工程力学 静力学与材料力学高等教育出版社PPT 压杆稳定

1、材料力学材料力学15-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念l 稳定性问题的例子稳定性问题的例子平衡形式突然改变平衡形式突然改变丧失稳定性丧失稳定性失稳失稳材料力学l 构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。u 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北克大桥，因米的魁北克大桥，因 压杆失稳，导致整座大桥倒塌。压杆失稳，导致整座大桥倒塌。u 脚手架倒塌脚手架倒塌材料力学l 平衡的稳定性平衡的稳定性u 稳定平衡稳定平衡u 不稳定平衡不稳定平衡u 随遇平衡随遇平衡l 理想压杆：材料均质、各向同性理想压杆：材料均质、各向同性, 压

2、力绝对沿轴线压力绝对沿轴线材料力学n 压杆的平衡稳定性压杆的平衡稳定性u 当当 F Fcr时，时， 压杆的直线平衡状态是压杆的直线平衡状态是稳定稳定的。的。 u 当当 F Fcr时，时， 直线平衡状态转变为直线平衡状态转变为不稳定不稳定的，的， 受干扰后成为受干扰后成为微弯平衡微弯平衡状态。状态。当当 F Fcr 当当 F Fcr 材料力学l 临界载荷临界载荷 Fcr使直线平衡状态是使直线平衡状态是稳定稳定平衡状态的最大压力，平衡状态的最大压力，也是保持也是保持微弯平衡微弯平衡状态的最小压力。状态的最小压力。当当 F Fcr 当当 F Fcr 材料力学一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支

3、细长压杆的临界载荷FwxM)( 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界载荷。FwxMwEI )(0 wEIFwxwFFL15-2 临界载荷的欧拉公式临界载荷的欧拉公式EI Fk2:令02 wkwxwFFMw材料力学kxBkxAwcossin0)()0(Lww0B EIFLnk nkL （n=0、1、2、3）222LEInF0)0(w0)(Lw0sin ,0sinAkLkL材料力学EIFLnk 临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。2min2cr LEIF222LEInF材料力学二、其它支承下细长压杆的

4、临界载荷二、其它支承下细长压杆的临界载荷2min2)( lEIFcr（长度因数，l实际长度，l相当长度）临界载荷的欧拉公式公式的应用条件：1、理想压杆； 2、线弹性范围内；两端约束不同的情况，分析方法与两端铰支的相同其它支承情况下，压杆临界载荷为材料力学 几种常见等截面细长压杆的长度因素与临界载荷几种常见等截面细长压杆的长度因素与临界载荷支承情况支承情况失稳时挠曲线形状下失稳时挠曲线形状下临界力临界力Fcr欧拉公式欧拉公式长度因数长度因数两端铰支两端铰支FcrABl22lEIFcr=122)7 . 0(lEIPcrl一端固定一端固定另端铰支另端铰支 0.7FcrAB0.7lCC 挠曲挠曲线拐点

5、线拐点Fcrl一端固定一端固定另端自由另端自由22)2( lEIPcr=22ll两端固定但可沿两端固定但可沿横向相对移动横向相对移动22lEIPcr=10.5lFcrC 挠曲线拐点挠曲线拐点lC、D 挠挠曲线拐点曲线拐点0.5l两端固定两端固定22)5 . 0(lEIPcr=0.5ABCDcrF材料力学FmkwkwEI022 0)(mFwxMwEI EIFk 2:令Fmkxdkxcw0sincos. 0,; 0, 0wwLxwwx解解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为: 例例 ：试由挠曲线近似微分方程，导出两端固定细长压杆的临界力公式。FFm0Fxwm0FMFm0 xww材料力学

6、2 , 0 ,0nkLdFmc2222)2/(4LEILEIFcr 2 kL为求最小临界力， “ n”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为： = 0 . 5材料力学压杆的临界力 例例 ：求下列细长压杆的临界力。(yz面失稳两端铰支，长L2；xy面失稳一端固定，一端铰支，长L1）, 123hbIy=1.0，解解：绕 y 轴，两端铰支：222LEIFycry, 123bhIz=0.7，绕 z 轴，左端固定，右端铰支：212)7 . 0(LEIFzcrz)F , min(crzcrycrFF 材料力学49123min1017. 410121050mI21min2)(lEIFcr48min108

7、9. 3mIIz 22min2)(lEIFcr 例例 ：求下列细长压杆的临界力。（L=0.5m，E=200 MPa）PL5010图（a）图（b）解解：图（a）图（b）yzkN14.67)5 . 07 . 0(102001017. 42692kN8 .76)5 . 02(102001089. 32682FF材料力学15-3 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力AFcrcr一、一、临界应力和柔度临界应力和柔度1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力222222)/()(EiLEALEIAFcrcr2.细长压杆的临界应力：惯性半径 AIi 22 Ecr 即：即：材料力学- 柔度柔度

8、 (细长比细长比)iL柔度柔度 是压杆稳定问题中的一个是压杆稳定问题中的一个重要参数重要参数，它全，它全面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。状对临界应力的影响。222222)/()(EiLEALEIAFcrcr材料力学二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程要求材料满足胡克定律pcr即：22crEpP2E记：P2Ep则欧拉公式成立的条件为：pp 只与只与材料的性质材料的性质有关有关。材料力学三、临界应力的经验公式三、临界应力的经验公式对于对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。工程上使用的情况

9、，欧拉公式不成立。工程上使用经经验公式验公式。l 直线经验公式直线经验公式bacr式中式中, a, b是与材料有关的常数是与材料有关的常数材料力学590.19939.2松木松木502.14372硬铝硬铝952.568461优质碳钢优质碳钢s=306MPa1021.12304A3钢钢 s=235MPapb(MPa)a(MPa)材料材料表表15-2 (部分部分)00951020材料力学l 直线经验公式的适用范围直线经验公式的适用范围用直线经验公式时，应有用直线经验公式时，应有bacrsbas记：记：则直线经验公式的适用范围为：则直线经验公式的适用范围为：p0bas0材料力学l 当当 0 时，就发生

10、时，就发生强度强度失效失效，而不是失稳。，而不是失稳。AFcrcrs所以应有所以应有:不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公式。可根据式。可根据柔度柔度将压杆分为三类将压杆分为三类:(1) 大柔度杆大柔度杆(细长杆细长杆) p 的压杆的压杆(2) 中柔度杆中柔度杆 0 p 的压杆的压杆四、四、 压杆分类压杆分类(3) 小柔度小柔度杆杆(短粗杆短粗杆) 0 的压杆的压杆材料力学l 临界应力总图临界应力总图小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆材料力学l 抛物线抛物线经验公式经验公式抛物线经验公式为抛物线经验公式为211crba 式中，式中，a1

11、 , b1 是与材料性质有关的常数。是与材料性质有关的常数。s57. 0临界应力总图临界应力总图材料力学五、注意问题五、注意问题：1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。例例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力和安全系数。经验公式：cr=304-1.12(MPa) 。412163.23 ,367.8cmIcmAy zyII 解解：一个角钢：两根角钢图示

12、组合之后41min26.4763.2322cmIIIyy 材料力学cmAIi68. 1367. 8226.47min所以，应由经验公式求临界压力。)(4 .31420410367. 822kNAFcrcr1 . 21504 .314FFncr安全系数cr=304-1.12=304-1.12*89.3=204（MPa）1023 .8968.1150pil(由表查得)材料力学例：例：如图所示圆截面压杆，E=210GPa，p=206MPa， s =235MPa ,cr=304-1.12(MPa)1.分析哪一根压杆的临界载荷 比较大；2.已知：d =160 mm。 求：二杆的临界载荷= l / i ,

13、a=（1*5）/（d/4）=20/d ,b= （0.5*7）/（d/4）= 14/d .解：解：1、判断临界荷载大小a bFcra Fcrb7m两端铰支两端铰支两端固定两端固定材料力学a=20/d 20/0.16=125p,0 b=14/d 14/0.16=87.5p2、计算各杆临界力的大小6 .6112. 1235304100206102100322PPE)(26631604112510210)(22322222kNAELEIFcra)( 4 .411516041) 5 .8712. 1304()12. 1304(2kNAAFcrbcrb材料力学15-4 压杆的稳定条件与合理设计压杆的稳定条

14、件与合理设计l 工作安全系数工作安全系数l 稳定安全系数稳定安全系数l 稳定条件稳定条件FFncrstn满足稳定性要求时，应有满足稳定性要求时，应有:FFncrstn一、一、 压杆的稳定条件压杆的稳定条件材料力学l 压杆稳定问题的解题步骤压杆稳定问题的解题步骤 1 稳定校核稳定校核问题问题1)计算计算 p ， 0， ；2)确定属于哪一种杆确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度，小柔度大柔度，中柔度，小柔度) ；3)根据杆的类型求出根据杆的类型求出 cr 和和 Fcr ;4)计算杆所受到的实际压力计算杆所受到的实际压力 F；5)校核校核 n = Fcr /F nst 是否成立。是否成立。l 稳定安全系

15、数与强度安全系数的取值稳定安全系数与强度安全系数的取值u强度安全系数取值强度安全系数取值 1.2 2.5，有时可达，有时可达 3.5；u稳定安全系数取值稳定安全系数取值 2 5，有时可达，有时可达 8 10。材料力学2 确定许可载荷确定许可载荷前前3步同步同稳定校核稳定校核问题；问题；4) F Fcr / nst 。3 截面设计截面设计问题问题1)计算实际压力计算实际压力 F ；2)求出求出 Fcr： Fcr = nst F；3)先假设为先假设为大柔度杆大柔度杆，由欧拉公式求出，由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径进一步求出直径 d (若为圆截面杆若为圆截面杆) ;4)计算计算 p 和和 ；5

16、)检验检验 p 是否成立。若成立，则结束是否成立。若成立，则结束;22cr)( lEIF材料力学6) 若若 p 不成立，则不成立，则设为设为中柔度杆中柔度杆，按经验公式求出直，按经验公式求出直 径径 d (若为圆截面杆若为圆截面杆) ;bacrilbaAFcrd7)计算计算 0 ；8)检验检验 0 是否成立。是否成立。 若成立，则结束。若不成立，若成立，则结束。若不成立， 则是强度问题。则是强度问题。材料力学(1) (1) 压杆的稳定容许应力压杆的稳定容许应力: :1.1.安全系数法确定容许应力安全系数法确定容许应力: stcrstn2.2.折减系数法确定容许应力折减系数法确定容许应力: :

17、st(2)(2)、压杆的稳定条件、压杆的稳定条件: : AF:折减系数 (见书P326图15-12)二、二、 折减系数法折减系数法按强度设计的方法设计受压杆。按强度设计的方法设计受压杆。 stsstcrstnn材料力学41410216 .25,3 .198,52. 1,74.12cmIcmIcmzcmAyz416 .3963 .19822cmIIZZ )2/( 22011azAIIyy)2/52. 1(74.126 .2522a 时合理即2)2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a例：例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？时立

18、柱的临界压力最大,最大值为多少？解解：1、对于单个10号槽钢，形心在c1点两根槽钢图示组合之后，Iz=Iy临界压力最大:Fa=4.32cm（z1）材料力学)(8 .443)67 .00(106 .396200)(2222kNlEIFcr2、求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。1025 .1061074.122106 .39667 . 0267 . 0481pzAIiL( 由表15-2查得)p材料力学例：例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4， E=210 GPa，F=60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。 1、nst=2； 2、

19、=140 MPa解：解：1、安全系数法：1029 .14573.1494.791004 . 31pil)(3 .1431073.149 .14510210)(2322222kNAELEIFcrkNFkNnFstcr60)(7 .7121 .143满足稳定要求。满足稳定要求。 材料力学2、折减系数法9 .14573.1494.791004 . 31il查书图查书图15-12 =145.9，33. 0若查表若查表 =140，=0.349；=150，=0.306。33. 09 . 510306. 0349. 0349. 09 .145然后线性插值：然后线性插值：材料力学)(7 .401073.141

20、06023MPaAF )(2 .4614033. 0MPa 满足稳定要求。满足稳定要求。 材料力学例例 已知已知: 空气压缩机的活塞杆由空气压缩机的活塞杆由45钢制成，钢制成，s = 350 MPa , p = 280 MPa, E=210GPa。长度长度l = 703 mm, 直径直径d = 45 mm。最大压。最大压力力 Fmax=41.6kN。稳定安全系数为。稳定安全系数为 nst = 810。(设两端铰支座设两端铰支座)求求： 试校核其稳定性。试校核其稳定性。解解：1 求求 p P2Ep692102801021086材料力学2 求求 u 活塞杆为两端铰支杆活塞杆为两端铰支杆1u 惯性半

21、径惯性半径(圆轴圆轴)AIi 244164dd162d4du 柔度柔度 il4/4570315 .62材料力学86pil5 .62因为因为p，所以不是大柔度杆。，所以不是大柔度杆。3 求求 0 , 采用直线经验公式。采用直线经验公式。 由表由表15-2 查得查得(45钢属优质碳钢钢属优质碳钢)：MPa,461aMPa568. 2bbas0568. 23504612 .43p0所以，是中柔度杆。所以，是中柔度杆。材料力学4 求求临界应力临界应力 采用直线经验公式。采用直线经验公式。 bacr5 .62568. 2461MPa3015 求求临界压力临界压力 AFcrcrkN4786 稳定校核稳定校

22、核 FFncr6 .414785 .11stn满足稳定要求。满足稳定要求。 材料力学例例已知已知: 活塞直径活塞直径D= 65 mm，p= 解解：这是截面设计问题。这是截面设计问题。l 临界压力的最大值为临界压力的最大值为pDF241N3980F1.2MPa, l=1250mm, 45钢，钢，p = 220MPa, E= 210GPa, nst = 6。求求： 活塞杆直径活塞杆直径d 。 (活塞杆可简化为两端活塞杆可简化为两端铰支杆铰支杆)FnFstcrN23900l 活塞杆所受压力活塞杆所受压力材料力学Fu 活塞杆为两端铰支杆活塞杆为两端铰支杆122cr)( lEIF242)(64ldEmm

23、6 .24d取取mm25dl 先假设为大柔度杆先假设为大柔度杆, 用欧拉公式计算临界压力用欧拉公式计算临界压力材料力学u 根据求出的根据求出的 d 计算柔度计算柔度il4dl200u 计算计算 p P2Ep97因为因为p，是大柔度杆。，是大柔度杆。以上计算正确。以上计算正确。材料力学 例例 MPaMPaps200,235xyzx材料力学解解:zzzil35.99AIizzbhbh 12/3ppE2xyzx考虑考虑xy平面失稳平面失稳(绕绕z轴转动轴转动)12h12/3 . 21h8 .132AIiyybhhb12/3考虑考虑xz平面失稳平面失稳(绕绕y轴转动轴转动)12byyyil12/3 .

24、 25 . 0b6 .99pyz所以压杆可能在所以压杆可能在xy平面内首平面内首先失稳先失稳(绕绕z轴转动轴转动).材料力学其临界压力为其临界压力为AFcrcrbhEz22KN269pcrFFn150269793. 18 . 1stn所以压杆的稳定性是不安全的所以压杆的稳定性是不安全的.材料力学 例例 简易起重架由两圆钢杆组成，杆简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB： ，杆，杆AC： ,两杆材料均为两杆材料均为Q235钢钢, , 规定的强度安全系数，稳定安全系规定的强度安全系数，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。数，试确定起重机架的最大起重量。mmd 301mmd202MPaGPaEs24

25、0,20060,1000p2sn3stnmaxFF45A21CB0.6m材料力学解解:、受力分析、受力分析AF1NF2NF)()(221压，拉FFFFNN2、由杆、由杆AC的强度条件确定的强度条件确定 。maxF111AFNssnssnAF21KN7 .263、由杆、由杆AB的稳定条件确定的稳定条件确定 。maxFstNcrnFFn2材料力学22il柔度柔度:4/6 . 012d800 p因此因此2crcrAF2)(AbaKN47.151226410)8012. 1304(d材料力学stcrNnFFF2347.151KN5 .50所以起重机架的最大起重量取决于杆所以起重机架的最大起重量取决于杆

26、ACAC的强度，为的强度，为KNF7 .26max材料力学例例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直径为： d = 0.3m，试求此杆所能承受的最大压力。（xy面两端视为铰支；zy面一端视为固定，一端视为自由）803 . 0461 iLxy 解解：折减系数法、最大柔度x y面内， =1.0F1BF2xyzoz y面内， =2.01603 . 0462 iLzy 23000,80:时木杆材料力学 stAF )(911011117. 043 . 062kNAFst、求折减系数、求最大压力117. 0 ,160:木杆材料力学15-5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的

27、措施1 选择合理的截面形状选择合理的截面形状截面的惯性矩截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径越大，或惯性半径 i 越大越大,就越不容易失稳，即稳定性越好。就越不容易失稳，即稳定性越好。所以，应选择合理的截面形状，使得所以，应选择合理的截面形状，使得:,)(22crlEIF,22crEill 在截面积相等的情况下，使在截面积相等的情况下，使 I 或或 i 较大较大;材料力学l 各纵向平面内的约束情况各纵向平面内的约束情况相同相同时时, 应使应使对各形心轴的对各形心轴的 I 或或 i 接近相等。接近相等。l 在截面积相等的情况下，使在截面积相等的情况下，使 I 或或 i 较大较大材料力学l 两纵向对称平面内的约束情况两纵向对称平面内的约束情况不相同不相同时时,应使应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等。在两个形心主惯性平面内的柔度接近相