第一章静电场(一)

1、第一章 静电场(一)2第一章静电场(一)1-1 电场与电场强度电场与电场强度1-2 电场的叠加原理1-3 电场的图示1-4 真空中的高斯通量定理1-5 电介质中的高斯通量定理1-6 电场强度 的环路定理与电位函数1-7 电位梯度1-8 静电场的边界条件1-9 微分形式的高斯定理1-10 微分形式的电场强度环路定理1-11 泊松方程与拉普拉斯方程1-12 静电场的边值问题 E31-1 电场与电场强度电场的物质性与电场强度电场的物质性与电场强度 摩擦生电(或接触起电)这一现象的最古老的发现者是我们的祖先和古希腊人。在我国古代的书籍中，曾有“玳瑁拾芥”的记载。 带电体周围的空间，存在着一种特殊运动形

2、态的物质电场电场。 当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电场给予的力。这种力，人们通常称之为电场力电场力。电场能对电荷施力作功，说明电场具有能量，这是电场物质性的重要表现。两点电荷间(或两带电体间)的力，正是通过电场而进行传递的。4 微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点电荷电量之比的极限，通常以 表示式中：q为正的试验点电荷的电量，在国际单位制(SI)中，电量的单位为库仑(C)； 为正的试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿(N)。 电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，在国际单位制(SI)中场强的单位为伏特每米(V/m) 。注：注： 1V/m=1N/Cq0limFEq 电场强度的

3、定义电场强度的定义(1-1)EF5根据库伦定律，导出点电荷电场强度的普遍表达式 (12)式中： 为从点电荷q指向场中任意被研究点A的单位矢量。 注意： (1)这一表达式只适用于点点电荷的情况。 (2)在数学中的“点”没有大小而仅有几何位置。在实际问题中，只要判定带电体的几何尺寸远小于带电体至被研究点的距离时，不管带电体的形状如何，均可认为式(12)成立。物理意义下的“点”是相对而言的。0204qERR0R点电荷的电场强度点电荷的电场强度 61-2 电 场 的 叠 加 原 理电场的叠加原理电场的叠加原理 “力”服从叠加原理。电场强度是单位正点电荷所受的电场力。显然，在媒质电容率与场强无关的情况下

4、(称这种媒质为线性的)，电场强度亦服从叠加原理。 因而因而在由若干个点电荷共同激发的电场中，任在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在一点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度的矢量和时，该点所具有的电场强度的矢量和(矢量叠矢量叠加加)。这一结论称之为场的叠加原理。这一结论称之为场的叠加原理。7 图1-1 分布电荷的线电荷元在空间点A产生的场强电荷作任意分布时电场强度的计算电荷作任意分布时电场强度的计算式中：dq为线元dl上所具有的电量。因而的单位为库仑每米(C/m)。 当电荷沿空间曲线 连续分布时，空间任一点的场强式中：R为线元 至被

5、研究点的距离； 为线元 指向被研究点方向上的单位矢量。0limlqdqldl 020d4llERR(1-3)(1-4)当电荷作线状分布时，电荷线密度的定义为0Rldldl8图1-2 面分布电荷的面电荷元在空间点A产生的场强 当电荷沿空间曲面作面分布时，引入电荷面密度式中：dq为面元 上所具有的电荷量。因而，的单位为库仑每平方米(C/m2)。当电荷沿空间曲面S S连续分布时，空间任一点的电场强度为 式中：R为面元 至研究点的距离； 为面元 指向研究点方向上的单位矢量。0limSqdqSdS (1-6)(1-5)0RSdSdSd02s0ds4ERR9图1-3 体分布电荷的体电荷元在空间点A产生的场

6、强 (1-7)(1-8)当电荷在空间作体积分布时，引入电荷体密度式中：的单位为库伦每立方米(C/m3)。当电荷在空间作体积分布时，空间任一点的电场强度为 式中：R为体积元dV至研究点的距离； 为体积元dV指向研究点方向上之单位矢量。0limVqdqVdV 02V0dV4ERR0R10解：解：建立一直角坐标系，令z轴通过带电直线，坐标原点o重合于带电直线的中点，如图1-4所示。由于电场对带电直线作轴对称分布，因此研究坐标平面xoz上的电场分布具有普遍性。取圆柱坐标系0的半平面上任一点P，令其圆柱坐标为(r，0，z)，此点即在平面xoz上。 图1-4 例1-1图例例1-11-1真空中长度为2L的均

7、匀带电直线，它所带的电荷量为q，试确定直线外任一点处的电场强度。11 设场强 的z轴分量为dEz，径向分量为dEr，则有 式中的l、R、对于不同的线电荷元都是变量，但它们是有联系的，可统一用一个变量来表示2qL2200coscos ,sinsin44zrdldldEdEdEdERR2csc ,cscRrlzrctgdlrd Ed 带电直线的电荷量q在长度2L上均匀分布，线电荷密度为 12因而点P处场强的z轴分量Ez为 (1-9)场强的径向分量Er为 (1-10) 式中：r为场点到带电直线的距离；1和2分别是带电直线的两端点到场点的矢径方向与正z轴方向之间的夹角。21220210cscsin4c

8、sc(cosc s4)oLrrLrEdEdrr 21220210csccos4csc(sinsin)4LzzLrEdEdrr 13 可以进一步看到，当L，即带电直线为无限长直线时，有10,2。这时，由式(1-9)和式(1-10)可得到即电场强度只有径向分量。 00,2zrEErLzLr,1/, 1/zLrLNOTENOTE：经过计算，当场点到带电直线的距离较之到直线两端的距离小得多时( )，运用无限长带电直线的场强计算公式求解该点场强，可以获得足够精确的结果。同样，经过计算，在远离长度为2L的带电直线处( )的电场强度，相当于全部电荷量q集中在直线中点处的点电荷所产生的电场强度。141-3 电

9、场的图示电力线电力线 法拉第提出以电力线或场强线来描绘场的图形，其作法有两点： 一、电力线是空间有向曲线。曲线上每点的切线方向，应该代表该点处的电场强度方向。可见电力线在空间是不能彼此相交的。电力线只能起自正电荷而止于负电荷，它不能中断于无电荷处，也不能自行闭合。 二、通过垂直于力线的微小面元单位面积上的力线数等于该面元上的电场强度的数值。这样各点电场强度的大小，就能以电力线分布的疏密程度来表示。15+-？16电场的形象化电场的形象化 引入电力线后，观察场所具有的规律： 其一，电力线(场强矢量 线)是有源头的，电荷就是它的源头,确切地说正电荷是其正源头，负电荷是其负源头，因此，静电场(即电场强

10、度矢量 场)为有源场； EEE其二，电力线(场强矢量 线)不能自行闭合，它不是旋涡矢量线，因而静电场中既没有旋涡线，也没有旋涡点，静电场为无旋涡场，或者是无旋场。 这是静电场自身所具有的区别于其它场(例如磁场、流速场等等)的特点。17图1-5 曲面法线与场强方向夹角ESE dS1-4 真空中的高斯通量定理(1-11)电场强度通量电场强度通量 电场强度 (矢量)沿任一有向曲面S S的曲面积分，以 表示 场强通量的单位为伏特米(Vm)， 为通过面元 的电力线数，因而通过曲面S S的场强通量，即为通过曲面S S上每一面元 的电力线的代数和。闭合曲面S的场强通量SESdE(1-12)EESdESdSd

11、18 静电场中，当媒质为真空时，通过任一闭合曲面S的电场强度通量，等于该曲面所包含的电荷量的代数和与真空电容率0之比。 式中： 为相应面元 上的电场强度，它由空间所有电荷所共同激发；q为闭合曲面S内电荷量的代数和。 0SqE dS 高斯通量定理用数学语言定量揭示了穿过任意闭合曲面的场强通量与曲面内电荷(源)的关系。在大的空间范围内描述了静电场的性质。它说明静电场是一个有源场。(1-13)真空中的高斯通量定理真空中的高斯通量定理ESd19高斯定理的应用高斯定理的应用-求对称电荷分布的场强分布 球、面、轴对称的电场分布以及球、面、轴对称的电场的叠加。 利用高斯定理的解题步骤：、对称分析；、选择合适

12、的高斯面，求高斯定理等式左端的通量；求高斯定理等式右端的面内总电荷；（要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将 提到积分号外； 要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等，以便将cos提到积分号外； 要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积）、利用高斯定理求电场分布。E解解 电荷分布为球对称， （RR1 ） R1RR2即球层以外，有 可以看出球层以外的电场分布，同全部电荷量q集中于球心的点电荷的情形一样。3204qER332143rqRRq2034RqEr22图1-6 例1-3图证证 若将球形空腔填满体电荷，则可得出半径为R2的球体内各点的场强 为球心02至场点P的矢径。2203rE例

13、例1-31-3真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为R2，电荷体密度为常数，球内存在一个半径为R1的球形空腔，两球心距离为 ，且 +R1R2时，就不能运用高斯定理计算。03aE1raaarr12241-5 电介质中的高斯通量定理 一般情况下，电场并不总是处在真空中，可能存在于各种不同媒质中。此时，静电场是有源场这一特性不会改变，只是当外界媒质条件改变时，高斯定理应作量方面的修改。 若在电容率为0的真空媒质中，放入其它电介质，在电场的作用下，电介质将受到极化，其分子的正、负电荷等效中心将受到电场力的影响而产生一微小位移，亦即形成电偶极子电偶极子。在均匀介质内部仍然呈现中性，但在不同介质的左、右

14、两侧边缘处左、右两侧边缘处，则附着了过剩的或正或负的束缚电荷。25图1-7 束缚电荷对电场的影响(a)分子极化示意； (b)介质极化示意 电介质边缘束缚电荷对电场的影响电介质边缘束缚电荷对电场的影响无极分子（无极分子（Nonpolar moleculeNonpolar molecule）在无外场作用下整个分子在无外场作用下整个分子无电矩无电矩。例如，例如，COCO2 2 H H2 2 N N2 2 O O2 2 H He e有极分子（有极分子（Polar moleculePolar molecule）在无外场作用下存在在无外场作用下存在固有电矩固有电矩例如，例如，H H2 2O Hcl CO

15、SOO Hcl CO SO2 2 因无序排列对外不呈现电性。因无序排列对外不呈现电性。2 2 电介质的分子：电介质的分子：1 1 电介质是由大量电介质是由大量电中性的分子组成电中性的分子组成的绝缘体。的绝缘体。 紧束缚的正负电荷在外场中要发生变化。紧束缚的正负电荷在外场中要发生变化。一、电介质：一、电介质：电介质的极化电介质的极化 电子云的正电中心0E位移极化位移极化取向极化取向极化0E位移极化位移极化 Displacement polarization 主要是电子发生位移主要是电子发生位移3 3 电介质的极化电介质的极化：PolarizationPolarization取向极化取向极化 Or

16、ientation polarization 由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。l在外电场中的电介质分子在外电场中的电介质分子无极分子只有无极分子只有位移极化位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。，感生电矩的方向沿外场方向。无外场下，所具有的电偶极矩称为无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩固有电偶极矩。在外电场中产生在外电场中产生感应电偶极矩感应电偶极矩（约是前者的10-5)。有极分子有极分子有有上述两种极化机制。上述两种极化机制。在高频下只有位移极化。在高频下只有位移极化。0E0E4 4 极化电荷极化电荷 Polarization

17、 charge or bound charge 0E0E在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介质表面要出现电荷，这种电荷介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到不能离开电介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们。我们称它为称它为束缚电荷或极化电荷束缚电荷或极化电荷。它不象导体中的自由。它不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。电荷能用传导方法将其引走。在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化电介质的极化。二、二、电极化强度电极化强度 Polariza

18、tionPolarization在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计平均值，在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计平均值，为了描述电介质在外场中的行为引入一个物理量：为了描述电介质在外场中的行为引入一个物理量：VpPieiVdeflim其中其中 是第是第i i个分子的电偶极矩个分子的电偶极矩eip单位是单位是 库仑库仑/ /米米2 2 、C/mC/m2 2.1 1、电极化强度矢量电极化强度矢量以下将以下将电极化强度矢量电极化强度矢量简称为简称为极化强度极化强度束缚电荷就是指束缚电荷就是指极化电荷极化电荷。2 2、极化（束缚）电荷与极化强度的关系：极化（束缚）电荷与极化强度的关系：可证明可

19、证明对于均匀的电介质，极化电荷对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表面集中在它的表面。电介质产生的一切宏观效果都是通过未抵消的束缚电荷电介质产生的一切宏观效果都是通过未抵消的束缚电荷来体现。下面讲束缚电荷分布与极化强度的关系来体现。下面讲束缚电荷分布与极化强度的关系在介质中引入极化强度力线在介质中引入极化强度力线来描述它在外场中的极化。来描述它在外场中的极化。沿着此曲线取一长度为沿着此曲线取一长度为dldl在其在其内部极化可视为是均匀的。垂内部极化可视为是均匀的。垂直于此曲线的横截面直于此曲线的横截面dSdS组成一组成一个小圆柱体，因而该体元具有个小圆柱体，因而该体元具有电偶极矩电偶极矩 ，根

20、据，根据定义它可视为两端定义它可视为两端具有具有 电荷的偶极矩电荷的偶极矩dSdlPdSdSdldldSP.FLUXl ddSdSP如果在电介质内任选一面如果在电介质内任选一面 的法线的法线 与与 成成 角角则：则：PdSn 表明：表明：任选一面任选一面 上上束缚电荷面密度束缚电荷面密度 等等于极化强度矢量在该于极化强度矢量在该面法线方向上的分量面法线方向上的分量 dSPPndSdlpiei)cos(eiipdldSnPdSdldldSP.dSPl dnPdSl dl ddSPnl dPndSdSSdPnP 在非均匀电介质中，有束缚在非均匀电介质中，有束缚电荷的积累。根据电荷守恒得：电荷的积累

21、。根据电荷守恒得：0SSdP，00nP 在均匀电介质内部，在均匀电介质内部，束缚电荷彼此束缚电荷彼此抵消抵消，束缚电荷仅出现在介质表面。，束缚电荷仅出现在介质表面。nPinsideSSSqdSSdP通常通常定义定义 为介质外法线方向为介质外法线方向。n 00nPl ddSPn极化强度力线极化强度力线dSSdPinsideSSSqdSSdP在任一曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。在任一曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。三、退极化场三、退极化场 电介质在外场中的性质相当于在真电介质在外场中的性质相当于在真空中有适当的束缚电荷体密度分布空中有适当的束缚电荷体密度分布在其内部。因此可用在其

22、内部。因此可用 和和 的分布的分布来代替电介质产生的电场。来代替电介质产生的电场。在外电场在外电场 中，介质极化产生的束缚中，介质极化产生的束缚电荷，在其周围无论介质内部还是外电荷，在其周围无论介质内部还是外部都产生附加电场部都产生附加电场 称为称为退极化场退极化场。任一点的总场强为：任一点的总场强为：E0E0EEE+QQ退极化场退极化场四、四、电介质的极化规律电介质的极化规律 实验表明实验表明: :EPe0e称为电极化率或极化率称为电极化率或极化率 polarizabilitypolarizability在各向同性线性电介质中它是一个纯数。在各向同性线性电介质中它是一个纯数。EEP0E是自由

23、电荷产生的电场。是自由电荷产生的电场。E极化电荷产生的退极化场极化电荷产生的退极化场 depolarization fielddepolarization field0EEE是电介质中的总电场强度。是电介质中的总电场强度。0EPn n nPE几种电介质：几种电介质：e线性各向同性电介质，线性各向同性电介质， 是常量。是常量。压电体压电体piezoelectricspiezoelectrics 有压电效应、电致伸缩有压电效应、电致伸缩 electrostrictionelectrostriction。铁电体铁电体 ferroelectrics ferroelectrics 和和 是非线性关系；是

24、非线性关系；并具有电滞性（类似于磁滞性），如酒石酸钾并具有电滞性（类似于磁滞性），如酒石酸钾钠钠 、BaTiOBaTiO3 3 。PE永电体或驻极体，永电体或驻极体，它们的极化强度并不随外场的它们的极化强度并不随外场的撤除而消失，与永磁体的性质类似，如石腊。撤除而消失，与永磁体的性质类似，如石腊。四、电位移矢量、有电介质时的高斯定律：四、电位移矢量、有电介质时的高斯定律：SSqqSdE)(100SSqSdP 定义：定义：PEDdef0电位移矢量电位移矢量electric displacementelectric displacement自由电荷自由电荷束缚电荷束缚电荷根据介质极化和根据介质极化

25、和真空中高斯定律真空中高斯定律SSSSdPqSdE00011SSqSdPE00)(PEDdef0VeSdVSdDeD自由电荷自由电荷SSqSdPE00)(退极化场通过任一闭合曲面的电位移通量，等于通过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和。该曲面内所包围的自由电荷的代数和。物理意义物理意义电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。与束缚电荷无关。与束缚电荷无关。电力线起始于正电荷终止于负电荷。电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由电荷和与束缚电荷。包括自由电荷和与束缚电荷。该积分方程的微分形式：该积分方程的微分形式：EEPED

26、e0000(1)eDE EEDr00 称为称为电容率电容率permittivity permittivity 或或介电常量介电常量dielectric constantdielectric constant。r 称为相对电容率称为相对电容率或相对介电常量。或相对介电常量。Xe Xe 电极化率电极化率退极化场 之间的关系：之间的关系：EDP、)1 (er0r解：导体内场强为零。解：导体内场强为零。0qSdDS024rqRDrr因为因为EDr00204rqErrrR 0q 均匀地分布在球表面上，均匀地分布在球表面上，球外的场具有球对称性球外的场具有球对称性R0qr高斯面高斯面EPe0EEPren0

27、0) 1(204)11rqr（例一：一个金属球半径为例一：一个金属球半径为R R，带电量，带电量q q0 0, ,放在均匀的放在均匀的介电常数为介电常数为 0 0 r r电介质中。求空间任一点场强及界面处电介质中。求空间任一点场强及界面处 ？rEE000EDrEE/0上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时，上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时，或当均匀电介质的表面正好是等势面时，有：或当均匀电介质的表面正好是等势面时，有：例二：例二：平行板电容器充电后，极板平行板电容器充电后，极板上面电荷密度上面电荷密度 ，将两板与电源断电以后，再插入将两板与电源断电以后，再插入 的电介质后计算空隙

28、中和的电介质后计算空隙中和电介质中的电介质中的mC/1077. 1608rPDE、+ 0 0因断电后插入介质，所以极板因断电后插入介质，所以极板上电荷面密度不变。上电荷面密度不变。EDr0+ 0 0电位移线垂直与极板，电位移线垂直与极板，根据高斯定律根据高斯定律高斯面高斯面高斯面高斯面SSDDIII0)(IIIIIIISSDDIIII0)(0IID0IIID00IIErIIIE00EPe0rrIIIeEP0000) 1(0)11 (r电位移线电位移线退极化场退极化场43 考虑了介质边缘处的束缚电荷，可认为场中介质的电容率为0，或者考虑了介质边缘所出现的束缚电荷之后，可认为电场处在真空媒质之中。

29、 高斯定理修改如下 (1-14)0qqSdES图1-8 束缚电荷示意图式中：q为闭合曲面S内存在于介质交界面上的所有束缚电荷量。440SSqP dSE dS电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理 当介质受到极化时，不同介质交界边缘处的束缚电荷，是介质内分子束缚电荷微观位移的结果。引入电极化强度矢量 来描述(1-16)(1-15)SqP dS (1-17)(1-18)(1-19)qSdPES0SD dSqEPe0EEEEEDree00001整理后或在各向同性线性介质中，由于P电位移矢电位移矢量单位量单位 C/m245 为包括束缚电荷在内的全部电荷所激发的电场的场强；r=/o称为电介质的相对电容率；

30、e=r-1称做电极化率； 称之为电位移矢量，在国际单位制中，其单位为(C/m2)，其所包含的第二项 为介质极化时由束缚电量位移所引起的效应，故得名为电位移矢量 . 式(1-18)就是静电场中基本定理的积分形式电介质中的高斯定理，表明：电场中，通过某闭合曲面S的电位移矢量D的通量(电通量)，等于该闭合曲面内所包含的自由电荷量的代数和。 类比电力线类比电力线，可引入电位移矢量 的通量概念，称之为电通量。应当特别注意， 线必发自正的自由电荷，而止于负自由电荷。ED0eE DDD46 在引入电位移矢量 后，高斯定理在形式上撇开了电介质影响。但这并不是说 的分布与无关。如图1-19(a)、(b)所示这样

31、两个电场，场中导体形状相同，所带电荷量亦完全相同，但介质分布状况彼此不同。此时它们的电位移矢量 的分布则完全不同，其电场强度 的分布也完全不同。但是，通过包围导体高斯面S的 的通量却是完全相同的。图1-9 线的分布(a)同一介质内的 线分布；(b)穿过两不同介质的 线分布DDDDDDDE471-10 例1-4图例例1-41-4一单芯电缆其芯线半径R1=0.5cm，外面金属包层的内半径R2=2cm，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的电荷量为= 5.5610-7C/m。若芯线外面紧包一层相对电容率r1=5的固体电介质，其外半径为R0=1.25cm；而固体介质之外充满相对电容率r2=2.5的绝

32、缘油。求电缆内电场强度 的分布以及介质交界面上的极化电荷面密度。E48解解 根据问题的对称性，在距离芯线轴线为R的各点上电位移矢量 的大小相等，方向为径向。因此，选择与轴线垂直的上下底面S1、S2与半径为R的圆柱面S3共同组成高斯面S，设S1与S2之间距离为单位长度，则根据高斯定理12312001 21,22SsssD dSDRDDR R RERR 3110511322052501002215022 10,(/)2,4 1,4 10,(/)2;,2 10 (/)1.6 10 (/);0 (/),3.2 10 (/)rrR R RRREVmRRRREVmRRRREVmR RREVmRREVmEV

33、m D49 设 为交界面上自介质r1的指向介质r2的单位矢量，则 为介质r1因极化而进入进入交界面的极化电荷面密度； 为介质r2因极化而留在留在交界面上的极化电荷面密度，交界面上极化电荷面密度为 26202101212121/1042. 1mCEDEDPPnPnPPPnnnn2510111/1042. 1mCEDPnPnnPPn11nPPn22n芯线表面R=R+1处的极化电荷面密度为 内层插入电容率较大的介质可降低电缆绝缘层中的电场强度内层插入电容率较大的介质可降低电缆绝缘层中的电场强度如果内层介质也采用相对电容率为2.5的介质，则运用上述方法，可求得1将由-1.4210-5C/m2改变为-1

34、.06210-5C/m2。501-6 电场强度E E的环路定理与电位函数静电场中电场强度静电场中电场强度E E的环路定理的环路定理 静电场中，电场强度静电场中，电场强度 沿任意闭合环路沿任意闭合环路l的有向的有向曲线积分恒等于零，曲线积分恒等于零，(1-20)0ll dE 这一积分形式定理说明，静电场是无旋场静电场是无旋场，静电场中场强矢量线(电力线)不可能是闭合曲线或旋涡线。E周四上午晚上的！周四上午晚上的！51图1-11 电场力作功路径图 上式说明，当将单位正点电荷由点A搬移至点B时，其所作之功与作功选取的路径无关，而仅决定于A、B两点的位置。 1.A、B两点间两点间电位差或电压电位差或电

35、压 其值为将单位正点电荷从点A搬移至点B时，电场力所作之功。在国际单位制中，其单位为伏特(V)。静电场中的电位函数静电场中的电位函数取任意闭合路径AmBnA有(1-22)AnBAmBBnAAmBAmBnAl dE00BABAE dl(1-23)522.2.点点A的电位的电位单位正正点电荷从点A搬移至参考点搬移至参考点P时，电场力所作之功时，电场力所作之功，即场中任意点A对参考点（零电零电位点位点）的电位差值。 在电荷分布于有限区域的情况下，一般选择无限远处为参考点，此时PAAE dl(1-24)(1-25) 场中某点的电位亦是表征该点电位能的物理量，它表示单位正点电荷在电场中该点所具有的位能单

36、位正点电荷在电场中该点所具有的位能。020044qAAqRqdRRRE dl积分限AAE dl3.3.点电荷电场的电位点电荷电场的电位534.4.等位线等位线 由电位差的表达式可知，等位线或等位面恒与电场强度E E线(电力线)垂直。5.5.电位的相对性与绝对性电位的相对性与绝对性 电位是一个相对量。场中任一点的电位数值，随场中任一点的电位数值，随参考点选取不同而不同参考点选取不同而不同，但场中任意两点间电位差或任意两点间电位差或电压却是固定的电压却是固定的，它们与参考点的选择无关。()AC常数 的点的集合54例例1-51-5长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。长度L远大于截面尺寸，若缆芯的外

37、半径为R1，外层的内半径为R2，其间绝缘介质的电容率为，试确定其中电场强度与电压的关系。12122112212121l2ln2n,lnUERRURRRURRR1212222121RRlnRdRRdEURRRRRERD22两柱面间的电压解解 作半径为R的同轴圆柱面，R1RR2。设缆芯单缆芯单位长度上的电荷量为位长度上的电荷量为，由高斯定理，5522221122lRRRRE dSREER (1-26)例例1-61-6 圆柱形电容器的柱面之间充满了体密度为的均匀体积电荷，电容率为0,内、外柱面的半径分别为R1和R2，施加电压U12。求电容器内电场强度和电位函数的分布。解解 设其单位长度柱顶的电荷量为

38、，取半径为R (R1RR2)，高度为1个单位的同轴圆柱面，则其所包围的电荷为+(R2-R21)。根据高斯定理12212121212ln24ln221RRRRRRRRdEURR56221212121422lnURRRRR(1-27)将式(1-27)代入式(1-26)中，得21122122122ln4)(RRRRRRRRURE22212212222214( )ln4lnRRURRRRE dRRRRRR57图1-13把单位正点电荷从点A沿l搬至点B1-7 1-7 电位梯度电位梯度电场强度电场强度E与电位函数与电位函数 的微分关系表达式的微分关系表达式 电位电位为一空间点坐标的函数，在直角坐标系中表为

39、 。现若将点A沿x方向，移动单位正点电荷，行经距离x至点P，则有 (1-28)zyxxzyxxExExEPAx,cos00, , ,liiml mxPAxxxx y zx y zxxE (1-29)1.1.推导推导zyx,58xEx yEyzEz即(1-30)(1-31)(1-32)同理场中任意一点A的电场强度 (1-33)zeyexeEeEeEeEzyxzzyyxxzeyexegradzyx记 (1-34)称之为函数称之为函数 的梯度的梯度。梯度的方向是标量函数梯度的方向是标量函数增加率最大的方向。增加率最大的方向。 (1-35)电场强度亦可以用电位梯度表示gradEzyx,592.2.梯度

40、的物理意义梯度的物理意义： 空间任意一点的电场强度，等于该点电位空间任意一点的电场强度，等于该点电位( (函数函数) )梯度的负值。梯度的负值。 电场强度电场强度 的方向总是由高电位指向低电位的方向总是由高电位指向低电位，而电位梯度电位梯度的方向则是和电位函数增加率增加率最快的方向一致，它总的方向是由低电位指向高电位，亦即总的方向是由低电位指向高电位，亦即指向电位升高的方向指向电位升高的方向，故两者恰好反向，因而在表达式上相差一负号。E60例例1-71-7利用点电荷的电位点电荷的电位公式，求解三点电荷q1(4,0,0), q2(0,3,0), q3(4,3,0)在坐标原点的电在坐标原点的电场强

41、度。场强度。解解 空间点P(x，y，z)的电位函数 为一般可得因此31201231, ,4qqqx y zrrr3331,1,1rczrzrbyryraxrx312012314qqqEgradgradgradgradrrr 611323330123233112333333123123441434xyzqxqxq xerrrqyqEgyq zq yq zqrzeerradrrrr 即621-8 静电场的边界条件 静电场的边界，指的是界定场域的静电场的边界，指的是界定场域的周界周界，如，如导体与导体与介质的交界面介质的交界面，介质与介质的交界面介质与介质的交界面。一一. .导体表面的边界条件导体表

42、面的边界条件 1.1.静电平衡静电平衡 导体处于静电平衡状态下，导体内部和导体表面上导体内部和导体表面上任何部分都没有自由电荷运动任何部分都没有自由电荷运动，它具有两个具有两个明显的特征特征： （1）导体内部任何一点的场强为零，电荷只能分布于导体表面，导体为等电位体导体为等电位体； （2）导体表面场强只具有法线分量，其电位移矢量 亦只具有法线分量 。 D63图1-14 在导体与介质的交界面上Dn的边界条件 在导体与介质的交界面导体与介质的交界面上截取一微小面元 。另作一上、下底面积分别为dS2与dS1的微小扁平圆柱体包围此面元 ，扁平圆柱体的上、下底与面元 平行，且面积相等，即(1-36)dS

43、dSdS21 由高斯定理可知，通过此扁平圆柱体表面 的 的通量等于面内所包围的自由电荷量，即有SqSdDS(1-37)2. 2. 的边界条件的边界条件DSdSdSdD64 当微小柱体之高微小柱体之高h00，仅只上底有 线通过，其通量为 ，而扁平圆柱体侧面及下底的扁平圆柱体侧面及下底的 通量通量为零为零，故有 亦即 (1-38) 其中方向 为导体表面的外法线方向。dSdSDSdDn2nnDDE 式(1-38) 说明，导体表面任一点的电位移矢量导体表面任一点的电位移矢量 的的法线分量等于该点的自由电荷面密度法线分量等于该点的自由电荷面密度。DD1SdDnD65图1-15 在导体与介质交界面上Et的

44、边界条件 在导体与介质交界处作一微小矩形导体与介质交界处作一微小矩形 ，使两长边dl1、dl2,分别跨于介质与导体之中，且dl1=dl2=dl，若令其两长边无限紧贴导体表面(此时矩形的短边趋于零矩形的短边趋于零)，沿此微小矩形 ，取场强E的环路积分，有ll0, 0tlEl dE 上式说明，导体表面任一点电场强度 的切线分量恒为零；导体表面为等位面，电场强度与导体表面垂直导体表面为等位面，电场强度与导体表面垂直。3. 3. 的边界条件的边界条件EE66nnEDD0tEnC4.4.小结小结：导体表面的边界条件为事实上，上述边界条件是导体静电平衡的表现。事实上，上述边界条件是导体静电平衡的表现。(1

45、-41)67图1-16 高斯定理运用于不同媒质交界处 二二. .不同介质交界面不同介质交界面的边界条件的边界条件1. 1. 的边界条件的边界条件 先作扁平圆柱体，其上、下底面积相等，dS1dS2dS，分别位于1及2的电介质中，当上、下底无限紧靠时，圆柱体的高度趋于零。若若在介质交界面有自由电荷面密度存在，运用高斯定理于此圆柱体表面有 (1-42)SD dSdS1121222211nnnnDdSDDdSDdSDDdSSdSd(1-43)21, 0nnDD若则 (1-44)D68 当边界面存在自由电荷面密度时，边界两侧无限靠近的两点 的法线分量不法线分量不连续，其差值应为该点处的连续，其差值应为该

46、点处的自由电荷面密度自由电荷面密度。图1-17 交界面电荷不为零， 线不连续 若介质交界面无自由面电荷，则边界两侧无限靠近的两点仅有 的法线分量连法线分量连续续。但 线总是连续的。图1-18 两不同媒质交界交界面电荷为零面电荷为零， 线连续DDDDD69图1-19 环路定理用于不同媒质交界处作微小矩形积分路径 ，其长边相等， dl1=dl2=dl ，并分别位于1及2的电介质中，矩形短边趋于零。运用运用E的环路定理的环路定理，有 此式说明，在不同介质交界面两侧无限紧靠的两点，仅有其电场强度E的切线分量连续。l0ll dEttEEl dEl dE2122110 边界面无限靠近的两点的电位相等边界面

47、无限靠近的两点的电位相等( )与与无限靠近的两点的电场强度切线分量相等无限靠近的两点的电场强度切线分量相等是互为因是互为因果关系的，两者具有等效关系。果关系的，两者具有等效关系。1221212. 2. E E的边界条件的边界条件(1-46)(1-47) (1-45)70图1-20 与两不同媒质交界面平行， 线连续图1-21 与两不同媒质交界面不平行， 线不连续 除除电场方向与介质交界面平行外，一般说来电场强度 在介质交界面上是不连续的。因为在介质交界面附有束缚电荷附有束缚电荷。EEEEE71nnDD12nnDD12ttEE2112212112221211nn121122nn 3. 3.小结小结

48、 两个不同介质交界面处的边界条件为 (当交界面存在自由面电荷时) (当交界面不存在自由面电荷时) 12表示不同介质的交界面表示不同介质的交界面； 分别表示边界面两侧的电位函数。(1-52)(1-51) (1-50)(1-49)212112nnnnttDDDDEE用电位函数表示即21,周四早晚周四早晚(1-53)121122121112122212sinsin,coscosttnnEEEEDDEEtgtg 4.4.结论结论 无论导体与介质交界面，或介质与介质交界面，在交界面两侧，除特殊情况外，电场强度 与电位移矢量 均将发生突变。因而场的边界处边界处(边界面)，可视为场量 、 的突变处突变处(突

49、变面突变面)。 EEDD5.5.折射定理折射定理 在各项同性介质中在各项同性介质中将式(1-51)、式(1-52)综合得不同介质交界处电场的折射定理从数量上描述了不同介质电容率对电场折射角的影响。73例例1-8 1-8 如图所示，由x=0，x=3的两平面所分隔开的区域,中，分别填充相对电容率为r1，r2，r3的三种介质，其中r3=2r2=4r1。已知区域(x0)中均匀电场的场强为V/m6581111zyxzzyyxxeeeeEeEeEE求区域、中的场强 。图1-22 例1-8图解解 设22223333xxxxyyyzzyzzEE eE eE eEE eE eE e32,EE742, 432xx

50、EE65123123 zzzyyyEEEEEE,23456/,256/xyzxyzEeee VmEeee Vm于是得又根据介质分界面上电场强度的切向分量连续，有21021010230220110321428xrxrrxrxrxrxxxEEEEEDDD 751-9 1-9 微分形式的高斯定理微分形式的高斯定理 设有 场，在场中作一含有任意点A的任意闭合高斯面S，其体积为V，令曲面S以任意方式围绕点A无限紧缩，使曲面S所包围的体积V趋于零，定义下述比值的极限为点A的电位移矢量 的散度散度,记为1.1.推导推导0divlimSvD dSDv (1-54)图1-23 直角坐标下的体积元 以点A(x，y

51、，z)为中心，作无限小正六面体积元，其边长分别为dx、dy、dz，且各自平行于坐标轴。DD76 设点A处电位移矢量为 ，则其三个分量分别为Dx、Dy、Dz，沿x、y、z方向上的变化率分别为 电位移矢量的x方向分量分别为zDyDxDzyx,2,2dxxDDdxxDDxxxx故通过面元dS1的电位移矢量 的通量(1-55)1122xxxxDDdxDdSD dydzdxdydzxx通过面元dS2的电位移矢量 的通量为1122xxxxDDdxDdSD dydzdxdydzxx (1-56)DDD77 通过微小正面体的左、右两面元dS1与dS2的电位移矢量通量之和为(1-58)(1-59)(1-57)

52、同理dxdydzxDxdxdydzyDydxdydzzDzdxdydzzDyDxDSdDzyxS(1-60) 若此时微小正六面体内含有体密度为的体积电荷，由高斯定理，则有(1-61)SD dSdxdydzyxzDDDxyz(1-62)divDD (1-63)上式为直角坐标系中微分形式的高斯方程。780Ddiv0zDyDxDzyx对无自由电荷无自由电荷体密度点有(1-65)(1-64) 或 说明，场中任一点场中任一点 的散度，等于该点处的自由电的散度，等于该点处的自由电荷体密度荷体密度。当电荷体密度0时， 线自该点发出。若0时， 线汇集于该点。若该点无自由体积电荷时，该点的散度为零，无自由电荷源

53、。 每点散度恒为零的场，称之为每点散度恒为零的场，称之为无散场或无源场无散场或无源场； 散度不恒为零的场，称之为散度不恒为零的场，称之为有源场有源场。 有源场不一定处处有源，此时，源存在的区域，0，称之为有源区；源不存在的区域，0，称之为无源区。静电场是有源场静电场是有源场。2.2.物理意义物理意义DDDEgrad 79例例1-91-9 若空气中电位函数其中,为已知，试问电荷电荷按什么规律分布？解解 场强的分布0, ,coscoscosx y zxyz0( sincoscoscossincoscoscossin)xyzEgradxyzexyzexyze Ddiv2220coscoscosyxz

54、EEExyxzzy再利用 ，可得电荷分布规律801-10 微分形式的电场强度环路定理 设空间有 场，在平面yoz上以任意点A(xA(x，y y，z)z)为中心为中心作一微小闭合矩形回路 ，其绕行方向为abcda，长边长为dy，短边长为dz。l图1-24 直角坐标系下选取的矩形回路1.1.推导推导设点A的场强矢量为 ，其三个分量分别为Ex，Ey，Ez，若以 表示Ez沿y方向的变化率，则在ab线段中点处，电场强度z方向分量为yEz2dyyEEzz沿ab段电场强度的线积分为dydzyEdzEdzdyyEEzzzz212(1-66)EE81同理cd线段中点处，电场强度z方向分量为沿cd段电场强度的线积

55、分为(1-67)2dyyEEzzdydzyEdzEdzdyyEEzzzz212同理沿线段da及bc的电场强度的线积分分别为dydzzEdyEdydzzEEyyyy212dydzzEdyEdydzzEEyyyy212(1-69)(1-68) 沿微小闭合矩形回路abcda的电场强度矢量的环路积分为dydzzEyEl dEyzl(1-70)82场强 的旋度的x向分量 的直角坐标系表达式为 (1-71)zEyEErotyzx静电场中E的环路积分恒为零0zEyEErotyzx(1-72)0 xEzEErotzxy0yExEErotxyz(1-75)0zxyyzxxyzeyExEexEzEezEyEEro

56、t同理(1-73)(1-74)因而直角坐标系下场域中任意一点A的电场强度 的直角坐标系中场强 的旋度表达式可记为(1-77)zyxzyxEEEzyxeeeErotEErotxEE83故 与 等效等效。 场强 的旋度方程，又称为微分形式的 的环路定理。旋度恒为零的场称之为无旋场，旋度不恒为零旋度恒为零的场称之为无旋场，旋度不恒为零的场称为之为有旋场的场称为之为有旋场。静电场的旋度恒为零，说明静电场不存在旋涡线、旋涡点，因而说静电场是无旋涡静电场是无旋涡场或无旋场。场或无旋场。 静电场中旋度恒为零静电场中旋度恒为零与与静电场是一个梯度场静电场是一个梯度场，都是由电场强度 的环路定理所得，它们同样是

57、描述场描述场域中域中点点的特性的.0rotErotgrad在数学关系上，有0rotE Egrad 2.2.物理意义物理意义EEE842232226xyzzeeerotExyzyxxzxy e例例1-101-10求矢量场 的旋度解解 由直角坐标系中的旋度公式zyxezexexyA22322850ErotDdivgradE1-11 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程(1-81)(1-80)或在直角坐标系下，式(1-80)具有下述形式(1-83)(1-82)若将其代入式(1-82)，则得yxzDDDdivDxyz,xxyyzzDEDEDExyz zzyyxx静电场中两

58、个微分形式的定理为1.1.推导推导86222222xyy 当空间介质均匀或空间介质分区均匀，则对介质均匀的区域而言，媒质的电容率为常数，故由式(1-83)得 (1-84) 若在空间场点点处不存在自由体积电荷，则有 2222220 xyy 泊松方程与拉普拉斯方程，是由静电场的两个微分形式的基本定理基本定理和场量间的特性方程场量间的特性方程 综合而成，场的两个微分形式的定理，是描述位函数在场域内部点上(不包括边界点)所满足的特性方程。因而求解静电场的问题，转化为(在给定解条件下)求解泊松方程与拉普拉斯方程的问题。(1-85)泊松方程泊松方程拉氏方程拉氏方程2.2.物理意义物理意义ED87 在直角坐

59、标系中，哈密尔顿算子定义为 哈密尔顿算子是一个矢性微分运算的符号参与运算时，一方面可以利用矢量代数的运算法则，另一方面又可以利用微分法则。zeyexezyx哈密尔顿算子哈密尔顿算子(1-86)(1) 算子“ ”作用于标量函数(x，y，z)zeyexezeyexezyxzyx(1-87)grad(1-88)88(2) 算子“ ”作用于矢量函数 zDyDxDDeDeDezeyexeDzyxzzyyxxzyxDDdiv(1-89)(1-90)yExEexEzEezEyEeEeEeEezeyexeExyzzxyyzxzzyyxxzyx (1-91)EErot89(3)拉普拉斯算子拉普拉斯算子22222

60、22zyxzeyexezeyexezyxzyx2222222zyx222222yyx泊松方程在直角坐标系中的表达式即为式(1-99) BACCABCBABCACBAAAAAA2则有(4)由二重矢量积有900120cos1cos1sin1cos11122222222122122112rarArarArarArrarArrzrrrrr根据运算结果，证明了 满足拉普拉斯方程例例1-111-11证明在圆柱坐标系下，函数满足拉普拉氏方程证明证明 由圆柱坐标系中拉普拉斯算子 的表达式，得cos21rarA21911-12 静电场的边值问题 对于一个具体的场来说，不同的边界约束条件，就有不同的分布状态，通常