第三章抽样分布

1、12组成元素组成元素具体对象具体对象组成元素组成元素变量的具体变量的具体取值取值研究的标志研究的标志例：例：1000个零件的直径个零件的直径1000个零件的集合个零件的集合组成元素：每个零件组成元素：每个零件零件直径的集合零件直径的集合组成元素：直径观测值组成元素：直径观测值统计统计推断推断中的中的总体总体及总及总体分体分布布第一节第一节 随机样本随机样本3对一个总体而言，个体的取值是按一定规律分布的。任取一个零件，其直径取值是按一定概率分布的。 对某个总体而言，总对应着一个随机变量X X，总体分布就是指随机变量的概率分布。 数理统计学中“总体”这个基本概念从本质上讲：总体就是一个随机变量X

2、X。对总体的研究, ,就是对相应的随机变量X X的研究。4例：质量检查，例：质量检查，0 0表示正品，表示正品，1 1表示次品，出现次表示次品，出现次品的概率为品的概率为p p，则总体由，则总体由0 0，1 1构成，这一总体对应构成，这一总体对应一个参数为一个参数为p p的（的（0-10-1）分布的随机变量，即）分布的随机变量，即1()(1)xxP Xxpp0,1x 5总体：总体：研究对象的某项数量指标值的全体。研究对象的某项数量指标值的全体。个体：个体：组成总体的每一个基本元素。组成总体的每一个基本元素。例如例如: 某工厂生产的灯泡的使用寿命的全体是一个总体某工厂生产的灯泡的使用寿命的全体是

3、一个总体。每一个灯泡的使用寿命是一个个体。每一个灯泡的使用寿命是一个个体。每个男生的身高是一个个体。每个男生的身高是一个个体。 我校男生的身高的全体是一个总体。我校男生的身高的全体是一个总体。总体所含个体的数目称为总体容量总体所含个体的数目称为总体容量.总体总体6 样本：样本：通过随机观测或试验的方法，获得的总体中一部分通过随机观测或试验的方法，获得的总体中一部分个体，称为样本，每个个体称为样本单位。个体，称为样本，每个个体称为样本单位。就是从总体中抽取有限个个体对总体进行观测的过就是从总体中抽取有限个个体对总体进行观测的过程程。随机变量确定的数值样本样本7在相同的条件下对总体在相同的条件下对

4、总体X进行进行n次重复独立的观察。将次重复独立的观察。将n次观次观察结果按试验的次序记为察结果按试验的次序记为X1， X2， Xn 。 由于由于X1， X2， Xn 是对随机变量是对随机变量X观察的结果，且各次观观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，所以有理由认为察是在相同的条件下独立进行的，所以有理由认为X1， X2， Xn是是相互独立的相互独立的，且都是与总体，且都是与总体X具有具有相同分布的相同分布的随机变量。随机变量。 这样得到的这样得到的X1， X2， Xn 称为来自总体称为来自总体X的一个简单随机的一个简单随机样本，样本，n为这个样本的容量。为这个样本的容量。8第一、样

5、本点与总体同分布（第一、样本点与总体同分布（“样本与总体同分布样本与总体同分布”） 第二、样本点之间相互独立（简称第二、样本点之间相互独立（简称“样本独立样本独立”） 两个性质常常合称为两个性质常常合称为 “ “样本独立同分布”。满。满足上述性质的样本为简单随机样本。足上述性质的样本为简单随机样本。样本的两个重要性质样本的两个重要性质9 n次观察一经完成，我们就得到一组实数次观察一经完成，我们就得到一组实数x1， x2， xn ，它们依次是随机变量，它们依次是随机变量X1， X2， Xn的观察值，称为样本观测值。的观察值，称为样本观测值。10简单随机抽样和简单随机样本的性质简单随机抽样和简单随

6、机样本的性质不放回不放回放放 回回放回放回不放不放 回回独立性和同一性独立性和同一性不独立不独立当当n/N5%时，有限总时，有限总体不放回抽体不放回抽样等同于放样等同于放回抽样回抽样抽样方式抽样方式11 样本包含了总体的各种特征信息样本包含了总体的各种特征信息, ,是进行统计推是进行统计推断的依据。这些信息是断的依据。这些信息是“散布散布”在样本之中的。在在样本之中的。在实际应用时实际应用时, ,要从中得到所需要的统计信息要从中得到所需要的统计信息, ,往往不往往不是直接使用样本本身是直接使用样本本身, ,而是对样本进行而是对样本进行“处理处理”, ,将将所需信息浓缩集中起来针对不同的问题，构

7、造样本所需信息浓缩集中起来针对不同的问题，构造样本的适当函数的适当函数统计量进行统计推断。进行统计推断。12 如果样本如果样本X1， ，Xn的函数的函数g=g(X1， ，Xn)不含未不含未知参数，则称知参数，则称g(X1， ，Xn)是一个是一个统计量统计量。 是是g(X1， ，Xn)的的观测值观测值12( ,.,)ng x xx 如果如果x1， ，xn是对应于样本是对应于样本X1， ，Xn的样本值，的样本值，则称：则称： 一、一、 统计量统计量13总体参数总体参数未知未知总体其他信息总体其他信息未知未知总体分布总体分布未知未知抽样得到随机样本抽样得到随机样本利用统计量推断总体信息利用统计量推断

8、总体信息样本统计量样本统计量g=g(X1,X2,Xn)两个要点：两个要点：1、是样本的函数、是样本的函数 2、不含未知的参数、不含未知的参数.样本样本X1,X2,Xn 在统计推断中，一项重要的工作就是寻找统在统计推断中，一项重要的工作就是寻找统计量和导出统计量的分布。计量和导出统计量的分布。14nikinikiXXnXn11)(11中心矩原点矩3.样本k阶矩niiXnX11. 1 样本均值常用统计量常用统计量2122)()(11. 2SSXXnSnii标准差样本均方差样本方差15总体X的K阶原点矩和K阶中心矩分别为 E（Xk）(k=1，2，) 和 E（X- E（Xk） ）k） (k=2，3，)

9、 总体的一阶原点矩即为总体的均值，总体的二阶中心矩总体的一阶原点矩即为总体的均值，总体的二阶中心矩即为总体的方差。即为总体的方差。16 例设一个总体含有4个个体，即总体单位数N=4，其 取 值 分 别 为 X1= 2 2 、X2=24、X3=26 、X4=28 。25X 总体的均值、方差：总体的均值、方差：52二、几种常用的抽样分布二、几种常用的抽样分布 样本统计量的分布称为抽样分布，即由样本统计量的分布称为抽样分布，即由样本统计量的全部可能取值和与之相应的概样本统计量的全部可能取值和与之相应的概率（频率）组成的分配数列。率（频率）组成的分配数列。17 现从总体中抽取现从总体中抽取n2的简单随

10、机样本，重复抽样条件的简单随机样本，重复抽样条件下，共有下，共有42=16个可能样本。所有可能样本的结果列表如个可能样本。所有可能样本的结果列表如下，试分析样本均值的分布。下，试分析样本均值的分布。DD(28)DC(27)DB(26)DA(25)D（28）CD(27)CC(26)CB(25)CA(24)C（26）BD(26)BC(25)BB(24)BA(23)B（24）AD(25)AC(24)AB(23)AA(22)A（22）D（28）C（26）B（24）A（22）第二个第二个样本单位样本单位第一个第一个样本单位样本单位所有可能样本及其样本均值（所有可能样本及其样本均值（ n = 2）18 将

11、表中样本的均值的各种可能取将表中样本的均值的各种可能取值及其可能性（概率）加以整理，值及其可能性（概率）加以整理，绘制成分布表和分布图如下：绘制成分布表和分布图如下：1合计1/16282/16273/16264/16253/16242/16231/1622概率均值 样本均值的抽样分布图样本均值的抽样分布图19 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值；样本均值的均值（数学期望）等于总体均值；样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/n。251612816223161221MiiipxxXfxxiiix25)2528(2)2523(1252216116122271220事实上，对

12、于来自均值和方差分别为事实上，对于来自均值和方差分别为 和和 的总体的一个简单随机样本的总体的一个简单随机样本X1， X2， Xn ，其样本均值的数字期望和，其样本均值的数字期望和 方差分别为方差分别为 和和 。一般称一般称 为样本均值的抽样误差。为样本均值的抽样误差。2xnx22nx21 的抽样分布与总体分布和样本量的抽样分布与总体分布和样本量n有关：有关： 总体是正态分布，样本均值总是正态分布总体是正态分布，样本均值总是正态分布 总体非正态分布，随着总体非正态分布，随着n的增大，样本均值趋于正态分布的增大，样本均值趋于正态分布x22 xn 中心极限定理(central limit theo

13、rem) x 23中心极限定理 (central limit theorem)x24 式中式中 为实数为实数, 0 .则称则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态分正态分布布,亦称高斯分布亦称高斯分布.记为记为N( , 2).可表为可表为XN( , 2). 图象见右上角图象见右上角若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为一般正态分布一般正态分布 xexfx其中222)(21)(1. 1. 定义定义x)(xf025 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称f()maxf(x)21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的大小直接影响

14、概率 的分布的分布 越大越大,曲线越平坦曲线越平坦; 越小越小,曲线越陡峻曲线越陡峻.21x)(xf0 x)(xf02246)5/3 , 4(N) 1 , 4(N)5/7 , 4(N26标准正态分布标准正态分布 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态标准正态分布，记作分布，记作ZN(0, 1)。其其密度函数密度函数为为)(21)(22xexxx)(x02424分布函数为密度函数的积分分布函数为密度函数的积分27分布函数为分布函数为xdtexXPxxt,)(2212(1) (0)=0.5(2) (+)1；(3) (x)1 (x).x一般的概率统计教科书均附有一般的概率统计教科书

15、均附有标准正态分布表供读者查阅标准正态分布表供读者查阅 (x)的值的值.(附表附表1)如如,若若XN（0,1), (0.5)=0.6915,P1.32X2.43= (2.43)- (1.32)=0.99250.9066例题：课本例题：课本74页页2221)(xexf0)(xf28 2分布 t 分布F分布 在在参数估计和假设检验等统计推断问题中这参数估计和假设检验等统计推断问题中这三个分布有广泛的应用。三个分布有广泛的应用。 29定义定义 设设X为一个连续型随机变量为一个连续型随机变量, f(x)为其密度函数为其密度函数, 对于对于给定的正数给定的正数 称满足条件(01),的点 为X的 分位数分

16、位数 (简称为分位点).()( )xP Xxf x dx ( )f xx黄色阴影部黄色阴影部分概率为分概率为()( )1xP Xxf x dx 上侧分上侧分位数位数 随机变量随机变量X的分位数也叫分位点的分位数也叫分位点, 是表示随机变量是表示随机变量X的位置的位置特征特征302221nXX22( )n21. 2分布的定义和密度函数分布的定义和密度函数 设设X1， ，Xn是相互独立，服从标准正态分布是相互独立，服从标准正态分布N(0,1)的随机变量，则称随机变量：的随机变量，则称随机变量： 所服从的分布为自由度是所服从的分布为自由度是n的的 分布，即分布，即2221( )niiXn记为记为31

17、独立同分布的随机变量序列独立同分布的随机变量序列随机变量服从标准正态分布随机变量服从标准正态分布新构造的随机变量为原随机变量平方和新构造的随机变量为原随机变量平方和分布的三个要点：分布的三个要点：232/211222( /2),0( )0,0nnxnxexf xx 2 2(n)分布是参数为分布是参数为n/2,1/2的的分布，即分布，即 2 2(n)的密度函数为的密度函数为33 2分布分布随着自由度随着自由度增加，分布渐近于正态。增加，分布渐近于正态。图图 2的概率密度曲线的概率密度曲线342(0,1), 0,1, 1iiiiXNEXDXEXniEXEXDXiii, 2 , 1, 213)(22

18、4222211().nniiiiEEXEXn.2)(12122nDXXDDniinii证：所以：（1）nE)(2nD2)(22.2. 2 2分布的性质分布的性质3522221122(),(),nn)(2122221nn （2）分布可加性）分布可加性 且且2212，独立，则：独立，则：36 (3)(3)上侧分位数上侧分位数 所谓一个分布的所谓一个分布的 上侧分位数就是指这样一个数，上侧分位数就是指这样一个数，它使相应分布的随机变量不小于它使相应分布的随机变量不小于( (大于等于）大于等于）该数的该数的概率为概率为 , ,比如，若记比如，若记 2 2变量的变量的 上侧分位数为上侧分位数为 ，则，则

19、满足满足查表查表313313页附表页附表3 3 2 20.9950.995（1111）=2.603=2.603 2 20.010.01（1313）=27.688=27.688222()pd37附表3中给出了自由度n45的2分布的上 分位数值.如对于0.1,25n 查附表3得20.1(25)34.382 方便通过EXCEL查分位点，函数为CHIINV。fx 常用函数 CHIINV381. t t分布的定义和密度函数分布的定义和密度函数).(/ntnYXT t(n)称为自由度为称为自由度为n的的t分布，记为分布，记为Tt(n)。（二）（二） t 分布分布t(n) 分布的概率密度为分布的概率密度为

20、t,)nt1()2n(n)21n() t ( f21n2定义定义:若若X XN(0, 1), N(0, 1), Y Y 2 2(n), (n), X X与与Y Y独立，则独立，则39 t t分布和标准正态分布类似，他们都是对称分布。分布和标准正态分布类似，他们都是对称分布。区别：区别：t t分布尾部厚，即服从分布的随机变量取到尾部值的概分布尾部厚，即服从分布的随机变量取到尾部值的概率比标准正态分布略大。而对于接近原点的坐标点，率比标准正态分布略大。而对于接近原点的坐标点，t t分布分布的值比标准正态分布的值小。的值比标准正态分布的值小。因而因而t t分布曲线尾部厚于标准分布曲线尾部厚于标准正态

21、分布，而峰低于标准正态分布。正态分布，而峰低于标准正态分布。40 (1) (1) f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴) )对称。对称。 (2) (2) f(t)的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即 x,e21) t () t ( flim2tn2，41分子是标准正态随机变量分子是标准正态随机变量分母是自由度为分母是自由度为n的卡方随机变量的卡方随机变量分子分母相互独立，且满足构造公式分子分母相互独立，且满足构造公式t分布的三个要点：分布的三个要点：分子：标准正态分布变量分子：标准正态分布变量分母：卡方变量除以自由分母：卡方变量除以自由度再开方度再开方42)(

22、) 10(nttP，称满足条件：对于给定的( )tnt的点为 分的上布分位点 。)()(1ntnt：由概率密度的对称性知.)(45zntn时，当)(nt)(1nt2.43附表2中给出了自由度n45时,当的 t 分布的上 分位数值; 如对于0.05，n20查附表2得可以通过可以通过EXCEL查分位点，函数为查分位点，函数为TINV。（注意：（注意：双侧，双侧，20.050.1）T0.05（20）1.724744定义定义:若若U 2(n1)， V 2(n2)，U和和 V独立，则独立，则).,(/2121nnFnVnUF 称为第一自由度为称为第一自由度为n1 ，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分

23、布分布,其概其概率密度函数为率密度函数为 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n2121211111. F分布的定义和密度函数分布的定义和密度函数45分子是自由度为分子是自由度为n1的卡方随机变量的卡方随机变量分母是自由度为分母是自由度为n2的卡方随机变量的卡方随机变量分子分母相互独立，且满足构造公式分子分母相互独立，且满足构造公式F分布的三个要点：分布的三个要点：两个卡分变量两个卡分变量除以自由度之比除以自由度之比4647).,(/1),( F1221nnFFnnF则若),(/1),(12211nnFnnF性质：),() 1

24、0(21nnFFP，称满足条件：对于给定的12( ,)Fn nF的点为 分的上布分位点),(21nnF2.F2.F分布的分布的上侧临界值上侧临界值48 对某些较小的附表4中给出了自由度为( n1, n2 )的F 分布的上 分位数值。如对于查附表5得0.1(5,15)2.27F 方便通过方便通过EXCEL查分位点，函数为查分位点，函数为FINV。1551 . 021nn49 由于由于F分布表的局限性，我们不能用直接查表得到此题的分布表的局限性，我们不能用直接查表得到此题的下侧分位点。怎么办呢？下侧分位点。怎么办呢？11( , )( , )FnmF m n( ,)( ,)( ) 上侧：Fn mP

25、FF n mf x dx 1( ,)10( ,)( ) 下侧：Fn mP FFn mf x dx 给定显著水平给定显著水平 0.05，查，查F(15,20)的的 上下侧分位点。上下侧分位点。50多么方便啊！多么方便啊！EXCEL处理处理51例例715. 4)6 , 8(05. 0F28. 058. 31)8 , 6(1)6 , 8(05. 095. 0FF96. 2)7 , 4(1 . 0F25. 098. 31)4 , 7(1)7 , 4(1 . 09 . 0FF例例8?)6 , 8(95. 0F?)7 , 4(9 . 0F52 （1 1）设设X X1 1, X, X2 2,X,Xn n是来自正态总体是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值的分布为：的简单随机样本，则样本均值的分布为：(1 1)2 ( ,)XN 则(3)nNX2,1 , 0 NnXZ第一个重要统计量第一个重要统计量独立与，且2221222) 1()() 1(SXnXXSnnii第二个重要统计量第二个重要统计量样本均值与样本方差相互独