清华大学本校用理论力学课件11-2单自由度系统的自由振动

1、第第11章章运动特性 简谐性 周期与初始条件无关 振幅与初位相取决于初始条件 常力的影响: 振动中心移到静平衡位置 固有频率的计算方法20kxp xpmFkxmxkx sin()xApta2200020tanxpxAxpx自由振动: 质点仅在弹性恢复力作用下运动 第第11章章mxkxmgmxmgkxsin()ssmgxAptak()smxmgkxmxkx 0mxkxsin()xAptakl0Oxsm|坐标原点取在平衡位置 返回kl0Oxsm|坐标原点取在弹簧原长第第11章章20 xp xskkggpmmg|静变形法|能量法sin()xApt2221cos ()2TmA ppt221sin ()

2、2VkAptmaxmaxTVkpm|其它方法返回|运动微分方程法第第11章章12()0mxkkx12kkpm|静变形法12smgkk12sgkkpm|能量法 (以静平衡位置为势能零点)22max12Tmp A2max121()2VkkAmaxmaxTV12kkpm|运动微分方程法 (以静平衡位置为原点)1k2kstP第第11章章如图所示，在无重弹性梁的中部防置质量为m的物体，其静变形为2 mm。如将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。stFOxxmg第第11章章此无重弹性梁相当于弹簧，其刚度系数为：/stkmg取重物平衡位置为坐标原点，运动微分方程为()stmxmgkxkx 20

3、 xp x/70rad/sstpk mg220000(/)2mm,argtan(/)/2Axxppxx 初始条件：002,0 xmmx 系统的振动规律2cos70 ()xt mm stFOxxmg第第11章章质量m = 0.5kg的物块沿光滑斜面( = 30)无初速下滑。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧(k = 0.8kN/m)上不再分离。求物块的运动规律。xxoOmgNFFhA第第11章章初始条件为：0003.06mm,21.4m/sxxgh 以物块的静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。受力图如图示。物块的运动微分方程为；0sin()mxmgkx20 xp x40rad/sp

4、2220000/35.1mm,arctan(/)0.087radAxxppxx 35.1sin(400.087) mmxt物块的运动方程为：xxoOmgNFFhA第第11章章质点在弹性恢复力及阻力作用下运动mxkxcx 220 xnxp x2cnm利用特征根法，有 0mxcxkx2220np2211npippn temgvkcxokfcfm第第11章章np设阻尼比为1sin()ntxAep ta小阻尼 ( 1)临界阻尼 ( = 1)12()ntxeCC t22001002100(),tanxnxp xAxpxnx1npi 221ppn第第11章章|大阻尼 ( 1) 和临界阻尼 ( = 1) 时不再具有振动性质 |仍可定义周期 T1 及频率 p1，p1 T11nTmimixex|振幅按几何级数衰减，减幅系数 11ln2nTpT| 小阻尼时，阻尼对频率影响小，对振幅影响大 当=5%时，T1 = 1.00125T, = 1.37|小阻尼时，增加阻尼会使得运动衰减变快，大阻尼时则正好相反。第第11章章大阻尼时衰减振动小阻尼时衰减振动返回第第11章章返回第第11章章一个具有粘滞阻尼的质点-弹簧系统，在自由振动了N周后其振幅减为原来的50%。求其阻尼比第第11章章按题设条件有11()()2iintnNTmin tNTm