线积分与面积分的关系，反映了曲面边界上面积分的关系，反映了曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系的矢量场与曲面中旋度源的关系 四、矢量场旋

18、度的重要性质四、矢量场旋度的重要性质()0A 证：AxAyAzyAzAxzAxAyzyxzyx()()() AxAyAzyAzAxzAxAyzyxzyx()()() 222222x yAy xAz xAx zAy zAz yAzzyyxx=0 小结小结1）矢量场的环量）矢量场的环量2）环量密度）环量密度3）旋度的定义）旋度的定义4）旋度的计算）旋度的计算5）斯托克斯定理）斯托克斯定理思考题思考题1、矢量场的环量、环量密度及旋度各表示什么意义？2、环量与环量密度以及环量密度与旋度之间各有什么关系？3、斯托克斯定理中如果闭合线积分给定，那么积分面是唯一的吗？为什么？4、矢量场旋度的方向和使场涡旋的

19、方向有什么关系？第四节第四节 标量场的梯度标量场的梯度一一. . 等值面（线）等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconstuPNleMuu ne二二. . 标量场的梯度标量场的梯度1 1、梯度的定义、梯度的定义max( ,)ldugradu x y zuedl 式中：式中： 为垂直于等值面（线）的方向。为垂直于等值面（线）的方向。le2 2、梯度的物理意义、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是

20、坐标位置的函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场变化最快的方向，其幅度表示标量场的最大变化率。变化最快的方向，其幅度表示标量场的最大变化率。3 3、梯度的运算、梯度的运算1 1）在直角坐标系中：）在直角坐标系中：xyzuuuueeexyz 2 2）在柱面坐标系中：）在柱面坐标系中：1rzuuuueeerrz 3 3）在球面坐标系中：）在球面坐标系中：11sinruuuueeerrr 一些常用的梯度运算恒等式)( )()(1)()()(0FFCCC为标量函数三三. . 梯度的重要性

21、质梯度的重要性质0 标量场梯度的旋度恒等于零。标量场梯度的旋度恒等于零。证： xyzxyzxyz()()()xy zz yyz xx zzx yy x 222222=0 例题：例题： 若若 ， 证明：证明：RrrRR11()()RR 说明：说明：xyzeeexyz xyzeeexyz 在处理相对坐标的函数的梯度运算时，算子 与算子 可以互换，但改变其前的正负号。1）多元函数（标量场）的偏导数）多元函数（标量场）的偏导数2）方向导数）方向导数3）标量场梯度的定义）标量场梯度的定义4）梯度的计算）梯度的计算小结小结第五节第五节 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理一一. . 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区

22、域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界边界条件条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。亥姆霍兹定理的内容。已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A唯一地确定）唯一地确定）亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。散度源散度源，是标量，产生的矢量

23、场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；旋度源旋度源，是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。矢量场的源矢量场的源根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1) 1) 调和场（在要讨论的场区，既无旋又无散）调和场（在要讨论的场区，既无旋又无散） 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有： 和和 则在该区域则在该区域V V

24、内，场内，场 为调和场。为调和场。 0F0F( )F r( )F r注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。二二. . 矢量场的分类矢量场的分类源在要讨论的区域之外00FF F0)(02 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为有源无旋场。为有源无旋场。 0F0F( )F r( )F r2)2)有源无旋场为有源无旋场为保守场保守场，其重要性质为：，其重要性质为： ( )0cF rdl 1) 1) 为矢量场通量源密度；为矢量场通量源密度； 保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。 讨论：讨论：2) 2) 有源无旋场有源无旋场因为0因此这种场可以用标量场的梯度标量场的梯度表示F例：静电场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处