现代控制理论-11

1、现代控制理论Modern Control Theory(11)俞 立浙江工业大学 信息工程学院李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析中的应用李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析中的应用参数优化问题系统模型：选择参数，使得系统是渐近稳定的，且具有一定性能性能性能：稳态性能；动态性能稳态性能稳态性能：稳定性、稳态误差动态性能动态性能：上升时间、调节时间、超调、振荡、稳定性稳定性：应用李雅普诺夫方法问题问题：动态性能如何刻画？0)0(,)(xxxAx系统模型：考虑函数x(t)的曲线面积两个变量：一般的：Q是对称加权矩阵。性能指标最小化反映动态性能的优化。0)0(,)(xxxAx0TdtJQxx0( )x

2、t dt20( )xt dt22120( )( )xtxt dt221 1220( )( )xtxt dt积分二次型积分二次型性能指标性能指标111202200 xx xdtx选取参数 ，使得系统 稳定 对任意给定的对称正定矩阵R存在惟一对称正定解矩阵P。 是系统的李雅普诺夫函数，且对上式积分，并利用渐近稳定性，即：RPAPA)()(TPxxxT)(VRxxxTd)(dtV0d ( )ddVttx0T00TdPxxRxxt( )xAxT0dtx Rx( ( )( (0)V xV xT00 x Px通过求解一个代通过求解一个代数方程来求积分数方程来求积分性能指标值其中，P是以下李雅普诺夫方程的对

3、称正定解矩阵：既保证系统稳定、又使得性能尽可能好的问题转化为条件极值问题 min s.t. 优化问题的求解方法：1、求方程，转化为无约束优化问题2、求稳定点：0T0 xPx)(JQPAPA)()(T0JTT000dtx Qxx PxT( )( ) APPAQ例例 确定阻尼比 的值，使得在单位阶跃输入下，最小化。其中 假定系统在初始时刻是静止的。)2(1sse(t)r(t)+_y(t)0teeJd022)(yre系统的传递函数是动态方程是 由于输入r是单位阶跃函数，故误差方程：121)()(2sssRsYryyy 2yre222eeeryryry0)0(, 0)0(rr 0)0(, 1)0(,

4、02eeeee )2(1sse(t)r(t)+_y(t)22rrryyy2rr针对定义状态变量：性能指标其中，0)0(, 1)0(, 02eeeee exex21,xx2110ttxxxxtxxteeJdd001d)(d)(0T2102102221022xQx100Q01)0()0(21xx由误差状态空间模型：当 时，系统稳定，故性能指标其中的矩阵P满足即 0TT0d(0 )(0 )Jtx QxxPxQPAPAT001211021102212121122121211pppppppp4121211Pxx2110性能指标值若 ，则 减小，强调误差 e(t) 的能量消耗。41)0()0(TPxxJ0

5、4112J211707. 022min0( )( )d2Je te tt002dtteJ)(5 . 0基于李雅普诺夫稳定性理论的控制器设计基于李雅普诺夫稳定性理论的控制器设计 例 检验系统的渐近稳定性。若不渐近稳定，则构造一个控制律，使闭环系统渐近稳定。解 系统的一个状态空间模型系统的极点在虚轴上。s1s1ux2x1y-uxxxx1001102121根据系统是振荡的，不是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。选取李雅普诺夫函数uxxxx1001102121ttttetcossinsincosA201021cossinsincos)()(xxtttttxtx1 122d ( ) d22Vtx xx xx2

6、221)(xxVx2kxu(0)k 22d ( )dVkxt x1 22122()x xxxu22x u系统模型李雅普诺夫函数关于时间的导数是半负定的。在非零轨线上， 不恒等于零，闭环系统是渐近稳定的。uxxxx10011021212221)(xxVx2kxu(0)k 22d ( )dVkxt x22d ( )0dVkxt x20 x10 x根据第二个方程，d ( )dVtx离散时间系统的稳定性分析离散时间系统的稳定性分析 系统模型：能量函数：前向差分：稳定性条件：存在对称正定矩阵P，使得)() 1(kkAxx)()()(TkkkVPxx( )(1)( )V kV kV k0 PPAATTT(1)(1)( )( )kkkkxPxxPxTT( )( )( )( )kkkkAxPAxxPxTT( )() ( )kkxA PAP x定理定理 线性离散时不变系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称矩阵Q，使得矩阵求解方法： 线性矩阵不等式方法 李雅普诺夫方程方法存在对称正定解矩阵P。矩阵Q的取法：0 PPAATT A PAPQQI离散时间离散时间李雅普诺夫方程李雅普诺夫方程 例例 确定系统渐近稳定的条件。解 离散时间李雅普诺夫方程 矩阵P正定的条件： ， 这