第二章极限与连续第二三节函数的极限

1、 前面讨论了数列前面讨论了数列xn=f (n)的极限的极限, 它是函它是函数极限中的特殊情形数极限中的特殊情形, 特殊性在于特殊性在于: n只取自只取自然数然数, 且且n趋于无穷大趋于无穷大. 现在讨论现在讨论y=f (x)的极限的极限, 自变量自变量x大致有大致有两种变化形式两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数有限数). 并且并且, x不是离散变化的不是离散变化的, 而是连续变化的而是连续变化的. 第二节第二节 函数的极限函数的极限讨论f (x)=1/x在x +时的变化情况 yx0定义定义1.1. 设设f (x)在在(a, + )内有定义内有定义, Axfx )(lim也可

2、记为也可记为 f (x)A, (x+ )若若 0, M 0, 当当xM时时, 相应的函数值相应的函数值f (x)满满足足 | f (x) A |0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.Axfx )(lim则记则记若 0, M 0, 当xM 时, 有|f (x)A |0, 自然数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,.limaxnn则记例例1. 证明, 0limxxa 其中 0a1.证证: 0 1, 要使|ax0 |=ax0, M 0, 当xM 时,有|f (x)A |0, M0, 当当x-M时时, 相应的函数值相应的函数值f (x)满足满足 | f (x) A |0,

3、 M 0, 当当|x|M时时, 相应的函数值满足相应的函数值满足| f (x) A | 则称则称A为为 f (x)当当x时的极限时的极限,记作记作 )( ,)( )(lim xAxfAxfx或或由定义由定义1, 2可知可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim，和和作作直直线线 AyAy, ,MM 则则总总有有一一个个区区间间在在此此区区间间之之外外，.)(之之间间的的图图形形位位于于这这两两条条直直线线函函数数xfy AM M0yx A A几何意义几何意义例例2 用定义证明用定义证明212limxxx，即可，即可因此取因此取只需只需成立，成立，要使要使 1X,1xx12x12

4、x2)x( f, 0 若当若当x x0时时, 对应的函数值对应的函数值f (x)A, 则则称称A是是f (x)当当x x0时的极限时的极限, f (x)A可用可用| f (x) A | 刻划刻划,如何用精确的数学如何用精确的数学而而x x0则则可用可用 |x x0 |0, 0, 当当0|x x0| 时时,相应的函相应的函数值数值f (x)满足满足 | f (x) A |0”,将将“ nN ” 换成换成“ 0|x x0|0, 自然数自然数N, 使得使得当当nN 时时, , 都有都有|xn a|0, 0, 当当0|x x0| 时时, | f (x) A | , 则记则记Axfxx )(lim0.l

5、imaxnn则记而现在而现在 x x0, “ 0|x x0|N” 表示了表示了n充分大这一意思充分大这一意思. 1）2）即使函数 f(x)在x0点无定义，仍可考虑)(lim0 xfxx的存在问题:3） 00 xx意味;0 xx 如果函数 f( x) 在 x0 有定义，4）由定义知：；为任意实数为任意实数)(lim00 xccxx ?)(lim0 xfxx是否必存在极限注意注意xx0 意为从 x0 两侧无限接近x0；?)()(lim00 xfxfxx 是否必有00limxxxx 的的某某去去心心邻邻域域，都都能能定定出出0 x例 证明3)12(2)( xxf. 2)12(lim2/1 xx，对对

6、任任意意给给定定的的0 在在此此邻邻域域内内的的图图形形函函数数)(xfy AyAy和和位位于于以以直直线线.为为边边的的带带形形区区域域内内证,2) 12( x欲使,2/12 x只要几何意义几何意义22 x任意给定 0, 因为例 证明. 2) 12(lim2/ 1 xx所所以以. 4lim22 xx22lim4.xx ,2 故故可可取取,2)( xf必必有有, 31 x不不妨妨设设,5 故故可可取取( )4,f x 必必有有对于任意给定的正数， 252)2( xxx因为,42 x所以要使,25 x只要4)( xf42 x,2/10 x当当证时时，当当 20 x .2/1,2/1, 12121

7、4)(2时时当当无无定定义义时时当当xxxxxxfyx012xx xyyy=f (x)x11/221214lim22/1 xxx例例4. 证明 证证: 0,|12|21214|2)(|2 xxxxf因因要使要使|f (x)2| , 只须只须| 2x 1| . 21214lim21 xxx(本例说明f (x)在x0无定义, 但其极限可能存在)取取 = .则当则当0|2x 1| 时时, 有有|f (x)2|0, 0, 当0|xx0| 时, 有 | f (x) a |0,|2sin22sin2cos2|sinsin| 00000 xxxxxxxxxx因要使|sinx sinx0| , 只须|x x0

8、|0, 0, 当0|xx0| 时, 有 | f (x) a |0, 0. 当当0 xx0 (或或0 x0 x ) 时，有时，有|)(|axf则称则称a为为f (x)当当xx0的右极限的右极限(或左极限或左极限), 记作记作)( ,)( )(lim00 xxaxfaxfxx，也可记作)( ,)( )(lim00 xxaxfaxfxx，也可记作或左、右极限左、右极限例：例：设f (x) = 1 ,当x0时, x,当x0时,).(lim0 xfx讨论解：解： f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点. 由于当x0, 0, 当0|xx0| 时, | f (x) a |0, 0. 当0 x

9、x0 (或0 x0 x 0时,).(lim0 xfx讨论解：解： f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点. 由于当x0时, 对应的函数值f (x) =-x.)(lim 0 xfx故由于当x0时, 对应的函数值f (x) = x.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.0lim0 xx0 例例6：设 f (x) = x ,当x0时,sinx, 当x0时,).(lim0 xfx讨论解：解： f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点. 由于当x0时, 对应的函数值f (x) =x.)(lim 0

10、 xfx故由于当x0时, 对应的函数值f (x) = sinx.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.0lim0 xxxxsinlim0 00sin例例7：设 f (x) = x ,当x0时,cos x, 当x0时,).(lim0 xfx讨论)(lim 0 xfx而)(lim 0 xfx 解：解：左、右极限存在, 但不相等,.)(lim 0不存在故xfxxx0lim= 0 xxcoslim0 10cos以后, 常用下列记号表示函数的左, 右极限)(lim)0( ),(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 看

11、图x0+cosxxyx01yy.)(lim)(0存在，则极限唯一若xfxxx)0(0,)(lim)( 0aaaxfxx或若保号性定理时，当则 |00oxx, 0),0(0,)(limaaaxfx则或若)0)(0)(|xfxfXx或时，有当定理2.定理3.) 0)( 0)(xfxf或有.)(lim),0)(0)( )(0存在且或若xfxfxfxxx).0)(lim(0)(lim )()(00 xfxfxxxxxx或则. 0)(lim0)(0 xfxfxx，也只能推出即使: :注意注意0|1lim01 0 x|x|xx，但如推论:定义5: 若存在x0的某去心邻域 (x0)，使得f (x)在 (x0)内有界，则称f (x)是x xo时的有界量.若 0，使得f (x)在(, X)(X, +) 内有界, 则称f (x)是x时的有界量.比如y=x2在定义域(, +) 内是无界的, 但在 x=0的某个小邻域内是有界的. 因此, y=x2是x0时的有界量.y=x20 xyM).(01从函数图形上可看出时的有界量不是 xxy0yxxy1.)(时的有界量或x0)()(,)(lim若0 xxxfxfxxx是则存在比如: y=sinx在(,+)内有界，是x时的有界量. 但.sinlim不存在xx定理4.定理4的逆命题不成立.cosl