lxy理论力学教程(第七章)

1、 71 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动 72 点的速度合成定理点的速度合成定理 73 牵连运动是平动时点的加速度合成定理牵连运动是平动时点的加速度合成定理 74 牵连运动是转动时点的加速度合成定理牵连运动是转动时点的加速度合成定理 第七章第七章 点的合成运动点的合成运动 物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。的轨迹、速度、加速度等）。 在实际问题中，往

2、往不仅要知道物体相对地球的运动，而且有时在实际问题中，往往不仅要知道物体相对地球的运动，而且有时要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情况。要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情况。例如在运例如在运动着的飞机、车船上观察其他飞机、车船的运动。在运动学中，所描动着的飞机、车船上观察其他飞机、车船的运动。在运动学中，所描述的一切运动都只具有相对的意义。在不同的参考系中观察到的同一述的一切运动都只具有相对的意义。在不同的参考系中观察到的同一物体的不同运动特征之间存在着一定的联系。本章利用运动的分解、物体的不同运动特征之间存在着一定的联系。本章利用运动的分解、合成的方法对点的速度、加

3、速度进行分析，研究点在不同参考系中的合成的方法对点的速度、加速度进行分析，研究点在不同参考系中的运动，以及它们之间的联系。运动，以及它们之间的联系。 三种运动 牵连点动点和动系的选择 两种参考系7-17-1相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动运动的相对性：运动的相对性： 物体对于不同的参考体具有不同的运动。物体对于不同的参考体具有不同的运动。研究物体相对不同参考系的运动以及运动之间的关系，成为研究物体相对不同参考系的运动以及运动之间的关系，成为复杂运动。复杂运动。将复杂的运动分解成两个简单运动的组合，将复杂的运动分解成两个简单运动的组合，称为点的合成运动（复合运动）称为点的合成

4、运动（复合运动）一、一、 基本概念基本概念二、二、 两种两种参考系参考系静参考系（定系或静系）：静参考系（定系或静系）：认定不动的参考系。认定不动的参考系。动参考系（动系）：动参考系（动系）：相对于静系运动着的参考系。相对于静系运动着的参考系。一般没特别说明，常以固连于地球的一般没特别说明，常以固连于地球的参考系取为静系。参考系取为静系。点的运动刚体的运动相对运动相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。绝对运动绝对运动：动点对静系的运动。三、三种运动：三、三种运动：1.两种运动轨迹两种运动轨迹相对运动轨迹

5、：相对运动轨迹：动点相对于动系的运动轨迹。动点相对于动系的运动轨迹。绝对运动轨迹：绝对运动轨迹：动点相对于定系的运动轨迹。动点相对于定系的运动轨迹。实例分析实例分析1、动点在绝对运动中的速度和加速度称为-绝对速度绝对速度 和和 绝对加速度绝对加速度。aaevearvraav绝对绝对相对相对牵连牵连2、三种速度和三种加速度。、三种速度和三种加速度。2、动点在相对运动中的速度和加速度称为-相对速度相对速度和和 相对加速度相对加速度。3、动坐标系中与动点相重合的点(不是动点)的速度和加速度称为- 牵连速度牵连速度和和牵连加速度牵连加速度牵连点的概念 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一

6、点，动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，这点称为这点称为瞬时重合点瞬时重合点或动点的或动点的牵连点牵连点。 牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着着“牵连牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点瞬时重合点或或牵连点牵连点。 （2）、进一步说明）、进一步说明 （1）、定）、定 义义 由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所

7、以牵连点具有瞬时性。具有瞬时性。 （3）、注）、注 意意三种运动量的关系三种运动量的关系 动点动点 定系定系牵连点牵连点 动系动系 eevarvrarMavaaaMeM动系上与动点重合点的绝对轨迹动系上与动点重合点的绝对轨迹 既牵连点的轨迹既牵连点的轨迹z0 x0y0O0zxyPP1绝对运动轨迹绝对运动轨迹相对运动轨迹相对运动轨迹 P2定系定系动系动系 三种运动轨迹三种运动轨迹1.参考物与参考系有何区别?后者包含整个空间。2.某瞬时，动点与牵连点有无相对运动?必有。3.某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?无。否！4.ve是否为动参考系物带动动点之v?速度、加速度分析速度、加速度分析 弄清动点的绝

8、对轨迹、相对轨迹和牵连点的绝对轨迹。任务:确定运动量方位(如同受力分析)关键:oBA1v2vR分析如下3例动点的速度和加速度。AOvaA为动系，B为动点neaBBaoBA1v2vR1eOBRvvoBA1vR分析如下3例动点的速度和加速度。a2v =vAA动系为滑槽，动点为滑块A，三种轨迹avrveveaaanraraA动系为斜面，动点为轮心O。OvaOvaavrvevOaeaaaraOA1OCOA1OC练习:evavrveanaa动系:OA动点:轮心C。OA1OC四、四、点的复合运动点的复合运动 由于牵连运动的存在，使物体的绝对运动和相对运动由于牵连运动的存在，使物体的绝对运动和相对运动发生了

9、差别。发生了差别。如果没有牵连运动，物体的相对运动等同于它的绝对运动。如果没有牵连运动，物体的相对运动等同于它的绝对运动。如果没有相对运动，物体的牵连运动就是它的绝对运动。如果没有相对运动，物体的牵连运动就是它的绝对运动。 由此可见，物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相由此可见，物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相对运动的合成结果。所以绝对运动也称为对运动的合成结果。所以绝对运动也称为复合运动或合成复合运动或合成运动运动。1 几几点说明点说明本章只研究本章只研究点的复合运动点的复合运动理论，通过牵连运动来建立绝对运动和相理论，通过牵连运动来建立绝对运动和相对运动之间的联系，给出这些运动特征量（

10、对运动之间的联系，给出这些运动特征量（轨迹、速度、加速度轨迹、速度、加速度）之）之间的关系。间的关系。 在复合运动的研究中，在复合运动的研究中，参考系的选择是问题的关键参考系的选择是问题的关键。恰当的选择。恰当的选择参考系，能把复杂的运动分解为若干种简单运动，或由若干种简单参考系，能把复杂的运动分解为若干种简单运动，或由若干种简单运动组成各种不同的复杂运动。运动组成各种不同的复杂运动。必须指出在这一章，绝对运动、必须指出在这一章，绝对运动、相对运动都是指点的运动，可能是相对运动都是指点的运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动；而牵连运动是指刚体的运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动；而牵连运

11、动是指刚体的运动，可能是平动、定轴转动或下一章的平面运动等。平动、定轴转动或下一章的平面运动等。下面举例说明以上各概念：下面举例说明以上各概念： 2动点的选择原则动点的选择原则： 3动系的选择原则动系的选择原则： 动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动系静系静系动点动点1.若动点若动点A A在在AB杆上时上时动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮静系：地面绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动2. 若动点若动点A A

12、在偏心轮上时在偏心轮上时 A（在偏心轮上）AB杆地面圆周（红色虚线）曲线（未知）平动动动 点点？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？ 练习题 1动动 点点？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？ 思考题 牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着起着“牵连牵连”作用。作用。 xy1o1x1oxo1yo1 MX1Y1YX yxy1o1x1oxo1yo1 MX1Y1YXj 牵连运动方程：牵连运动方程：x01 = x 01（t） y01 = y 01 （t） j j (

13、 j j ( t ) )相对运动方程：相对运动方程： x1= x1 （t） y1= y1（t）绝对运动方程绝对运动方程x = x （t） y = y （t）三种运动方程及其之间的关系三种运动方程及其之间的关系据此式，可以由据此式，可以由给定的牵连运动方程给定的牵连运动方程和动点的和动点的相对运动相对运动方程方程求出动点的求出动点的绝对运动方程绝对运动方程。或由。或由给定的牵连运动方程给定的牵连运动方程和动点的和动点的绝对运动方程绝对运动方程求出动点的求出动点的相对运动方程相对运动方程。 利用动系与定系之间的坐标变换关系可得利用动系与定系之间的坐标变换关系可得jjsincos1101yxxxjj

14、cossin1101yxyy 上式称为坐标变换公式，体现了动点的绝对运动方程上式称为坐标变换公式，体现了动点的绝对运动方程和相对运动方程及动系的牵连运动方程之间的关系。和相对运动方程及动系的牵连运动方程之间的关系。例例用铣刀切削工件的直用铣刀切削工件的直径端面，刀尖径端面，刀尖M 沿水平轴沿水平轴x作往复运动，如图所示。作往复运动，如图所示。设设Oxy为定坐标系，刀尖的为定坐标系，刀尖的运动方程为运动方程为x =bsin t。工。工件以匀角速度件以匀角速度逆时针转向逆时针转向转动。求车刀在工件圆端转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。面上切出的痕迹。 解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，

15、动系与定系。动系动系O x y，固连于工件上。固连于工件上。2. 运动分析。运动分析。 相对运动平面曲线。相对运动平面曲线。牵连运动绕牵连运动绕O 轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点刀尖上的动点刀尖上的M点。点。定系固连于机座。定系固连于机座。txxcostxysintbttbx2sin2cossin)2cos1 (2sin2tbtby4)2()(222bbyx3. 求刀尖求刀尖 M 相对于工件的运动轨迹方程。相对于工件的运动轨迹方程。 动点动点 M 在动系在动系O x y 和定和定系系Ox y 中中的坐标关系为：的坐标关系为：将将 M 点的绝对运动方程代入上式得：点的绝对运动方程代入上式得：消

16、去时间消去时间 t，得刀尖相对轨迹方程，得刀尖相对轨迹方程yyxxOOyxMMOu 例 ),sin(,a+=ktayOMutOO).sin(,a+=ktaOMyutOOxuxkaysin所以，笔尖所以，笔尖 M 的相对运动方程的相对运动方程:消去时间消去时间t 得笔尖在纸带上所描绘出的轨迹得笔尖在纸带上所描绘出的轨迹:yyxxOOyxMMOu解解：动系动系，动点动点笔尖笔尖M 。定系定系固连于机座。固连于机座。因为因为绝对速度绝对速度va ：动点相对于定系的速度。动点相对于定系的速度。三种速度一一.基本概基本概 念：念：牵连速度牵连速度ve ：动系上与动点相重合的点相对于动系上与动点相重合的点

17、相对于定系的速度。定系的速度。相对速度相对速度vr ：动点相对于动系的速度。动点相对于动系的速度。7-7-点的速度合成定理点的速度合成定理 三种运动轨迹三种运动轨迹三种运动轨迹 设动点设动点M在动系中沿某一曲线在动系中沿某一曲线AB作相对运动，而动系本身相对定作相对运动，而动系本身相对定系作某中运动，相应的运动轨迹如下系作某中运动，相应的运动轨迹如下牵连点运动轨迹牵连点运动轨迹zxyOzxyM (m)M(m)绝对运动轨迹绝对运动轨迹相对运动轨迹相对运动轨迹 M1(m1)三种运动轨迹三种运动轨迹 M2(m2)zxy相 对 运 动 绝 对 运 动 定系定系牵 连 运 动 动系动系 点的复合运动：点

18、的复合运动： 以上分析，我们可以看到以上分析，我们可以看到 点的绝对运动可由相对点的绝对运动可由相对运动和牵连运动来复合。反之，点的绝对运动也可分解运动和牵连运动来复合。反之，点的绝对运动也可分解为相对运动和牵连运动。为相对运动和牵连运动。动点动点1MMMM1MM当t t+t ，AB AB M M也可看成M M MMM 为绝对轨迹MM 为绝对位移M1M 为相对轨迹M1M 为相对位移tMMtMMtMMttt 10100limlimlimt将上式两边同除以后，0t时的极限，得取二二. .点的速度合成定理点的速度合成定理reavvv绝对速度绝对速度牵连速度牵连速度相对速度相对速度动点的绝对速度等于其

19、相动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量对速度与牵连速度的矢量和。和。eravvvzxyrr1r M(m)M (m) M1(m1) M2(m2)vevavr 速度合成定理速度合成定理 说明： (1) va动点的绝对速度； (2) vr动点的相对速度； (3) ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。II) 动系作转动时，ve 是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。 (4) 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小 方向 六个元 素。 (5) 速度合成定理为平面矢量方程，由此可以写出两个投 影式，所以可以求解两个未知量。 (6) 速度合成定

20、理对任意形式的牵连运动都适用。yxoz rrMyozxeOxyz arijkddeOx ,y ,zxyzt 常量rvrijkkiiazyxr ddrxyzt rvijk由定义(相对导数)(条件导数)k j i3-3 速度、加速度合成定理速度、加速度合成定理( )( )( )tzztyytxxMa( )( )( )tzztyytxxMr速度合成定理矢量法速度合成定理矢量法Oxyz rrijkaer vvvddreaoxyzxyzt vvrvrijkijk(绝对导数)故 速度合成定理 (动系任意运动)yxoz rrMyozxk j i3-3 速度、加速度合成定理速度、加速度合成定理ABv anea

21、eaaara练习:动系:套筒B动点:铰A。ABv aABv arvevav练习:动系:OA杆；动点:滑块BoBAoBAavrveOBvoBAaara2neOBanraeOBa 桥式吊车。 已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。例例7-1解解：选取动点动点: 物块A动系动系: 小车静系静系: 地面作出速度平四边形作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为, 2222vvvvvvreaA平平vv1tg相对运动: 直线;相对速度vr =v 方向牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向绝对运动: 曲线;绝对速度va 的大小,方向待求由速度合成定

22、理：由速度合成定理：reavvv 例3-4 3-4 刨床的急回机构如图所刨床的急回机构如图所示。曲柄示。曲柄OA的一端的一端A与滑块用铰链与滑块用铰链连接。当曲柄连接。当曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固绕固定轴定轴O转动时，滑块在摇杆转动时，滑块在摇杆O1B上滑上滑动，并带动摇杆动，并带动摇杆O1B绕固定轴绕固定轴O1摆摆动。设曲柄长动。设曲柄长OA=r，两间距离两间距离OO1= l。求当曲柄在水平位置时摇求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度杆的角速度1。 解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系O1xy，固连于摇杆固连于摇杆 O1B。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对

23、运动以以O为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。 相对运动相对运动沿沿O1B的直线运动。的直线运动。牵连运动牵连运动摇杆绕摇杆绕O1轴的摆动。轴的摆动。动点动点滑块滑块 A 。y x定系定系固连于机座。固连于机座。reavvv应用速度合成定理应用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va：vaOA r ，方，方 向垂直于向垂直于OA，沿铅垂沿铅垂 方向向上。方向向上。 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 牵连速度牵连速度ve：ve为所要求的未知量，为所要求的未知量， 方向垂直于方向垂直于O1B 。vavevrreavvvj sinaevv

24、 22211erlrAOv, sin22rlrj， arv 因为因为222erlrv所以所以设摇杆在此瞬时的角速度为设摇杆在此瞬时的角速度为1，则则,221rlAO2221rlr其中其中所以可得所以可得可得可得应用应用vavevr（逆时针）。（逆时针）。 若 取 摇 杆若 取 摇 杆O1B上上A点为动点为动点，动系固连曲点，动系固连曲柄OA，则相对，则相对运动轨迹是什么运动轨迹是什么曲线？曲线？ 讨论 例例 仿形机床中半径为仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带沿水平轨道向右运动，带动顶杆动顶杆AB沿铅垂方向运动，沿铅垂方向运动，如图所示。

25、试求如图所示。试求=60时时，顶顶杆杆AB的速度。的速度。 ABnRABnR 解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系 固连于凸轮。固连于凸轮。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动直线运动。直线运动。牵连运动牵连运动水平平移。水平平移。动点动点 AB 杆的端点杆的端点A 。 相对运动相对运动沿凸轮轮廓曲线运动。沿凸轮轮廓曲线运动。定系定系固连于水平轨道。固连于水平轨道。ABnR3. 速度分析。速度分析。绝对速度绝对速度va：大小未知，方向沿大小未知，方向沿 杆杆AB向上。向上。 相对速度相对速度vr： 大小未知，方向沿大小未知，方向沿 凸轮圆周的切线凸轮圆周的切线

26、 。 牵连速度牵连速度ve：ve= v0，方向水平向方向水平向 右。右。00ea577. 060 cot cotvvvvjreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理ABnR方向向上。方向向上。 可得可得因为杆因为杆AB作平动，所以此瞬时它的速作平动，所以此瞬时它的速度大小：度大小： 0577.0vvvABa 圆盘凸轮机构已知：已知：OCe , , （匀角速度）图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：求：从动杆AB的速度。eR3例例7-3解解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 332300etgvvea绝对速度 va = ? 待求， 方向/AB相对速度 vr =

27、? 未知， 方向CA牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图示。eravvv)(332 evAB由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为：(1) 选取动点，动系和静系。(2) 三种运动的分析。(3) 三种速度的分析。(5) 根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。eravvv(4) 根据速度合成定理 作出速度平行四边形。动点、动系和静系的选择原则动点、动系和静系的选择原则(1) 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动(2) 动

28、点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。 例例 已知正弦机构中，曲柄已知正弦机构中，曲柄OAl，加速度加速度 ， 30o 。求求T型杆型杆BCD的速度。的速度。OADCB例题例题 3-2OADCB解：解：1. 选择动点与动系。选择动点与动系。动点动点曲柄上的曲柄上的A点；点；动系动系固连于杆固连于杆BC上。上。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动以以O为圆心为圆心 、l为半径的等速圆为半径的等速圆 周运动。周运动。 相对运动相对运动沿沿BC方向的直线运动。方向的直线运动。牵连运动牵连运动铅垂方向的平移。铅垂方向的平移。定系定系OADCB3.

29、 速度分析。速度分析。vrveva 牵连速度牵连速度ve： ve？, 方向沿铅垂方向向上。方向沿铅垂方向向上。l21sineaBCvvvsin30l绝对速度绝对速度 va ： va l，方向方向垂直于垂直于OC相对速度相对速度vr： vr？，方向沿方向沿BC。T型杆型杆BCD的速度的速度eravvv方向铅垂向上方向铅垂向上 已知: 凸轮半径r , 图示时 杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。;30 ,v例例7-5绝对运动: 直线运动, 绝对速度:相对运动: 直线运动, 相对速度:解: 取凸轮上C点为动点动点, 动系动系固结于OA杆上, 静系静系固结于基座。 , 方向vvaOCOCve方向待

30、求未知 , , 方向未知 ,rvOA牵连运动: 定轴转动, 牵连速度:rvvrrve6333212 vvvae33tg（） ,2sinrrOCve又如图示。根据速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形OA1OCevavrvavevrv 例 圆盘半径为圆盘半径为R，以角速度，以角速度1绕水平轴绕水平轴CD转动，支承转动，支承CD的的框架又以角速度框架又以角速度2绕铅直的绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD、圆心在、圆心在CD与与AB的交点的交点O处。求当连线处。求当连线OM在水平位置时，在水平位置时，圆盘边缘的点圆盘边缘的点M的绝对速度。的绝对速度。 例题

31、例题 3-9解：1. 选择动点与动系。选择动点与动系。动系动系Axyz ，固定框架上。固定框架上。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动空间曲线运动空间曲线运动 。牵连运动牵连运动绕绕z轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点动点 点点M 。 相对运动相对运动以以O为圆心的圆周为圆心的圆周运动运动 。xzyreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。绝对速度绝对速度va：va为所要求的未知量，为所要求的未知量，方向未知。方向未知。相对速度相对速度vr： vr 1R ，垂直于，垂直于M，方向向下方向向下 。牵连速度牵连速度ve： ve 2R，在水平面，在水平面内，方向垂直

32、于内，方向垂直于OM 。21222r2eaRvvv12retanvv得得reavvv 加速度加速度合成定理合成定理 三种加速度三种加速度7-37-3牵连运动是平动时点的牵连运动是平动时点的 加速度合成定理加速度合成定理绝对加速度绝对加速度动点相对于定系的加速度称为绝对加速动点相对于定系的加速度称为绝对加速度，用度，用aa表示。表示。相对加速度相对加速度动点相对于动系的加速度称为相对加速动点相对于动系的加速度称为相对加速度，用度，用ar表示。表示。牵连加速度牵连加速度动系上与动点相重合的那一点（牵连点）动系上与动点相重合的那一点（牵连点）对于定系的加速度称为牵连加速度，用对于定系的加速度称为牵连

33、加速度，用ae表示。表示。1. 三种加速度reavvv由于牵连运动为平动，故由速度合成定理 , OeOeaavv 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。2.牵连运动是平移时点的加速度合成定理v rkdtdzjdtdyidtdx而kdtdzjdtdyidtdxvvOa 对t求导：222222kdtzdjdtydidtxddtvddtvdaOaa0, 0, 0dtdkdtdjdtdi, , kjidtdkdtdzdtdjdtdydti ddtdx(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，

34、所以 ）reaaaa 牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 , 222222kdtzdjdtydidtxdaaadtvdreOO又naaa nrrneenaaaaaaaa一般式可写为： 加速度合成定理加速度合成定理 牵连运动为平移时，牵连运动为平移时，点的绝对加速度等点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。于牵连加速度、相对加速度的矢量和。解解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。 已知：凸轮半径 求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。ooavR,例例7-5绝对速度va = ? , 方向AB ；绝对加速度aa

35、=?, 方向AB，待求。相对速度vr = ? , 方向CA; 相对加速度ar =? 方向CARvarnr/2方向沿CA指向C牵连速度ve=v0 , 方向 ; 牵连加速度 ae=a0 , 方向由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形速度平行四边形,如图示。003260sinsinvvvvoerjjj因牵连运动为平动牵连运动为平动，故有nreaaaaarRvRvRvarnr34/)32(/ 20202其中作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线 n上，得nreaaaajjcossin60sin/ )3460cos( sin/ )cos( 200Rvaaaanreajj整理得)38(33200R

36、vaaaaAB注加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影，与 静平衡方程的投影关系 不同jn绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动，已知已知: OAl , = 45o 时，、 求求：小车的速度与加速度j解解： 动点：动点：OA杆上杆上 A点点; 动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。)( OAlva方向)( ),( 2OAOlaOAlanaa指向沿方向铅直方向 ? ?rrav., ? ?待求量水平方向eeav 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构例例7-6相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；牵连运动：平动；小车的速度小车的速度：evv 根据分析作

37、速度图和加速度图根据分析作速度图和加速度图reavvv)(coscos jllvvae2245在x轴上投影：enaaaaajjsincos45sin45cos2llae，方向如图示l )(222小车的加速度小车的加速度：eaa 根据牵连平动的加速度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理renaaaaaa例例7-7曲柄OA= r，以匀角速度o转动，BC=DE，BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。6030DEABCOO解：角速度角速度 DBCE为平行四边形，所以BC杆作平动。 动系固结在BC杆上，套筒A为动点。 绝对速度: va=rOvavevrvavevrvBve= vr =

38、va =rOvB =ve=rOlrlvoB6030DEABCOOBaraaa角加速度：角加速度：A点绝对运动作匀速圆周运动；相对运动为直线运动；点绝对运动作匀速圆周运动；相对运动为直线运动；B点作点作圆周运动。其加速度方向如图；圆周运动。其加速度方向如图；rneereaaaaaaaraoa2Aynearaaaea303060lrlaone222？rneeaaaaa将在y轴上投影：30sin30cos30sinneeaaaa30cos30sin)( neaeaaaAynearaaaea30306030lrlraoe3)(32223)(3lrlrlaoeBD杆的角加速度杆的角加速度：（隐含正号，方

39、向假设正确）隐含正号，方向假设正确）vavevr例7-8RBCOO1A曲柄OA= R =10cm，以匀角速度=4 rad/s 转动，求=30时BC的速度和加速度。解：动点-滑块A动系-固结于BC绝对运动：速度分析图：6060603030 1.256m/s 410 OAvvvera牵连运动：相对运动：RBCOO1A加速度分析图： ernrnaeraaaaaaaa？ cos3060enrnaaaa cos将上式在轴上投影：30303060 30aaaearnarn m/s7715m/s77152222.RvaOAarnrna m/s 327 2.ea 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理 科氏加

40、速度7-47-4牵连运动是转动时点的牵连运动是转动时点的 加速度合成定理加速度合成定理 设一圆盘-以匀角速度 绕定轴顺时针转动， 盘上圆槽内有一点M-以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动， 那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？222222kdtzdjdtydidtxddtvddtvdaOaadtdkdtdzdtdjdtdydti ddtdxRvavrrr2, 常数有相对运动相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出常数rreavRvvv选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动RaRvee2 ,（方向如图）即绝对运动绝对

41、运动也为匀速圆周运动，所以rrraavRvRRvRRva2)(2222方向指向圆心点 分析上式： 还多出一项2 vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于等于 牵连加牵连加 速度和相对加速度的矢量和。速度和相对加速度的矢量和。 那么他们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。earaaa, , /22RaRvaerrrrraavRvRRvRRva2)(2222三种速度分析三种速度分析牵连速度牵连速度相对速度相对速度绝对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+

42、t 瞬时在位置IIevrvreavvvreavvvevrv 可以看出，经过t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。 设有已知杆OA在图示平面内以匀 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒取套筒M为动点，动系固结于杆为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。上，静系固结于机架。1. .牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理其中 -在t内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 - 在t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关 。 t 时间间隔内的速度变化分析时间间隔内的速度变化分析(1)相对速度

43、相对速度：由作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后， 分解为 和rrrvvv, ,rvrvrvrv rv rrrvvv即rv rv(2)牵连速度牵连速度： 由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取等于 长后，将 分解为 和 ，eeevvv, ,evevevev ev eeevvv即其中: 表示t内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。 表示t内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的 大小改变量，与相对速度 有关。ev evrv加速度分析加速度分析根据加速度定义tvvvvtvvareretaata)() (limlim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)

44、()(lim上式中各项的物理意义如下：第一项大小：eetetaOMtvtv200limlimjtvtvtvtvrtrtetet limlim limlim0000 方向：t 0时，j 0 , 其方向沿着直杆指向A点。 因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。ea第三项大小： 为对应于 大小改变rrrtadtvdtvlim0rv 方向：总是沿直杆。 因此，该项恰是瞬时动点的相对加速度。ra第二项大小：tOMOMtvvtvteetetlimlim lim000rrtvvtMM方向 , lim10该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：。方向 , lim lim0

45、0rrrtrtvvtvtvj这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为kreaaaaa 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式knrrneenaaaaaaaaa转动的一边指向顺方向 , , 2rrkvva 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简科里奥利加速度，简称科氏加速度。称科氏加速度。ka 设载体以角速度设载体以角速度和角加速度和角加速度 绕定绕定系系Oxyz的轴的轴z转动；动系转动；动系Ox y z 固连于载固

46、连于载体，动点体，动点M沿相对轨迹沿相对轨迹AB运动。运动。OOzyxrrOrikjvevrABM(m)(1) vr与与 ar相对矢径相对矢径kjir zyxkjiv zyxrkjia zyx r相对速度相对速度相对加速度相对加速度牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理( (另另) )(2) ve与与 ae 牵连速度牵连速度rvvmenetenteaaaaaammmevr牵连加速度牵连加速度OOzyxrrOrikjvevrABM(m)(3) va与与 aa由点的速度合成定理由点的速度合成定理reavvvrvakji zyx在定系中求上式对时间在定系中求上式

47、对时间 t 的导数的导数 tttddddddreavvvtttdd)(ddddarv)(kji zyxkjiv zyxrrve得得avr)(revvrrevvrreeddvavtt ddaava ttddddrr)(ddddervtteevrareavvvtttddddddreavvvtttdd)(ddddarv)(kji zyx)(kzjyix )dddddd(tztytxkjikjia zyx rrv)(kji zyx)()()(kji zyxiit ddjjt ddkkt dd泊松公式泊松公式artttdd)(ddddarv)(kji zyxttddddrv)(kji zyxrrrddv

48、avtkjiv zyxrtttaddddddrevvv 它表示了牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理（科里奥利定它表示了牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理（科里奥利定理），即理），即当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。rrea2vaaarC2vaCreaaaaa上式右端的最后一项称为上式右端的最后一项称为科氏加速度科氏加速度，并用，并用aC表示，即表示，即最后得到动点绝对加速度的表达式最后得到动点绝对加速度的表

49、达式, ddreevavtrrrddvavt, ddaatva 代入代入(3) 在一些特殊情况下科氏加速度在一些特殊情况下科氏加速度aC等于零：等于零： =0 的瞬时；的瞬时； vr=0 的瞬时；的瞬时； vr 的瞬时。的瞬时。(1) 科氏加速度是牵连转动（科氏加速度是牵连转动（）和相对运动（）和相对运动（vr）相互影响的结果。）相互影响的结果。rC2varnrC2sin2vva(2) aC的大小：的大小：aC的方向：的方向：垂直于垂直于与与vr所确定的平面，由右手规则确定。所确定的平面，由右手规则确定。Carvrnvrv2. 科氏加速度rCrvav2), ( 90时当()解解: 动点: 顶杆

50、上A点； 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 绝对运动: 直线; 绝对速度: va=? 待求, 方向/AB; 相对运动: 曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。例例7-9 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。n rvarnr方向同相对加速度 ,cos/:2222ABaa/ , ?:方向绝对加速度nar方向 ?; , , 0 :2Oraaaneee方向指向轴心牵连加速度相反。指向与方向科氏加速度 ,/,cos/22:2nnrvark)(tg tgrvvv

51、eaABcos/ cos/rvver根据速度合成定理reavvv做出速度平行四边形由牵连运动为转动时的加速度合成定牵连运动为转动时的加速度合成定理理kneaaaaaarr作出加速度矢量图加速度矢量图如图示向 n 轴投影：knreaaaaacoscoscos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1 (232rr解解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。sin211vak)/( 022vak 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小,

52、 并图示方向。1v2vDABC点M2 的科氏加速度 例例7-10 解：rkva22rkrvav222 reavvv根据做出速度平行四边形)cos(sin),sin(cos11jjrvvrvvarae1122cossin)sin(cossin)sin(jjjjrrAOvervark212cos)22sin(2jj方向：与 相同。ev 曲柄摆杆机构已知：O1Ar , , j , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。例例7-11reavvvreaaaa一概念及公式一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成 2. 速度合成

53、定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时)2( rkkreavaaaaa第七章点的合成运动习题课第七章点的合成运动习题课二解题步骤二解题步骤1. 选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度, 角速度）。4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。摇杆滑道机构摇杆滑道机构解解：动点动点:销子销子D (BC上上); 动系动系: 固结于固结于OA；静系；静系: 固结于机架。固结于机架。绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线

54、运动，沿OA 线牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，aavvaa,?,rravOODaOAODanee指向 ?;?,2OAODve?,jsinsin,coscosvvvvvvaraehvhvODve2cos )cos/(cos/（）avh,:已知：已知： 求求: OA杆的 、 。根据速度合成定理速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示。reavvv例例7-12投至 轴：keaaaacoscossincos2cos22ahvaaaake2222cos2sincoshahvODae（）根据牵连转动的加速度合成定理牵连转动的加速度合成定理krneeaaaaaasincos22,c

55、os)cos(cos23222vhvvahvhvharkne曲柄滑块机构曲柄滑块机构解解：动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:固结于固结于BCD上上, 静系固结于机架上。静系固结于机架上。 绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动相对运动：直线运动; 牵连运动：平动牵连运动：平动; ，水平方向AOrva11 , BCvr /?,?ev已知：已知： h; 图示瞬时 ; 求求: 该瞬时 杆的2 。EOAO21/EO2 ,11rAO例例7-13 根据根据 reavvv再选动点：再选动点：BCD上上F点点动系：固结于动系：固结于O2E上，上，静系固结于机架上静系固结于机架上绝对运

56、动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，)(sin1rvFa)(/ ?,2EOvFr)( ?,2EOvFesinsin1rvvae根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形FrFeFavvv211sinsinsinsinrrvvFaFesin/,222hFOFOveF又312122sinsinsinhrhrFOveF）（已知已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上; 已知;求求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。av、 分析: 由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。例例7-14 凸轮机构

57、凸轮机构解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，点为动点， 动系固结于动系固结于OA杆上，杆上， 静系固结于地面上静系固结于地面上 绝对运动绝对运动: 直线运动，直线运动， 相对运动相对运动: 直线运动，直线运动， 牵连运动牵连运动: 定轴转动，定轴转动，aavvaa ,OAavrr/ ? ?,方向OCve方向 ?,方向OC; ?2OOCane指向?,OCaesinsin/ ;,0RvRvOCvvvvveaer）(根据reavvv根据krneeaaaaaa做出加速度矢量图02 ,sin)sin(sin22rknevaRvRvRa投至 轴：cossincoseneaaaatgneaeaaa2222s

58、insinsin/sinRvRaRRvaOCae转向由上式符号决定，0则，0 则已知已知: 主动轮O转速n=30 r/minOA=150mm , 图示瞬时, OAOO1求求: O1D 杆的 1、 1 和滑块B的 。BBav ,例例7-15 刨床机构刨床机构其中m/s 15. 03015. 0nOAvarad/s5515.0503.0 m/s 503.0sin11jAOvvveae）(解解：动点：轮动点：轮O上上A点点动系：动系：O1D , 静系：机架静系：机架根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形 。reavvvm/s 506. 0cos)55sin ,552(cosjjjarvv根据根据k

59、rneeaaaaaa做出加速度矢量图做出加速度矢量图rkavaa122 15. 0投至方向投至方向：kajekaaaacos222m/s 5518. 0506. 05255215. 0ea22211rad/s 256515.015518.0/AOae）(再选动点再选动点:滑块滑块B; 动系动系: O1D; 静系静系: 机架。机架。根据根据BrBeBavvv做出速度矢量图做出速度矢量图。,m/s 506. 02eeBvvm/s 503. 0tg m/s 15. 0cos/ jjeBrBeBaBBvvvvv根据根据kBrBneBBeBaaaaaa 投至 x 轴：kBeBaBaaajcos2222m

60、/s 15. 0552/ )5506. 05536. 0(aBBaa做出加速度矢量图做出加速度矢量图2 2m/s5536. 02eeBaa其中221m/s 5506. 0 503. 0522rBkBva图示瞬时,h已知, 求:套筒O的和 。av,解：方法方法1： A点作直线运动tghxAhxxAA/)2sincos(2hxhxAA/cos sec22即代入图示瞬时的已知量，得2222cos)2sin( , coshvhahv（ ）（ ）例例7-16 套筒滑道机构套筒滑道机构对比两种方法（）222cos)2sin( hvhaOAae投至投至 方向：方向：ekaaaacoska cos2sinco