第七章刚体的简单运动

1、第7章刚体的基本运动运动学的研究模型是点和刚体，前一章我们研究了点的运动，但在许多工程实际问题中，有些运动的物体不能抽象为点而需抽象为刚体。例如，体积较大的平移的吊车，旋转的平带轮，滚动的车轮等。这样运动的物体则视为刚体。本章研究刚体的两种基本运动平动和定轴转动，这是研究刚体复杂运动的基础。本章首先介绍刚体平动的特点和刚体定轴转动的描述方法，建立刚体的转动方程，确定表示其转动特征的角速度和角加速度。在研究转动刚体运动的基础上，还将研究转动刚体上任一点的速度及加速度，并给出刚体上任一点速度及加速度与刚体转动角速度和角加速度的关系。例1荡木用两条等长的钢索平行吊起，钢索长为l, 长度单位为m, 当

2、荡木摆动时，钢索的摆动规律为, 为时间，单位为，单位为，求：t=0和t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。图7-3解：O1A,O2B平行且相等O1A,O2B为平行四边形AB O1O2。荡木AB作平动。各点的速度和加速度相同。M点速度和加速度可由A计算以O点为原点建立弧坐标 例1：长方体以等角速度=7 rad/s 绕AC轴转动，转向如图，求B点的速度和加速度。图7-14解：建立如图所示坐标系例2杆AB在铅垂方向以恒速 向下运动，并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕轴O转动，如图7-8所示。设运动开始时， ，试求杆OC的转动方程、任一瞬时的角速度以及点C的速度。图7-15 解：(1)建立OC杆

3、的转动方程。取点O为坐标原点，作铅直向下的Ox轴。杆AB上点B的位置坐标可表示为将上式对时间求一阶导数，并注意到杆AB作平动，有，得（1）整理后积分，有得：（2）故杆OC的转动方程为（3）(2)求杆OC的角速度由式(1)得（4）由式(2)得代入(4)式，最后得任一瞬时OC杆的角速度为(3)求点C的速度方向垂直于OC连线，指向右下方。例3： 半径为R=0.5m的飞轮由静止开始转动，角加速度，式中b为常量。已知t=5s时，轮缘上一点的速度大小为v=20m/s，试求当t=10s时，该点的速度、加速度的大小。解：本题中飞轮的角加速度随时间变化，是一变量，可先通过积分运算求出飞轮的角速度，然后再计算轮缘

4、上一点的速度、加速度。由 分离变量后积分 解得 （）利用初始条件可确定常数b。当t=5s时，轮缘上一点的速度m/s ，故此时飞轮的角速度为rad/s40rad/s代入式(1)，有解得因此得角速度、角加速度随时间的变化规律分别为rad/srad/s2当t=10s时，轮缘上一点的速度、加速度的大小为 例2： 减速箱由四个齿轮构成，如图示。齿轮 II 和 III 安装在同一轴上，各齿轮的齿数分别为z136，z2112，z3 32 和z4128。如主动轴I 的转速 n11450 r/min, 试求从动轮IV转速 n4。图7-19解： 用和分别表示各齿轮的转速。且有应用齿轮的传动比公式： 将两式相乘：

5、注意从动轮转速两次外啮合，从动轮和主动轮的转向相同。例3：图示带式输送机。已知：主动轮I的转速n1为1200 r/min, 齿数 z1 =24；齿轮 III和IV 用链条传动，齿数各为z3=15和z4=45,轮V的直径D等于460mm。若使输送带的速度约为 v=2.4m/s，试求轮II齿数z2。图7-20解：传动关系有： 得：输送带的速度等于轮V轮缘上点的速度，而轮V的转速等于轮IV的转速，有齿轮齿数必须为整数，选取 z296,这时输送带的速度为2.41 m/s，满足输送带的速度要求。例题：（一）关于刚体作定轴转动的问题例1.飞轮转动时其角速度为180rpm，方向为顺时针。受到一反方向力矩作用

6、后，其角加速度为，方向为逆时针。求：（1）飞轮的角速度减为900rpm时所需的时间；（2）飞轮改变转动方向时所需的时间（3）力矩作用后的头14秒钟内，飞轮转过的转数（包括顺时针方向及反时针方向的转数）解：（1）已知角加速度为时间的函数，而初角速度 由可得 (a)而代入后，可得 （2）当角速度等于零时，飞轮改变转动方向，令(a)式中，即 （3）飞轮在14秒钟内转过的转数应分两步计算。从开始到9.71s时间间隔内，飞轮顺时针方向转过圈。然后在剩下的时间内反时针方向转过。由式(a)分两步对时间进行积分，即可求得角位移。第一步：由 （顺时针向）第二步： 故14秒内飞轮总共转过的圈数为 例2.带有水平滑

7、槽的套筒可沿固定的铅垂导轨运动，从而带动销钉P沿半径为200mm的圆弧滑槽运动。已知套筒以等速向上运动，求当时，线段OP的角加速度。解：由图可得 (a)当时， 将式(a)对时间求一次导数后，可得 (b)把代入上式，即可得时的为把式(b)对时间求一次导数后，可得图7-21 因套筒沿铅垂方向作等速运动，故，于是可得 也可用下面的方法来做。销钉P的切线加速度，法向加速度，这两个加速度在铅垂轴上的投影总和为 由可得 或 （二）关于用极坐标方法求运动的问题例1.飞机跟踪设备是由两个相距为的地面站组成。它们发出两束定向波束1，2，然后把角位移，及其导数输送给计算机，即可算出飞机的速度与位置。若飞机以等速飞

8、行，且飞机与两个地面站处于同一铅垂平面内。某瞬时地面站测得，波束1的转动角速度，。求飞机的飞行速度及离地面的高度。图7-22解：由图可知 求：用极坐标表示A点的速度。 已知横向速度 由图可知 但 故 再用前面得到的结果代入，即可得 例2.液压缸的柱塞伸缩时，通过销钉A可带动具有滑槽的曲柄OA绕O轴转动。已知柱塞以等速沿其轴线向上运动，求当时，及之值。解：这也是一个用极坐标表示的求点的运动的问题。先画出当时机构的位置图。由图可知，分析销钉A的径向速度与横向速度，于是可得 当时， 故 图7-23求， 当速度为常数时，所有加速度分量，均为零，由 可得 由 可得 （方向为顺时针）例3.图示机构，尺寸为

9、，已知轮按的规律运动，求当时，杆上点的速度和加速度。图7-24解：始终是平行四边形，当机构运动时杆作平动，故在任一瞬时AB杆上M点的速度和加速度与AB杆上A点的速度和加速度完全相同。 当时，此时AB处于的正下方。所以 方向水平向右 方向竖直向上例4.圆盘绕定轴O转动，在某一瞬时，A点速度，。在同一瞬时，任一点B的全加速度与OB成角，试求该瞬时圆盘的角加速度。图7-25解： 例5 设火箭在高空飞行时始终保持其轴线为水平。已知火箭的水平加速度为，该处地球引力加速度为。若该瞬时火箭质心的速度为，其方向与水平线的夹角为。求：(a)该瞬时轨迹的曲率半径；(b)该瞬时的切线加速度，并问该瞬时火箭是作加速运

10、动还是减速运动；(c)线段的角速度（为曲率中心）。(d)若该瞬时线段的角加速度，求此时火箭轨迹曲率半径的变化率。图7-26解：火箭共受有两个方向的加速度，一个是地球引力加速度，另一个是火箭推进力所引起的水平方向的加速度。求出这些加速度在切线及法线方向的投影即可得到所求的结果。 求： 求： 求： 因为的方向与速度的方向相同，故火箭在该瞬时是作加速运动。求：由故 例6.已知皮带轮轮缘上点的速度为，与点在同一半径线上的点速度为，、两点之间的矩离为，试计算皮带轮的直径及角速度。图7-27解：因、为同一轮上的两点，故有 可解得皮带轮的直径 和皮带轮的角速度 例7.飞轮绕固定轴转动，其轮缘上任一点的全加速

11、度与半径的夹角恒为，当运动开始时，转角，角速度为，试求飞轮的转动方程及角速度和转角的关系。图7-28解：因为 将，代入上式分离变量并积分 得 （1）将 代入上式并积分 得飞轮的转动方程 将上式写成指数形式 （2）将式（2）代入式（1）得飞轮的角速度和转角的关系为 例8.平板放置在两个半径为的圆筒上，如图所示，平板具有向右的匀加速度，在同一瞬时圆筒的周边上一点的加速度，假设平板与圆筒之间无滑动，试求该瞬时平板的速度。图7-29解：因平板与圆筒之间无滑动，故同一瞬时圆筒周边上一点的速度就等于平板的速度，而圆筒周边上一点的切向加速度就等于平板的加速度，即 因此圆筒周边上一点的法向加速度 因 所以该瞬

12、时平板的速度 例9.图为车床走刀机构示意图，已知齿轮的齿数分别为，主轴转速，丝杠每转一圈，刀架移动一个螺距，求走刀速度。图7-30解：齿轮都作定轴转动，如图示。根据外啮合传动则有 故走刀速度为 例 10.纸盘由厚度为的纸带卷成，绕定轴转动，在连续印刷的过程中，纸带以匀速水平输送，如图所示。试以纸盘的半径表示纸盘的角加速度。图7-31解：纸盘绕定轴转动，由题意知，每当圆盘转时，其半径减少，而当纸盘转时，则其半径减少为 设纸盘的起始半径为，则当纸盘转过任意角的瞬时，纸盘的半径可表示为 （a）将上式对时间求导得 （b）式中为纸盘的角速度，显然 而纸盘的角加速度 将式（b）代入上式得 例11.收录机主动轮轴以匀角速度转动，在某一瞬时，主动轮轴和从动轮轴上磁带盘的半径分别为和，设磁带的厚度为，求该瞬时从动轮轴的角加速度。图7-32解：由题意知，当主动轮轴转一圈时，磁带盘的半径增加，而当主动轮轴转角时，磁带盘的半径增加 即 （a）同理，当从动轮轴转一圈时，磁带的半径减少，而当从动轮轴转角时，磁带盘的半径减少 即 （b）由于两磁带盘均作定轴转动，故有 （c）两边对时间求导，并注意到常量，故有 即 将式（a）、（b）代入上式，并注意到， ， ，可