机械振动一章习题解答

1、机械振动一章习题解答习题121 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使单摆与竖直方向成一微小角度，然后由静止位置放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：(A) 。(B) 。 题解121 图 t=0 (C) 0。 (D) 。解：单摆的振动满足角谐振动方程，这里所给的是初始角位移，也是角振幅，而非初位相。由旋转矢量法容易判断该单摆振动的初位相为“0”，因此，应当选择答案(C) 。习题122 轻弹簧上端固定，下端系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了，若将m2移去，并令其振动，则振动周期为：(A) 。(B) 。(C

2、) 。 (D) 。解：谐振子的振动周期只与其本身的弹性与惯性有关，即与其倔强系数k和质量m有关。其倔强系数k可由题设条件求出所以该振子的质量为m1，故其振动周期为应当选择答案(B)。习题123 两倔强系数分别为k1和k2的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。解：两弹簧串联的等效倔强系数为，因此，该系统的振动周期为所以应当选择答案(C)。习题124 一质点作简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向X轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：(A) T/4。(B) T/12。(C

3、) T/6。(D) T/8。 t X A A 60° A/2 题解124图解：参见旋转矢量图，可得关系式有该式解得所以应当选择答案(C)。k m m习题125图 习题125 一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，取其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。解：弹簧截成三等份，其每一段的倔强系数为3k；再取其中两段并联的等效倔强系数为6k，因此，我们可得该振动系统的频率为故应当选择答案(B)。习题126 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为，当第一个质点从相对平衡位置的正位

4、移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处，则第二个质点的振动方程为：(A) 。(B) 。 X 题解126图 O (C) 。(D) 。解：可画出这两个振动的旋转矢量图，容易看出这两个振动的位相差为因此，只有答案(B)是正确的。习题127 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为。 题解127图 O 习题127图 t (s) 解：设质点的振动规律为则其运动速度为式中是运动速度的初位相，由题给速度曲线用旋转矢量法容易知道因此习题128 一弹簧振子简谐作振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦表示。若t=0(1) 振子在负的最大位移处，则初位

5、相为；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为；(3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初位相为。解：用旋转矢量法可以确定：情况(1)的初位相为；情况(2)的初位相为；情况(3)的初位相为。X t=0 (1) 题解128图 X t=0 (2) X t=0 (3) 习题129 一简谐振动的表达式为，已知t=0时的初位移为0.04m，初速度为0.09m/s，则振幅A=，初相。解：由初位移x0和初速度v0可求振幅A和初相而 注意：本题的答案可能有误，根据计算结果该振动的初位相应该是负值。习题1210 一系统作简谐振动，周期为T，以余玄函数表示振动时，初位相为零。在范围内，系统在t=时刻

6、动能和势能相等。解：依题意有如下关系即 或者故在范围内，当或者时刻，系统的动能和势能相等。习题1211 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比f1:f2=，加速度最大值之比a1:a2=，初始速率之比v10:v20=。 X XX1 X2 A A t O 习题1211图 解：由曲线图可以看出，x1的周期是x2的一半，因此它们的频率之比应为2:1；而加速度的最大值正比于频率的平方，因此第二个空白应填4:1；由于初始速度t (s) X 2 O 4 2 习题1212图 而x1和x2的初相、振幅都相等，因而它们的初速都应与频率成正比，即它们的初始速率之比v10:v20与频率之比相等，也为2:1。

7、习题1212 一质点作简谐振动，振动图线如图所示，根据此图，它的周期T=，用余玄函数描述时的初位相。t=0 t=2 X 题解1212图 解：根据振动图线可画出旋转矢量图，可得从旋转矢量图还可以得到或习题1213 质量为2kg的质点，按方程(SI)沿着X轴振动。求：(1) t=0时，作用于质点的力的大小；(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。解：(1) 质点的加速度为作用于质点的力为把t=0s代入上式得 (2)作用于质点的力的最大值为该力的大小为 由于令上式中 可得 习题1214 一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12cm ,在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，求：(

8、1) 周期T；(2) 当速度是12cm/s时的位移。解：(1) 设物体的振动方程为 因而物体的振动速度为 把x=0.06m代入得由三角关系把v=0.24m/s和均代入并取绝对值得由此解得(3) 把v=0.12m/s代入可得可得 把代入得A B X 习题1215图 习题1215 一质点在X轴上作简谐振动，取该质点向右运动通过A点时作为计时起点(t=0)，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且10cm。求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点的速率。解：(1) 依题意可画出旋转矢量图，由于，A、B相对于原点对称，AB中点为平衡

9、位置，也是坐标原点。设质点的振动方程为显然，由于时间均为2秒，图示的两个角度相等，均为，因此圆频率满足A B X t=0 t=2 t=4 题解1215图 ，初位相（或者写成）振幅m所以质点的振动方程为(SI)(2) 质点的速率求A点的速率，可令t =0注：该题是旋转矢量法的典型应用，用该法能直观、方便地进行求解；用解析法也可以求解，但是较繁而且不直观。习题1216 一物体作简谐振动，其速度最大值vm=3×10-2m/s，振幅A=2×10-2m。若t =0时，物体位于平衡位置且向X轴的负方向运动。求：(1) 振动周期T；(2) 加速度的最大值am； (3) 振动方程的数值表达

10、式。解：(1) 振动周期 (2) 加速度的最大值(3) 因t =0时，物体位于平衡位置且向X轴负向运动，所以振动的初位相，故振动方程为 (SI)习题1217 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为，(SI)求：合振动方程。解：设合振动方程为则初位相满足因此故合振动方程为(SI)习题1218 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处。然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，试证：(1) 此物体作简谐振动；(2) 此简谐振动的周期。O R 题解1218图 解：(1) 以半径R与竖直方向的夹角表示小物体的角位移，并且规定在竖直方向右侧，反之在竖直方向左

11、侧，则。当物体在任一角位移处时，它所受到的对O点的外力矩为若把小物体看成单质点的“刚体”，由转动定律有即可令 则有因此，小物体是作角谐振动。(2) 该物体作角谐振动的周期为习题1219 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的位相差为，若第一个简谐振动的振幅为=17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为cm，第一、二两个简谐振动的位相差。X 题解1219图 解：合振动的振幅矢量与两个分振动的振幅矢量有如下关系由此可得第二个简谐振动的振幅为从振幅矢量关系图容易看出和之间的夹角为，也就是说，第一、二两个简谐振动的位相差。机械振动一章补充习题及答案习题728(2000.1

12、习题集)一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm，现把质量为4kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，求：(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。解：(1) 设振动方程为由初始条件：t =0时，x0=0.10m，v0=0 ，(SI)(2) 弹簧静止时的伸长量l0满足 在平衡位置上方5cm处的伸长量l为这时弹簧对物体的拉力或者：t=0 t1 t2 X 补充题解728图 (3) 由旋转矢量图可得即有或者用解析法：x =0， ，x = -0.05 ， ，习题77(2000.1习题集