工程力学第3章

1、第3章 力矩和平面力偶系 第3章 力矩和平面力偶系 3.1 3.1 力对点之矩及合力矩定理力对点之矩及合力矩定理3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系3.3 3.3 力的平移定理力的平移定理思考题思考题 习题习题 第3章 力矩和平面力偶系 3.1 力对点之矩及合力矩定理力对点之矩及合力矩定理 以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力F使扳手和螺母一起绕转动中心O点转动，即产生转动效应。 由经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手的转动效应可用乘积Fd冠以适当的正负号来度量。这个量称为力对点之矩，简称力矩，以符

2、号MO(F)表示，即 dFMO)(F（3-1） 式中O点称为矩心，O点到在力的作用线的垂直距离d称为力臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。 第3章 力矩和平面力偶系 图图 3-1第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛顿米（）或千牛顿米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于ABO面积的两倍，即 ABO2)(SdFMOF F（3-1） 力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物体内固定的转动中心，换句

3、话说，平面上的一个力可以对平面内任意一点取矩，而力矩一般不相同。 第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 第3章 力矩和平面力偶系 3.1.2 3.1.2 合力矩定理合力矩定理在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系, 对于平面汇交力系可

4、叙述如下： 合力矩定理合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩， 等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即 )()()()()(in21RFFFFFOOOOOMMMMM（3-3） 第3章 力矩和平面力偶系 例例3-1一齿轮受到啮合力Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力角=20，节圆直径D=0.16 m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴心O的力矩。 图 3-2 第3章 力矩和平面力偶系 解解 （1） 应用力矩的计算公式。力臂： cos2Dh 由式（3-1）得力Fn对O点之矩: mN7 .73cos2)(nnnDFhFMOF负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。 第3章 力矩和平面力

5、偶系 （2） 应用合力矩定理。将力Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr，如图3-2（b）所示， 则 cosntFF sinnrFF 根据合力矩定理 )()()(rtnFFFOOOMMM因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是 mN7 .73cos22)()(ntnDFDFMMOOFF第3章 力矩和平面力偶系 例例3-2手动剪断机的结构及尺寸如图3-3所示。设l1=80cm，l2=8cm，=15，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 解解本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得 cos1FF

6、 sin2FF 根据合力矩定理，力F对A点之矩 mN7 .39cmN3970)15sin15cos()()()(0201221121llFlFlFMMMAAAFFF负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。 第3章 力矩和平面力偶系 图3-3 第3章 力矩和平面力偶系 3.2 平平 面面 力力 偶偶 系系 3.2.1 3.2.1 力偶及其基本性质力偶及其基本性质1. 1. 力偶的概念力偶的概念在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、 方向相反但不在同一作用线上的平行力作用，而使物体产生转动效应的情况， 如人用手拧水龙头开关（图3-4(a)）、司机用双手转动方向盘（图3-4(b)）、 钳工用

7、丝锥攻螺纹（图3-4(c)）等。 第3章 力矩和平面力偶系 图3-4 第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶用符号(F，F)表示，两力之间的垂直距离d称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F), 或简写为M，即 dFMM),(FF（3-4） 第3章 力矩和平面力偶系 式中的正负号表示力偶的转向，通常规定

8、，逆时针转动取正逆时针转动取正号，顺时针转动取负号号，顺时针转动取负号。力偶矩与力矩一样都是代数量，力偶矩的单位与力矩的单位也相同，是牛顿米（）或千牛顿米（）。力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。 第3章 力矩和平面力偶系 图3-5第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质力偶的性质根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。性质一性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，力与力偶相互不能代替，不

9、能构成平衡。因此，力与力偶是静力学中的两种基本元素。 第3章 力矩和平面力偶系 图3-6 第3章 力矩和平面力偶系 性质二性质二力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。 证明证明如图3-5所示，在力偶(F，F)的二力作用点A、B连线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩定义，F与F对O点的力矩和为 dFdxFFxMMOO)()()(FF即 ),()()(FFFFMMMOO第3章 力矩和平面力偶系 性质三性质三保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可以在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对刚体的作用效应。 力偶的这一性质说明力偶对物体的作用与

10、力偶在作用面内的位置无关。须指出，这一性质只适用于刚体而不适用于变形体。 第3章 力矩和平面力偶系 性质四性质四只要保持力偶的转向和力偶臂的大小不变， 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短， 而不会改变力偶对刚体的作用效应。 力偶的这一性质说明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图3-7表示力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。 第3章 力矩和平面力偶系 图3-7 第3章 力矩和平面力偶系 图3-8 第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面

11、力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡1. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成作用在物体上同一平面内的许多力偶组成平面力偶系。力偶系的合成，就是求力偶系的合力偶矩。设为平面力偶系中的各分力偶矩，为合力偶的力偶矩，则 n21,MMMiMMMMMn21（3-5） 第3章 力矩和平面力偶系 2. 2. 平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零； 反之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即 0iM（3-6） 这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。 第3章 力矩和平面力偶

12、系 例例3-3图3-9(a)所示简支梁AB上，受作用线相距为d=20 cm的两反向力F与F组成的力偶和力偶矩为M的力偶的作用。 若F=F=100N， M=40 Nm，梁长l=1m，求支座A和B的约束反力。 图 3-9 第3章 力矩和平面力偶系 解解取梁AB为研究对象，因为只受主动力偶作用，而力偶只能用力偶来平衡，故两支座反力必构成一对力偶。现已知FB的方向，则FA与FB平行且反向，如图3-9(b)所示。由平面力偶系的平衡条件， 有 0iM0MdFlFA解得 N20ldFMFA所以，方向如图3-9(b)所示。 N20ABFF第3章 力矩和平面力偶系 例例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-

13、10），每个钻头的切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三个孔对工件的力偶矩分别为，。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。解：解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩 mN5 .1321 MMmN173MmN44175 .135 .13321MMMMMi负号表示合力偶矩为顺时针方向。 第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10 第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。 选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示，

14、由平面力偶系的平衡条件，有 0iM0321MMMlFA解得 N220321lMMMFA所以，方向如图3-10所示。 N220ABFF第3章 力矩和平面力偶系 3.3 力的平移定理力的平移定理 力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F F，如图3-11所示，由经验可知，当力F F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F F平行移动到刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果发生改变。那么，在

15、什么条件下，力平行移动后与未移动前对刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。 第3章 力矩和平面力偶系 图3-11 第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理力的平移定理作用于刚体上某点的力，可以平行移动到刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移点的力矩的转动方向。 证明证明如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B点加一对平衡力F和F，并使它们与力F平行，而且F=-F=F，如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对刚体的作用等效

16、。在这三个力中，力F与F组成一对力偶(F, F)。于是，原来作用在A点的力，现在被一个作用在B点的力F和一个附加力偶(F, F)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力偶矩大小为 FdMMB)(F（3-7） 第3章 力矩和平面力偶系 图3-12 第3章 力矩和平面力偶系 图3-13 第3章 力矩和平面力偶系 思思 考考 题题 3-1 手推磨如图所示，试解释当杆AB与转轴O共线时最不好。 思考题3-1图 第3章 力矩和平面力偶系 3-2 为什么力偶不能与一力平衡? 如何解释如图所示之转轮的平衡现象？ 思考题3-2图 第3章 力矩和平面力偶系 3-3 能否用力在坐标轴上的投影的代数和为零来

17、判断力偶系的平衡？如图所示刚体上，作用二力偶(F, F)和(F1, F1)， 它们在x轴和y轴上投影的代数和都等于零， 刚体是否平衡？ 为什么？ 思考题3-3图 第3章 力矩和平面力偶系 3-4 物体受F1、F2两个作用（如图所示），试在物体上找出一点O， 使F1、 F2两力对O点之矩均等于零。 思考题3-4图 第3章 力矩和平面力偶系 3-5 用手握钢丝钳，为什么不用很大的握紧力就能剪断铁丝？为什么用撬棒能够移动沉重的机床？3-6 汽车司机有时可以用一只手转动转向盘，但钳工在攻螺纹时，一定要用两只手转动丝锥铰杆手柄，而不允许用一只手操作， 为什么？ 第3章 力矩和平面力偶系 习习 题题 3-

18、1 试分别计算图示各种情况下力F对O点的矩。 题3-1图 第3章 力矩和平面力偶系 3-2 求图中力F对A点之矩。已知r1=20cm，r2=50cm，F=300 N。 题3-2图 第3章 力矩和平面力偶系 3-3 如图所示，梁AB长l，作用一力偶矩M=Fa的力偶。若不计梁自重， 试求支座A、 B的约束反力。 题3-3图 第3章 力矩和平面力偶系 3-4 沿着刚体上正三角形ABC的三条边分别作用有力F1、F2、 F3，如图所示。已知正三角形的边长为a，F1=F2=F3=F。试证明这三个力可以合成一个力偶，并求出力偶矩的大小。 题3-4图 第3章 力矩和平面力偶系 3-5 车间有一矩形钢板（如图所示），边长a=4 m，b=2 m，为使钢板转一