第二章应力应变

1、第二章 构件的静力分析基础主要研究物体在力系作用下的平衡规律及其构件的应力分析与变形分析第一节 力的投影与力矩的计算第二节 力系的合成与平衡第三节 构件的变形及其应力分析基础例题2-1 求如图2-2所示的各力在x、y轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理yxFF11、22yxFFFxyFFtanbgqF FxyO力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点( (线线) )大小：大小：作用点作用点： 与物体的接触点与物体的接触点方向方向： 由由 、 、g g（或（或）三个方三个方向角确定向角确定 由仰角由仰角 与俯角

2、与俯角 来确定。来确定。FF 1.1.力在空间坐标轴上的投影与分解力在空间坐标轴上的投影与分解一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法） cos FFx cos FFy cos FFz cossin FFx sinsin FFy cos FFz二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法）sin FFyx2.2.力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理3.3.合力投影定理合力投影定理设刚体上作用有一个

3、平面汇交力系，由左图可设刚体上作用有一个平面汇交力系，由左图可看出，各分力在看出，各分力在x x 轴和在轴和在y y轴投影的和分别为：轴投影的和分别为： xxxxxRxFFFFFF4321 yyyyyRyFFFFFF4321 yRyFF xRxFF合力投影定理：力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力合力投影定理：力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，适用于平面和空间两种情况。在同一轴上投影的代数和，适用于平面和空间两种情况。1F2F3F4FRFF FRxRxF F2x2xF F1x1xF F3x3xF F4x4xx xy yo o一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投

4、影定理一、力在直角坐标轴上的投影与分解、合力投影定理力力F F对点对点O O的矩等于力的大小与点的矩等于力的大小与点O O到力的作用线距离到力的作用线距离s s的乘积，使物体转动的效应的乘积，使物体转动的效应OF FABs力臂力臂矩心矩心FSFMO)( 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力平面内力对点之矩是代数量，不仅与力 的大小有关，且与矩心位置有关。的大小有关，且与矩心位置有关。 当当F F=0 =0 或或 s s=0 =0 时，时， =0=0。)(FMO说明：说明： 力对点之矩不因力的作用线移动而改变。力对点之矩不因力的作用线移动而改变。 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。互成平衡

5、的两个力对同一点之矩的代数和为零。ABOOSFM 2)(二、力矩的概念与计算、合理矩定理二、力矩的概念与计算、合理矩定理1.1.平面力对点之矩平面力对点之矩 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点力矩的代数和。)()(.)()()(21FMFMFMFMFMonoooRo二、力矩的概念与计算、合理矩定理二、力矩的概念与计算、合理矩定理教材P26例题2-3：求啮合力Fn对轴心O之矩。教材P26例题2-2：如图所示刹车踏板，已知P=300N，a=250,b=50mm，P与水平线夹角为30，试求P对0点之矩。92.2.空间力对轴之矩空间力对轴之矩度量力对转动刚体的作用

6、效应度量力对转动刚体的作用效应二、力矩的概念与计算、合理矩定理二、力矩的概念与计算、合理矩定理10定义：定义：)()(xyOzFMFM力对轴之矩是代数量。力对轴之矩是代数量。符号规定：右手法则。符号规定：右手法则。力对平行它的轴之矩为零。力对平行它的轴之矩为零。当力通过轴时，力对轴之矩为零。当力通过轴时，力对轴之矩为零。即力即力F F与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。2)(BOAxyzSdFFM 2.2.空间力对轴之矩空间力对轴之矩二、力矩的概念与计算、合理矩定理二、力矩的概念与计算、合理矩定理力对轴之矩等于此力在垂直于力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的分力对这个平面

7、该轴平面上的分力对这个平面与轴的交点与轴的交点O O之矩，规定正负。之矩，规定正负。11一、力的平移定理一、力的平移定理F 证证 ）F，F（F 偶 力 力F力力F,F,F 力系力系但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力F作用在刚体上点作用在刚体上点A A的力的力 ，可以平行移到刚体上任一点可以平行移到刚体上任一点B B，对新作用点对新作用点B B的矩。的矩。MM第二节 力系的合成与平衡12力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有关，有关，M=Fd 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力线平移定理揭示

8、了力与力偶的关系：力力力力+力偶力偶 力线平移定理的逆定理成立。力线平移定理的逆定理成立。力力力力+力偶力偶 v力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。v力的平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力的平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力偶系进行研究。力偶系进行研究。说明说明：一、力的平移定理一、力的平移定理第二节 力系的合成与平衡平面任意力系：平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫平面任意力系。又不相互平行的力系叫平面任意力系。平面任意力系平面任意力系平面力偶系平面

9、力偶系平面汇交力系平面汇交力系合成合成平衡平衡合成合成平衡平衡F FR R= = F Fi iM=M= M Mi i M Mi i =0 =0 F Fx x=0=0 F Fy y =0 =0例例F FAyAyF FAxAxF FF FN N二、平面力系的简化与平衡二、平面力系的简化与平衡14平面任意力系平面任意力系（未知力系）（未知力系）平面力偶系平面力偶系（已知力系）（已知力系）平面汇交力系：平面汇交力系：（已知力系）（已知力系）力（主矢量）：力（主矢量）：力偶（主矩）：力偶（主矩）：F FR R = = F FM Mo o= = M M(作用在简化中心)(作用在该平面上)F FR R M

10、M1 1M M2 2M M3 3二、平面力系的简化与平衡二、平面力系的简化与平衡1.1.平面力系的简化平面力系的简化15平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 0)()(22 yxRFFF0)(iOOFMM =0=0， M MO O =0=0，力系平衡，力系平衡 RF 0 xF0 yF0)(iOFM =0 =0 为力平衡为力平衡 M MO O =0 =0 为力偶平衡为力偶平衡RF 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 M MO O 都等于零都等于零RF 二、平面力系的简化与平衡二、平面力系的简化与平衡160 xF0)(iAFM0)(iBFM二矩式二矩式条件：条件：x x 轴不

11、轴不垂直于垂直于ABAB连线连线0)(iAFM0)(iBFM0)(iCFM三矩式三矩式条件：条件：A A, ,B B, ,C C不在不在 同一直线上同一直线上 只有三个独立方程，只能求出三个未知数。只有三个独立方程，只能求出三个未知数。 投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。矩心选矩心选择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂直或平行。直或平行。0 xF0 yF0)(iOFM 基本式（基本式）基本式（基本式）平面一般力系得到3种平面特殊力系 0)(FMo（1）平面汇交力系00yxFF 0 xF（2）平面平行力

12、系0)(0FMFoy00yxFF（3）平面力偶系0)(MFMo18例题例题2-4 已知：已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：求：BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处的支座反力？处的支座反力？三个未知数，三个方程三个未知数，三个方程解解：（：（1）选选AB梁为研究对象。梁为研究对象。（2）画受力图）画受力图FAxFAy FBCAQlBPal/2 QlABPal/2C第二节 力系的合成与平衡19例题例题2-4 已知：已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：求： BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处处的支

13、座反力？的支座反力？0)(iAFM02sin QalPlFBC 0 xF0cos BCAxFF0 yF0sin QPFFBCAy （3）列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。kNlQaPlFBC2 .13)sin/()2/(kNFFBCAx4 .11coskNFQPFBCAy1 . 2sin QlABFAxFAyFBCPal/2第二节 力系的合成与平衡200)(iAFM02sin QalPlFBC 0 xF0cos BCAxFF0)(2 alQlPlFAyv （3）列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。KNFBC2 .13 kNFAx4 .11kNFAy1 . 20)(iBFM Q

14、lABFAxFAyFBCPal/2第二节 力系的合成与平衡例题例题2-4 已知：已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：求： BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处处的支座反力？的支座反力？210)(iAFM02sin QalPlFBC 02 QalPtglFAx 0)(2 alQlPlFAyv （3）列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。KNFBC2 .13 kNFAx4 .11kNFAy1 . 20)(iBFM0)(iCFM QlABFAxFAyFBCPal/2C第二节 力系的合成与平衡22例题例题2-5 2-5 已知：已知：q， a ,

15、P=qa, M=Pa，求：求：A、B两点的支座反力？两点的支座反力？解：解： 选选AB梁为研究对象。梁为研究对象。0)(iAFM0322aFMaaqaPB0 xF0 AxF0 yF34 , 02qaFqaPFFAyAyB 画受力图画受力图 列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。FAxFAyFBq2aaMPABBA35qaFB qMP第二节 力系的合成与平衡23例题例题2-6 2-6 已知：塔式起重机已知：塔式起重机 P P=700kN, =700kN, W W=200kN (=200kN (最大起重量最大起重量) )，尺寸如图。，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，求：保证满载和空载

16、时不致翻倒，平衡块平衡块Q Q= =？当？当Q Q=180kN=180kN时，求满载时，求满载时轨道时轨道A A、B B给起重机轮子的反力？给起重机轮子的反力？分析：分析：Q过大，空载时有向左倾翻的趋势。过大，空载时有向左倾翻的趋势。Q过小，满载时有向右倾翻的趋势。过小，满载时有向右倾翻的趋势。AB第二节 力系的合成与平衡240)(FMB0) 22() 212(2) 26( AFWPQ0 AFkN 75Q限制条件限制条件：解：解： 首先考虑满载时，起重首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小机不向右翻倒的最小Q为：为：空载时，空载时，W=0由由0)(FmA0) 22(2) 26( BFPQ限制条

17、件为：限制条件为：0 BF解得：解得：kN 350Q因此保证空、满载均不倒因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得：解得：FAFB第二节 力系的合成与平衡2504) 212(2) 26( BFWPQ0)(FMA, 0 yF0 BAFFWPQkN 870,kN 210 BAFF解得：解得：由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得：FAFB第二节 力系的合成与平衡.引入引入生活中无处不在的摩擦力生活中无处不在的摩擦力三、摩擦与自锁什么是摩擦力？三、摩擦与自锁1.1.静滑动摩擦静滑动摩擦相互接触的两物体之间有相对滑动的趋势，但尚保持相对静止

18、时，这种摩擦称为静摩擦。（一）一）滑动摩擦滑动摩擦三、摩擦与自锁滑动摩擦力：两个相互接触的物体发生相对滑动或存在相对滑动趋势时，彼此间就有阻碍滑动的力存在。作用在公切面上，与滑动方向或滑动趋势方向相反。静摩擦：只有滑动趋势无滑动事实的摩擦；动摩擦：若滑动已经发生为动摩擦。例如：. （1）两物体之间直接接触且相互挤压发生弹性形变。 （2）两物体之间接触面必须粗糙。 （3）两物体之间要有相对滑动。产生条件产生条件（一）一）滑动摩擦滑动摩擦三、摩擦与自锁静止（摩擦力FS随外力F的增大而增大）NsFfFsmax静摩擦定律静滑动摩擦状态状态临界：将滑未滑max0ssFF 材料名称材料名称静摩擦系数静摩擦

19、系数动摩擦系数动摩擦系数无润滑无润滑有润滑有润滑无润滑无润滑有润滑有润滑钢钢钢钢0.150.150.10.10.120.120.090.090.050.050.10.1钢钢铸铁铸铁0.30.3 0.180.180.050.050.150.15钢钢青铜青铜0.150.150.10.10.150.150.150.150.10.10.150.15铸铁铸铁铸铁铸铁 0.180.180.150.150.070.070.120.12皮革皮革铸钢铸钢0.30.30.50.50.150.150.30.30.150.15橡皮橡皮铸铁铸铁 0.80.80.50.5木材木材木材木材0.40.40.60.60.10.

20、10.20.20.50.50.070.070.150.15 常用材料的滑动摩擦系数常用材料的滑动摩擦系数 （一）一）滑动摩擦滑动摩擦三、摩擦与自锁当FFsmax后，物体开始滑动，静滑动摩擦转为动滑动摩擦。两物体接触面间有相对滑动而表现出的摩擦称为动滑动摩擦(简称动摩擦) 大小： （无平衡范围）动摩擦力特征动摩擦力特征 方向：与物体运动方向相反 定律： NdFfF动滑动摩擦系数的大小除与两物体接触面的材料及表面情况有动滑动摩擦系数的大小除与两物体接触面的材料及表面情况有关外，还与两物体间的相对运动速度有关。在一般的工程中，关外，还与两物体间的相对运动速度有关。在一般的工程中，精度要求不高时可近似

21、认为动摩擦系数与静摩擦系数相等精度要求不高时可近似认为动摩擦系数与静摩擦系数相等。maxsdsFFff，即2.2.动滑动摩擦动滑动摩擦三、摩擦与自锁（二）二）摩擦角与自锁摩擦角与自锁1.1.摩擦角摩擦角当摩擦力达到最大值时其全反力与法线的夹角 叫做摩摩擦角擦角。maxsFffFFfFFsNNsNsmmaxtanm2.2.计算计算磨擦角的正切等于静摩擦因数，摩擦角为全约束反力与接触面法线的最大夹角。 和 都是表征材料摩擦性质的物理量。mf三、摩擦与自锁v自锁：主动力F和FN的合力FQ只要作用在摩擦锥范围内，全反力FR总能与之平衡，此时无论FQ增到多大，物体总能保持平衡而不移动，这种现象叫自锁。三

22、、摩擦与自锁（二）二）摩擦角与自锁摩擦角与自锁当 时，永远平衡（即自锁）mm自锁条件m2arctanrl自锁应用举例三、摩擦与自锁（二）二）摩擦角与自锁摩擦角与自锁（三）考虑摩擦时物体的平衡问题（三）考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦问题时的解题特点：u（1 1）问题中含有可能发生相对滑动的摩擦面。）问题中含有可能发生相对滑动的摩擦面。u（2 2）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向，指）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向，指 向与物体运动趋势相反。向与物体运动趋势相反。u（3 3）两物体接触面间的摩擦力，也是相互作用的作用力）两物体接触面间的摩擦力，也是相互作用的作用力与反作用力。与

23、反作用力。u（4 4）考虑可能发生滑动的临界状态，并由此判断摩擦力）考虑可能发生滑动的临界状态，并由此判断摩擦力指向。指向。u（5 5）列平衡方程求解时，有补充方程，为滑动接触面上）列平衡方程求解时，有补充方程，为滑动接触面上的法向约束力。的法向约束力。三、摩擦与自锁例题例题2-82-8：制动装置如图所示。己知载荷Q=1000N。制动轮与制动块之间的摩擦系数fs=0.4，制动轮半径R=20cm，鼓轮半径r10cm，其他尺寸为a100cm，b20cm，e5cm。问：制动力至少需多大才能阻止重物下降？（三）考虑摩擦时物体的平衡问题（三）考虑摩擦时物体的平衡问题解：当鼓轮刚停止转动时，制动力P以最小

24、值使制动轮处于平衡状态，此时有最大静摩擦力NssFfFmax以鼓轮为研究对象，其受力图如右图所示，建立如下平衡方程： 0)(Fmo0RFfrQNs解得N1250N2004 . 01001000sNRfQrFN500N2001001000NsmaxRQrFfFs（三）考虑摩擦时物体的平衡问题（三）考虑摩擦时物体的平衡问题0)(FMA0maxNeFPabFN225P可见设计时，在可能的情况下，r、b取小值，a、R、fs取大值，闸瓦也可适当设计得厚些，可使制动力减小，制动效果更好。解得再以手柄AC为研究对象，受力图如下图所示，建立平衡方程：（三）考虑摩擦时物体的平衡问题（三）考虑摩擦时物体的平衡问题

25、例题例题2-92-9：梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数f =0.5, 求a 多大时，梯子能处于平衡？解解：考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，作受力图。 （三）考虑摩擦时物体的平衡问题（三）考虑摩擦时物体的平衡问题) 2 (0 , 0 ) 1 (0 , 0 PFNYFNXBAAB由) 5 () 4 (BBAANfFNfF) 3( 0sincoscos2 , 0minminminlNlFlPmBBA)3(1,1,1:222代入解得fPPFffPNfPNBBA022min87365 . 025 . 01arctg21arctg:ff得注意注意，由于不可能大于 ， 所以梯子平衡倾

26、角 应满足 9000908736（三）考虑摩擦时物体的平衡问题（三）考虑摩擦时物体的平衡问题（四）滚动摩擦简介（四）滚动摩擦简介滚动摩擦是指一物体沿另一物体表面作相对滚动或具有滚动趋势时所形成的摩擦。滚动摩擦的原因：相互接触物体发生变形而引起。对A点取矩，滚动摩擦力矩 可以由平衡条件求得。当 达到极限值 ，如果主动力偶矩继续增加，轮子开始滚动。如果材料表面的硬度高，则接触面变形较 小，滚动摩擦变小 MFRMFRMFMA00)(MMNFMmax1.空间力系的平衡方程简介000zyxFFF四、空间力系的平衡方程简介与轮轴类平衡问题的平面解法0)(0)(0)(FMFMFMzyx空间一般力系的平衡方程

27、，可解六个未知量（1）空间汇交力系的平衡方程000zyxFFF只能解三个未知量（2）空间平行力系的平衡方程0)(0)(0FMFMFyxz只能解三个未知量2.轮轴类平衡问题的平面解法 将空间任意力系投影到做表面上，通过三个平面力系来计算，即空间问题转化为平面问题。 教材P36例题2-10:有一起重绞车的鼓轮系如图所示。已知W、b、c、a、R、r，A、B两端为向心轴承，试求齿轮的啮合力Fn以及A、B两轴承所受的约束力。0sin)()(0)(aFbaWcbaFFMnAzx0cos0)(WrRFFMny0)(cos0)(cbaFRaFFMAxnz0cos0nBxAxxFFFF0sin0WFFFFnBz

28、Azz解法1：用空间力系的平衡方程直接求解 教材P36例题2-10:有一起重绞车的鼓轮系如图所示。已知W、b、c、a、R、r，A、B两端为向心轴承，试求齿轮的啮合力Fn以及A、B两轴承所受的约束力。2.轮轴类平衡问题的平面解法解法2：用轮轴类空间力系的平面解法求解0cos0nBxAxxFFFFxy面：0sin)()(0)(aFbaWcbaFFMyznAzB面：0cos0)(WrRFFMxznA面：0)(0)(aconFcbaFFMxynAxB面：0cos0)(WrRFFMxznA面：0sin0WFFFFyznAzBzz面：45例题例题2-112-11 已知已知: : R RC C=100mm,

29、 =100mm, R RD D=50mm,=50mm,P Px x=466N, =466N, P Py y=352N, =352N, P Pz z=1400N=1400N。求：平衡时。求：平衡时( (匀速转动匀速转动) )力力Q Q= =？和轴承？和轴承A A , , B B的约束反的约束反力？力？最好使每最好使每一个方程一个方程有一个未有一个未知数，方知数，方便求解。便求解。( (Q Q力作用在力作用在C C轮的最低点）轮的最低点）解：选研究对象解：选研究对象 作受力图作受力图 选坐标列方程选坐标列方程F FAxAxF FAyAyF FAzAzF FBxBxF FBzBz四、空间力系的平衡方

30、程简介与轮轴类平衡问题的平面解法46 0yF 0yM020cos10050 ozQP)N(746 Q0 yAyPF)N(352 yAyPFF FAxAxF FAyAyF FAzAzF FBxBxF FBzBz四、空间力系的平衡方程简介与轮轴类平衡问题的平面解法470 zM0 xF020cos 5020050300 0 QFPPBxyx)N(437 BxF020cos 0 QPFFxBxAx)N(729 AxFF FAxAxF FAyAyF FAzAzF FBxBxF FBzBz四、空间力系的平衡方程简介与轮轴类平衡问题的平面解法480 zF0 xM020sin 50300200 0 QPFzB

31、z)N(2040 BzF)N(385 AzF020sin 0 QPFFzBzAzF FAxAxF FAyAyF FAzAzF FBxBxF FBzBz四、空间力系的平衡方程简介与轮轴类平衡问题的平面解法五、重心与形心重心的概念：1.重心的有关知识，在工程实践中是很有用的,重心的位置关系关系到平衡、振动，对设计很重要，须要加以掌握。 2.重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3.物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。重心取决于物体几何形状，而与物体的重量无关。均质物体的重心是物体的形心。GzGzGyGyGxGxiiciiciic重心的坐标公式AyAyAxAxiiciic，平面图形的形心坐标公式物体重心位置的方法 （1）对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。五、重心与形心2.（平衡法）试验法 对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。 悬挂法：利用二力平衡公理，将物体