河北工业大学固体物理课件4-2

1、4-2 一维周期场中电子运动的近一维周期场中电子运动的近 自由电子近似自由电子近似n晶体中电子与自由电子的区别在于周期势晶体中电子与自由电子的区别在于周期势场。场。n如果假设晶体中有一个很弱弱的周期势场，则电子的运动情况应当与自由电子比较接近，但同时也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点，这样的电子就叫近自由近自由电子电子。 一维势场一维势场nnxainnnxainnnxaineVeVVeVaxVxV2202)()( anxaindxexVaV02)(1展开式系数展开式系数设为零adxxVaVV00)(1anxaindxexVaV02)(1n周期场是实的 n )()(*xVxVnnVV*一、

2、定态非简并微扰一、定态非简并微扰由量子力学定态非简并微扰理论可知，定态薛定谔方程 方程的解是 ),()(),(xkkExkH)2(2)1()0(22)1()0(),()(kkkkkkxkEEEkE）（近自由电子哈密顿算符可写成 :n其中 1, 0hHHHH2202mH自由电子的自由电子的哈密顿算符哈密顿算符nnxaineVH2由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为 E(1)(k) =0 其中微扰矩阵元mkkE2)(220)0()0(22) ()(kkkkkkkEkEE）（零级近似解，就是自由电子的解：零级近似解，就是自由电子的解： ikxeLxk21)0(),( 其他时, 002,10)

3、2()0(0)*0(nakkVdxeVLdxHnLnxnakkinkLkkk则能量的二级修正为 其他时, 002,10)2()0(0)*0(nakkVdxeVLdxHnLnxnakkinkLkkknnknakkVmE22222)2(2)2(2求和中的撇表示n不为0，但当k与k互为相反值时，分母为0，导致能量修正值为无穷大。n波函数的一级修正n电子的波函数为), () ()(),()0()0()0()1 (xkkEkExkkkk),()2(21 (1)2(211), () ()(1),(),(),(22222)2(2222)0()0()0()1()0(xkueenakkmVeLenakkmVLe

4、LxkkEkEeLxkxkxkikxnxainnikxxnakinnikxkkkikx调幅调幅平面平面波波前进前进的平的平面波面波受周期受周期势场散势场散射的波射的波二、二、 简并微扰法简并微扰法当满足 时 ankank 波函数及能量的修正项，前进的平面波遭到了晶格原子的全反射(布拉格)， 反射波相互加强，使入射波受到很强的干涉，此时适用简并微扰法。 na 2) ()(00kEkE 由量子力学简并微扰理论，零级波函数为二态（前进波、布拉格反射波）的线性叠加)exp(1)exp(1000 xikLbikxLabakk代入薛定谔方程，得到0)(0)(0*0bEEaVbVaEEknnk情况考虑两简并

5、状态相近的，取1)1 (),1 (ankank 222222222222222200004)1 (242)1 (2421nnnnnnkkkkVTTEanmTVanmanmVEEEEE，则令讨论：讨论：1. =0时，时，能量差为2|Vn|,则原来能量相等的两个态的能量不再相等，简并消除，出现禁带。禁带的出现是周期场禁带的出现是周期场作用的结果作用的结果nnVTE22,nniinnnnnnnETVVaVV eVVV ebV得到令)cos(2)(000 xanLaeeeeeLaebaixk iiikxiikk)sin(20 xanLaieinnVVba同理，由得到0)(代入*0bVaEEnknnVT

6、E0)(代入*0bVaEEnk波函数的特点波函数的特点 电子云驻波分布电子云驻波分布 2),(sin42220 xanLa2),(cos42220 xanLa由图可知，由图可知， 这就是在这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃的原边界上能量产生不连续跳跃的原因。因。 势能之差能隙势能之差能隙2Vn）的势能高（）比（xnaxna,n从自由电子的Ek关系（抛物线）可知， 有显著的差异，在弱周期场的情况下，满足n这时处于非简并的状态，由非简并微扰的能量二级修正和波函数的一级修正可知，其微扰修正项都很小，因此在 波矢远离布里渊区边界时，近自由电子的波矢远离布里渊区边界时，近自由电子的能量和波函数与自

7、由电子相似。能量和波函数与自由电子相似。2.0时时,k值值远离远离布里渊区边界的情况布里渊区边界的情况00kkEE 与nkkVEE003.0时时,k值接近布里渊区边界的情况值接近布里渊区边界的情况以以为变量的开口向上的抛物线为变量的开口向上的抛物线以以为变量的开口向下的抛物线为变量的开口向下的抛物线在布里渊区边界附近(0)，能量E+(k)和E_(k)分别以抛物线形式趋向Tn|Vn| 和Tn|Vn|。2)21 (nnnnnVTTVTE2) 12(nnnnnVTTVTEnkkVEE00简约区图式简约区图式简约波数简约波数 由于k 和k+Km 对应的量子态是等价的。在一维情况下，可以把k 分解成布洛

8、赫函数为布洛赫函数为在第一布里渊区外的k，如果用 来标志，可以通过把k 改变一个倒格矢，使它落于第一布里渊区范围， 这样每一个能带各状态对应于在第一布里渊区不同的简约波矢 ；对于同一个 有能量高低不同的一系列状态，分属于能带1，2，kkk周期函数mxaixk iee2(a)重复区图式重复区图式(虚线内为简约虚线内为简约区图式区图式)(b)扩展区图式扩展区图式三、布里渊区和能带布里渊区和能带1.布里渊区界面设发生简并微扰的两个态是结论：结论：倒格矢的中垂面上即布里渊区边界发生能量突变（断开）02,22）（即满足关系hhhhKkKKkkKkkk二维正方晶格的布里渊区面心立方晶格的第一布里渊区面心立

9、方晶格的第一布里渊区主要对称轴：X轴，四度旋转轴，波矢取值， 01；：L轴，三度旋转轴，波矢取值， 01/2； ：K轴，二度旋转轴，波矢取值， 0 3/4。 ），（002a），（a2），（02a体心立方晶格的第一布里渊区n体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a，则倒格子为边长等于4/a的面心立方。 主要的对称点： ；H： ；P： ；N：），（0002a），（0012a），（2121212a），（021212a主要对称轴：H轴，四度旋转轴，波矢取值， 01；：P轴，三度旋转轴，波矢取值， 01/2； ：N轴，二度旋转轴，波矢取值，