浙江大学概率论与数理统计第三章习题

1、第三章习题第三章习题1. 在一个箱子中装有在一个箱子中装有12只开关只开关,其中其中2只是次品只是次品,在其中取两次在其中取两次,每次每次任取一只任取一只,考虑两种试验考虑两种试验:(1)放回抽样放回抽样;(2)不放回抽样不放回抽样.我们定义随机我们定义随机变量变量X,Y如下如下: , 1, 0X若第一次取出的是正品若第一次取出的是正品,若第一次取出的是次品若第一次取出的是次品; , 1, 0Y若第二次取出的是正品若第二次取出的是正品,若第二次取出的是次品若第二次取出的是次品.试分别就试分别就(1),(2)两种情况两种情况,写出写出X和和Y的联合分布律的联合分布律. 解解 设事件设事件Ak表示

2、表示“第第k次取出的是正次取出的是正品品”,k=1,2.PX=0,Y=0=P(A1A2)(1)放回抽样放回抽样=P(A1)P(A2)362512101210 PX=0,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2)3651221210 PX=1,Y=0=P(A1A2)=P(A1)P(A2)3651210122 PX=1,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2)361122122 X 0 1Y 1 5/36 1/36 0 25/36 5/36PX=i 5/6 1/61PY=j 5/6 1/6X和和Y的联合分布律列表如下的联合分布律列表如下(2)不不放回抽样放回抽样 PX=0,Y=0=P(A1A

3、2) =P(A1)P(A2|A1)66451191210 PX=0,Y=1=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1)66101121210 PX=1,Y=0=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)66101110122 PX=1,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)661111122 X 0 1Y 1 10/66 1/66 0 45/66 10/66PX=i 5/6 1/61PY=j 5/6 1/6(1)(2)问第问第1题中的随机变量题中的随机变量X和和Y是否相互独立是否相互独立?(需说明理由需说明理由)16(1)X和和Y的边缘分布如下所示的边缘分布如下所示解解 (1)P

4、X=i,Y=j=PX=iPY=j对对(X,Y)所有可能取值所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立都成立,故故放回抽样放回抽样X和和Y相互独立相互独立. .(2)PX=1,Y=0=10/66PX=1PY=0=(1/6) (5/6)=5/36 故不故不放回抽样放回抽样X和和Y不不相互独立相互独立. .3.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 042 , 20),6(),(yxyxkyxf(1)确定常数确定常数k; (2)求求PX1,Y3; (3)求求PX1,5; (4)求求PX+Y 4. 解解 (1)由归一性由归一性2x42y 2042)6(),(1d

5、yyxdxkdxdyyxf 2020422)26()26(dxxkdxyxyykkxxk8)6(202 故故k=1/8.(2) PX1,Y3 103213)6(81),(dyyxdxdxdyyxf 1010322)227(81)26(81dxxdxyxyy83)227(81102 xx(3)PX1,5 5 . 10425 . 1)6(81),(dyyxdxdxdyyxf 5 . 10)26(81dxx3227)6(815 . 102 xx(4)PX+Y 4= 4:),(yxGdxdyyxfDx+y=4G Ddxdyyx)6(81 2042)6(81xdyyxdx 20220422)246(81

6、)26(81dxxxdxyxyyx32)626(812032 xxx 42408/ )6(ydxyxdy2x42y(1)(2) (3)(4) (5)求分布函数求分布函数 yxdxdyyxfyxF),(),(2x42y(1)y2,- x ,或或x0,- y 时时,F(x,y)=0 .(2)0 x2,2 y4时时,2x42y xydyyxdxyxF02)6(81),()20122(161)10226(8122202xxyxyyxxdxxyxyyx (x,y)(1)(x,y)(2)(3) x 2,2 y4时时,2x42y(x,y)(3) 202)6(81),(ydyyxdxyxF)1610(81)1

7、0226(812202 yydxxyxyy(4)0 x2,y 4时时,2x42y(x,y)(4) 420)6 (81),(xdxyxdyyxF)6 (812)6(812422xxdyxxy (5) x 2,y 4时时,2x42y(x,y)(5) 20421)6(81),(dyyxdxyxF总之总之 4, 2, 120 , 4, 8/ )6(42 , 2, 8/ )1610(42 , 20 ,16/ )20122(, 0, 2, 0),(22222yxxyxxyxyyyxxxyxyyxxyxxyyxF或或6. 将一枚硬币掷将一枚硬币掷3次次,以以X表示前表示前2次中出现次中出现H的次数的次数,以

8、以Y表示表示3次次中出现中出现H的次数的次数.求求X,Y的联合分布律以及的联合分布律以及( (X,Y) )的边缘分布律的边缘分布律. .解解 先将试验的样本空间和先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下的取值情况列表如下:样本点样本点eHHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X 2 2 1 1 1 1 0 0 Y 3 2 2 2 1 1 1 0 p 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8Y0 1 2 3 X0 1 21810000008182828181PX=i41424183PY=j818381由表中可知由表中可知,X所有可能取的所有可能取

9、的值为值为0,1,2,Y所有可能取所有可能取的值为的值为0,1,2,3.X,Y的联合分布律如右表所示的联合分布律如右表所示.(X,Y)关于关于X的边缘分布律可用的边缘分布律可用X= i时时Y取所有可能取的值的概率相加而得取所有可能取的值的概率相加而得;(X,Y)关于关于Y的边缘分布律可用的边缘分布律可用Y= j时时X取所有可能取的值的概率相加而得取所有可能取的值的概率相加而得. pk 0 1 2 3Y81838381 pk 0 1 2X414241也可以单独列表如下也可以单独列表如下:7. 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 00 , 10),2(8 .

10、 4),(xyxxyyxf求边缘概率密度求边缘概率密度.解解 f(x,y) 0的区域的区域G如右图所示如右图所示xyx=yG01 dyyxfxfX),()( 其其它它, 010),2(4 . 2)2(8 . 420 xxxdyxyx 其其它它, 010),43(4 . 2)2(8 . 421yyyydxxyy dxyxfyfY),()(9. 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 01,),(22yxycxyxf(1)试确定常数试确定常数c;(2)求边缘概率密度求边缘概率密度. 解解 如图如图,阴影部份是阴影部份是f(x,y)不为零的区域不为零的区域D(1)

11、由归一性由归一性 dxdyyxf),(1xoy1-1y=x2y=1D Dydxdycx2 11122xydxdycxdx 116211122)(2)2(2dxxxcdxyxcx故故 c=21/4.cxxcdxxxc214)73()(10731062 其其它它, 01, 4/21),(22yxyxyxf(2) dyyxfxfX),()(11),(82142162212 xxxydyxx0, 其它其它 dxyxfyfY),()(10 ,27421252 yyydyxyy0, 其它其它10. 将某一医药公司将某一医药公司9月份和月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分月份收到的青霉素针剂的订货单数分

12、别记为别记为X和和Y.据以往积累的资料知据以往积累的资料知X和和Y的联合分布律为的联合分布律为PY=j1.00PX=i0.180.150.35Y 51 52 53 54 55 X 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03(1)求边缘分布律求边缘分布律; (2)求求8月份的订单数为月份的订单数为51时时, 9月份订单数的条件月份订单数的条件分布律分布律. 解解

13、(1)关于关于X的边缘分布律的边缘分布律见表右见表右,0.120.20 pk 51 52 53 54 55X0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 关于关于Y的边缘分布的边缘分布律见表下律见表下,也可以单独列表也可以单独列表 pk 51 52 53 54 55Y0.28 0.28 0.22 0.09 0.130.280.280.220.090.135151,515151 YPYXPYXP(2)28628. 006. 0 5151,535153 YPYXPYXP28528. 005. 0 X=i 51 52 53 54 55PX=i|Y= =512862872852852855151,

14、525152 YPYXPYXP28728. 007. 0 5151,545154 YPYXPYXP28528. 005. 0 5151,555155 YPYXPYXP28528. 005. 0 列表如下列表如下11. 以以X记某医院一天出生的婴儿的个数记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数记其中男婴的个数,设设X和和Y的联合分布律为的联合分布律为)!( !)86. 6()14. 7(,14mnmemYnXPmnm m=0,1,2,n ;n=0,1,2, . (1)求边缘分布律求边缘分布律;(2)求条件分布律求条件分布律;(3)特别特别,写出当写出当X=20时时,Y的条的条件分布律件分

15、布律. 解解 (1) PX=n nmmYnXP0, nmmnmmnme014)!( !)86. 6()14. 7(mnmnmmnmnne )86. 6()14. 7()!( !014!14)86. 614. 7(!1414nenenn (n=0,1,2,)(2)PY=m mnmYnXP, mnmnmmnme)!( !)86. 6()14. 7(14 mnmnmmnme)!()86. 6(!)14. 7(14 014!)86. 6(!)14. 7(kkmkme86. 614!)14. 7(emem !)14. 7(14. 7mem (m=0,1,2,n)k=n-m(2) 当当Y一定一定,即即m=

16、0,1,2,时时PX=n|Y=m,mYPmYnXP !)14. 7()!( !)86. 6()14. 7(14. 714memnmemmnm )!()86. 6(86. 6mnemn (n=m+1,m+2, )当当X一定一定,即即n=0,1,2,时时PY=m|X=n,nXPmYnXP !14)!( !)86. 6()14. 7(1414nemnmenmnm mnmmnmmnmnmn )49. 0()51. 0()1486. 6()1414. 7()!( !(m=0,1,2,n)(3)特别特别,当当X=20时时,mmm 20)49. 0()51. 0(20PY=m|X=20(m=0,1,2,20

17、)13.在第在第9题中题中(1)求条件概率密度求条件概率密度fX|Y(x|y),特别特别,写出当写出当Y=1/2时时X的条的条件概率密度件概率密度;(2)求条件概率密度求条件概率密度f Y|X (y|x),特别特别,分别写出当分别写出当 X=1/3, X=1/2时时Y的条件概率密度的条件概率密度;(3)求条件概率求条件概率 PY 1/4|X=1/2, PY 3/4|X=1/2. 解第解第9题已求得题已求得(X,Y)的概率密度和分别关于的概率密度和分别关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度 其其它它, 01,421),(22yxyxyxf 其其它它, 011),(821)(62xxxxfX 其

18、其它它, 010 ,27)(25yyyfY(1)(),()(yfyxfyxfYYX 只有当只有当fY(y) 0,即当即当0y 1时才有意义时才有意义,此时此时fX|Y(x|y)2527),(yyxf 其其它它, 0,23232yxyyxx2 y特别特别, 当当Y=1/2时时, fX|Y(x|y=1/2) 其其它它, 02121,232xx(2)(),()(xfyxfxyfXXY 只有当只有当fX(x) 0,即当即当-1x1时才有意义时才有意义,此时此时f Y |X (y | x)(821),(62xxyxf 其它其它, 01,1224yxxy当当X=1/3时时, f Y |X (y|x=1/3

19、) 其其它它, 0191,4081yy当当X=1/2时时, f Y |X (y|x=1/2) 其其它它, 0141,1532yy(3)PY 1/4|X=1/2dyxyfXY 41|) 2/ 1|(1151615321412141 yydyPY 3/4|X=1/2dyxyfXY 43|) 2/ 1|(157151615321432143 yydy 其其它它, 01,421),(22yxyxyxf 其其它它, 011),(821)(62xxxxfX 其其它它, 010 ,27)(25yyyfY14.16(2)设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 010 ,| , 1)

20、,(xxyyxf求条件概率密度求条件概率密度f Y|X (y|x) , fX|Y(x|y).解解 如图如图,阴影部份是阴影部份是f(x,y)不为零的区域不为零的区域GxyGx=yx=-y11-10先求边缘概率密度先求边缘概率密度 dyyxfxfX),()( 其其它它, 010 ,21xxdyxx dxyxfyfY),()( 其它其它, 001,1110 ,1111yyyydxyydx 其其它它, 01| |,|1yy)(),()(yfyxfyxfYYX 当当|y|1时时 其其它它, 01,111,11xyyxyy 其其它它, 01| ,|11xyy当当0 x1时时)(),()(xfyxfxyf

21、XXY 其其它它, 0| ,21xyx问第问第14题中的随机变量题中的随机变量X和和Y是否相互独立是否相互独立?(需说明理由需说明理由)解解),(, 01| , 10|),|1 (2)()(yxfyxyxyfxfYX 其其它它故故X和和Y不不相互独立相互独立. .18.设设X和和Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,X在在(0,1)上服从均匀分布上服从均匀分布,Y的概率密度为的概率密度为 0, 00,21)(2yyeyfyY(1)求求X和和Y的联合概率密度的联合概率密度;(2)设含有设含有a的二次方程为的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求试求a有实根的概率有实根的概率.解解 (1) 其

22、其它它, 010 , 1)(xxfX 其其它它, 00, 10 ,21)()(),(2yxeyfxfyxfyYX(2)方程方程a2+2Xa+Y=0中中a有实根的的条件是判别式有实根的的条件是判别式4X2-4Y 0,即即X2 Y.11G故所求概率为故所求概率为 yxDdxdyyxfYXP2:2),(dxdyeyG221 dyedxyx2010221 102102221)1 (dxedxexxdxedyyy210121 =1-0.8555=0.1445标准标准正态分布正态分布函数函数dtextx2221)( 8555. 0)5 . 08413. 0(2)0() 1 (21022 dxexxyy=x

23、2DO 10210221)1 (21dtedyeytyty22.设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为其概率密度分别为 其其它它, 010 , 1)(xxfX 其其它它, 00,)(yeyfyY求随机变量求随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度. 解解 法一法一:dxxzfxfzfYXZ )()()( zxzxexzfxzY, 0,)()(ozx11x =z当当0 x 1时时,fX(x) 0;当当xz时时,fY(z-x) 0.总之总之,只有当只有当0 x 1且且xz时时,即在图示阴影区域中即在图示阴影区域中,被积函数才不被积函数才不为零为零,从而从而fZ

24、(z)才不为零才不为零.显然显然, z0 时时, fZ(z)=0.0 z0时时,即在图示阴影区域即在图示阴影区域中中,被积函数才不为零被积函数才不为零,从而从而fZ(z)才不为零才不为零.dyezfzyZ 01)( zzyZdyezf11)(总之总之1),1( zeez10,1 zez0 , 其它其它fZ(z)=ozy1y=zy =z- -1 其其它它, 010 , 1)(xxfX 其其它它, 00,)(yeyfyY显然显然, z0 时时, fZ(z)=0.0 z0)的瑞利的瑞利(Rayleigh)分布分布.解解22221)( xXexf 22221)( yYeyf 2222221)()(),

25、( yxYXeyfxfyxf 由于由于X,Y相互独立相互独立先求先求Z的分布函数的分布函数FZ(z)=PZ z,由于由于22YXZ 非负非负,故故z4.解解 由由28题参数题参数 =2的瑞利分布的概率密度为的瑞利分布的概率密度为 0, 00,4)(82xxexxfx其分布函数为其分布函数为 0, 00,14)()(88022xxedxexdxxfxFxxxx(1)由于由于Xi(i =1,2,3,4,5)相互独立且都服从参数相互独立且都服从参数 =2的瑞利分布的瑞利分布.故故Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数的分布函数 0, 00,1 )()(5852zzezFzFzZ(2) PZ4=1-PZ 4=1-FZ(4)=1-(1-e-2)5=0.5167或或 PZ4=1-PZ 4=1-PX1 4, X2 4,X5 4525408511 141412 edxexXPxii33.35.设设X,Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,其分布律分别为其分布律分别为PX=k=p(k), k=0,1,2,.PY=r=q(r), r=0,1,2,.证明随机变量证明随机变量Z=X+Y的分布律为的分布律为 ikikiqkpiZP0., 2 , 1 , 0),