数学建模美国赛叶子的重量

1、2012A Cassify Leaf Shape and Estimate for Leaf MassAbstract本文主要从四方面建立模型解决问题。针对第一问我们主要应用相关聚类分析，首先从24个方面对树木进行一级聚类，然后针对聚类后的树木类别再分别从8个方面对该样本树木的树叶进行二级聚类分析，这样我们便从数学角度说明了叶子为什么会具有各种形状。针对第二问我们主要应用叶序和叶镶嵌理论研究叶子的分布和叶子形状之间的联系，根据前人已经证明了的植物的叶片在其实际的镶嵌角下，覆盖面积最大，达到一个最大曝光率的生长模式这一结论，我们通过网格数计算出下层树叶偏转不同角度后它的光合作用面积，在计算出总的

2、光合作用曝光率，从而求出最佳曝光率, 根据最佳的面积曝光率对比树叶的排列，二者存在相关性。针对第三问，主要研究树形与叶形的相关性，在这里我们指定3个指数，分别就叶形指数1、2和树形指数进行最小二乘法的函数回归，研究结果发现二者呈现负相关的趋势。针对第四问，在前面我们已经对叶子的形状进行了分类，故在建立面积估算的模型时，我们能找到一个具有代表性的叶子进行分析，同时我们考虑到同一棵树叶子的年龄结构，密度，大小的因素，建立了求单片叶片质量的权重函数，然后主要采用插值和积分的思想，求出单片叶片的面积，然后利用基于L系统的植物建模改进方法估算参数，结合单片叶片的质量，从而计算出所有叶片的质量。Key w

3、ords：因子分析 R型聚类分析 线性回归 叶序和叶镶嵌理论 基于L系统的植物模型Problem backgrounds(introduction)叶片有多种多样的形状，例如针形、披针形、椭圆形、条形、扇形等。叶是树木暴露在空气中表面积最大的器官，和外界环境的接触面积也是最大的，因此，外界环境条件对叶片的形态结构有明显的影响，树木在进化过程中适应不同的生态环境，形成多种生态类型的叶。在气候干燥、土壤水分缺乏的干旱环境中，树木为了适应干燥的环境，旱生树木叶片的结构特点主要是朝着降低蒸腾和储藏水分两个方面发展。因此旱生树木的叶通常较小，以减少叶的蒸腾面积。树木的生长需要能量，获得能量主要是靠他们的

4、叶子。树叶在白天进行光合作用，积累有机物。叶子数量的增加，有利于有机物的积累和树木的生长。但叶子数量的增加叶子重叠的阴影将会增大，叶面积指数降低，从而减小光合作用对有机物的积累并且增加了呼吸作用对于有机物的消耗。因此在长期影响下，树木会在叶子数量和叶面积指数两方面达到一种均衡。树叶的形状不全是为了使重叠的树荫最小化，从而使日光照射最大化，而是为了达到最优化的目标。粗壮的枝能够承受较大的压力，离分支节点越远的分枝越短越细。分枝越细，能承受的叶子重量越小，叶片越小。离地面同一高度上同一等级分枝节间长度越大，树叶的形状越大。离地面低的分枝上的叶子与它同一等级的分枝的叶子相比，由于光照强度弱，故为了增

5、强光合作用叶片较大。因此，树叶在树上和树枝上的分布会影响树叶的形状。基于这样的生物学背景（叶片与树木的关系密切相互影响），我们建立数学模型来完成下列题目：“一棵树的叶子有多重?”怎么能估计树的叶子（或者树的任何其它部分）的实际重量?怎样对叶子进行分类?建立一个数学模型来对叶子进行描述和分类。模型要考虑和回答下面的问题： ·为什么叶子具有各种形状？ · 叶子之间要是将相互重叠的部分最小化，以便可以最大限度的接触到阳光吗？树叶的分布以及树干和枝杈的体积影响叶子的形状吗？·就轮廓来讲，叶形（一般特征）是和树的轮廓以及分枝结构有关吗？·你将如何估计一棵树的叶子质

6、量？叶子的质量和树的尺寸特征（包括和外形轮廓有关的高度、质量、体积）有联系吗？)Problem analysis通过阅读完题目后，我们将问题划分为四个小问题去解决：·对不同形状的叶子进行分类·研究叶子的分布和叶子形状之间的联系·研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系·计算所有叶子的质量针对问题一，首先我们从生物学的角度考虑到，不同物种的树叶有多种多样的形状，是环境长期影响的结果，如果直接从叶结构的指标入手对叶形进行分类，过程将相当繁琐。在这里我们采用两次聚类，分别涉及到样本树木本身对叶形的影响和叶结构对树木的影响。我们首先就24个指标对样本树木进行分类，分析

7、聚为一类的样本树木的叶片特点，然后针对每一类样本树木的叶片的8项指标进行二级聚类，根据聚类结果，我们进行分析总结；针对问题二和三，主要是从研究两方面事物的相关性入手，研究叶子的分布和叶子形状之间的联系时主要采用叶序和叶镶嵌理论；研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系时，我们主要借助一些描述树的轮廓和叶子的形状的参数进行先处理后拟合，从而从图表中观察相关性；针对问题四，我们先从一个标准叶片入手，利用插值和积分求出单个叶片的面积，同时应用基于L系统的植物建模改进方法，然后分析相关系数来推算叶片的个数，从而计算出树叶的总质量。Assumptions·在相同的环境影响下，同种树木的形态基本相似，

8、即同一棵树的树叶只有大小的区别·在树木的生长过程中，外界营养供给充裕，每个腋芽都能正常生长，且侧枝没有死亡现象。·在树木的生长过程中，树木的分支角度在一定范围内变化。Symbols description变量名称变量含义第j株树的第i个性状的数据性状i在n个观测值中的平均数性状i在n个观测值中的离差R树形指数叶形指数1叶形指数2性状p与q之间的相关系数某种年龄结构下单片树叶的面积某种年龄结构下树叶的密度Model design and solving ·Model 1:对树木的一级聚类和对树叶的二级聚类聚类原理说明：我们主要就有关树木的24个变量，对树木进行分类：

9、首先我们先找到有关树木的几项参数：中央直径（mid-diameter），胸径（the DBH），树高(height of tree)，树冠直径(crown diameter)，树冠长度(Crown length)，冠幅平面积(Crown area)，树冠表面积(Crown surface area)，树冠体积(Canopy volume)，冠高比(Crown height)，冠径比(Crown diameter ratio)，侧枝总数(The total number of branches)。根据调查材料，计算出各株样木的高径比（树高/胸径），胸高形率（中央直径/胸径），冠长（树高-枝下高）

10、，平均轮间距（冠长/枝轮数），枝条密度（侧枝总数/冠长），侧枝长粗比（枝长/枝底径），相对枝径（枝底径/胸径），冠高比（树冠直径/树高），冠径比（树冠直径/胸径），并以树冠直径，计算冠幅面积；以圆锥体公式，计算树冠体积和树冠表面积。在聚类之前，由于24个变量，变量维数较多，操作较为复杂，因此，我们先进行因子分析，对24个变量进行降维处理，简便操作的同时不影响聚类结果。下面我们根据这24个性状，用R型聚类法对所获数据进行聚类，原理如下：将n株样本树木的m个（m=24）性状数值表示为矩阵： 表示第j株树的第i个性状的数据令和分别表示性状i在n个观测值中的平均数和离差，则可将所有的进行标准化转化，得

11、：则相应的矩阵为：性状p与q之间的相关系数为： p,q=1.2m相关矩阵为：=由于相关系数是相似系数的一种，因此，可以从相关矩阵出发，作R型（变量）聚类分析。根据系统聚类原理，以作为类间参数，先将m个性状各自看做一类，选择最相似的两类合并为一类（即合并值最大的两个性状）。如此反复多次，直至所有性状全部聚为一类为止。那么，新的类间参数可由类平均法给出。其公式为：同理，我们就有关树叶的八项指标进行二级聚类：根据上面样本树木的聚类结果，我们对聚成一类的样本树木的叶子形态从这八项指标进行聚类分析：纵横轴比（aspect ratio），矩形度(rectangularity)，面积凹凸比(area con

12、vexity)，周长凹凸比(perimeter convexity )，球状性(sphericity)，圆形度(circularity)，偏心率(eccent ricity)，形状参数(form factor)（该八项几何特征参数都具有旋转，平移和尺度不变性）根据这八项指标的聚类结果，很好的区分了叶子的形状。根据两次聚类结果，我们发现同类样本树木的叶片形状大体相似，说明树木本身的形态对着生树叶的形态有一定的影响，这一结论在生物学角度也是成立的；同时我们还发现，叶片本身的因素，例如叶脉密度，叶片长度，宽度等对叶片的形状也产生着不容忽视的影响。综上我们的模型分别从这两方面就叶片为何有不同的形状进行

13、了论述。·Model 2: 叶序和叶镶嵌理论研究叶子的分布和叶子形状之间的联系叶序：叶在茎上排列的方式称为叶序。植物体通过一定的叶序，使叶均匀地、适合地排列，充分地接受阳光，有利于光合作用的进行。叶镶嵌：同一个枝上的叶不论是那一种叶序，叶总是不相重叠而成镶嵌状态进行排列的现象。通过王科等对32科64种被子植物分析，得到了叶序和叶镶嵌的关系。我们选取其中具有代表性的（三叶轮生夹竹桃）一组如下：叶序代表植物相邻角镶嵌角轮生夹竹桃120°60°相邻角：螺旋周的数目/叶循环中的叶数；镶嵌角：360°/叶循环中的叶数。我们经过对树叶形状的分析，假设一棵树上的树叶形

14、状参数基本一致，只是大小的区分问题。文献9的方法，已经证明了植物的叶片在其实际的镶嵌角下，覆盖面积最大，达到一个最大曝光率的生长模式。下图是他们的一个算法的图形，通过网格数计算出下层树叶偏转不同角度后它的光合作用面积，在计算出总的光合作用曝光率。这是示意图：Figure 1这是曝光率图： Figure 2第一层，第二层往往形成了一个极大的曝光生长模式，第三层在若以第二层为基准，应该继续旋转60°，此时则与第一层重叠（或者说第一层遮住了第三层），所以树木为了生长必须增大叶的表面积去接受阳光，也就是产生了比例大的树叶。但此时的曝光量是否最佳就成了我们要研究的问题了。我们对其方法进行改进，

15、将第一层下的树叶的面积逐渐增大（观测实物可发现树叶的大小从上到下依次变大），观测是否相同树木上的不同大小树叶的组合达到一个曝光率最大的问题。下图是我们的示意图：Figure 3再通过计算面积曝光率可以容易得到此时的排列方式最优。如下Figure4所以，这也就解释了为什么树木自身的分层会导致树叶的大小不同。·Model 3: 研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系首先我们定义了树形指数R和叶形指数和： 树形指数R= =根据这些指数，我们研究两两变量间的相关性。分别取，作为因变量，R作为自变量，利用最小二乘法进行一元线性回归，通过观察P值的大小（与进行比较），来判定拟合的优度。下面给出拟合好

16、的函数，并检验了其准确性。Table1树编号树形指数R叶形指数11.6430.9780.96821.4491.0020.99831.4041.1121.10941.7001.0141.01551.5651.0161.00761.6441.0231.03371.8161.0091.00981.4831.1521.14991.5771.0041.004101.6740.8990.899111.5601.0021.002121.5740.9640.954131.6301.0321.042141.5881.0451.049151.5861.0221.011根据表1的数据分别就R与，R与进行相关性分析，

17、在这里我们采用的是一元线性回归，得到方差表，拟合度检验表以及图像，如下：树形指数与叶形指数1的相关性（R与）：Table2ANOVA平方和df均方FSig.回归.0161.0166.805.022残差.03113.002总计.04714自变量为 树形指数。系数未标准化系数标准化系数tSig.B标准误Beta树形指数-.445.171-.586-2.609.022（常数）1.716.2686.406.000Figure 5由于上表可以得到：P值为0.022小于0.05，所以拒绝原假设，显著相关，变量之间的函数式拟和度良好，函数关系式为：树形指数与叶形指数1的相关性（R与）：Table3ANOVA

18、平方和df均方FSig.回归.0151.0155.549.035残差.03413.003总计.04914自变量为 树形指数。系数未标准化系数标准化系数tSig.B标准误Beta树形指数-.423.180-.547-2.356.035（常数）1.680.2825.957.000Figure 6由于上表可以得到：P值为0.035小于0.05，所以拒绝原假设，显著相关，变量之间的函数式拟和度良好，函数关系式为：综上两个拟合函数，我们发现第一个函数的拟合程度更优，因此叶形指数1与树形指数有显著的负相关。·Model 4:计算所有叶片的质量我们在第一问中已经对树木和树叶进行了一个良好的分类了，

19、也就是说对于某一类的树木，我们可以选取其具有代表性的树木形状（其他树木形状与其具有一定的相似程度）和叶形状为例来估算树叶的总质量。对于树木：不同种类的树木具有不同的分枝方式，复制的规律不同。所以我们就分枝方式进行了分析。树木大致有以下三种分枝方式：Figure7A：顶芽不断地向上旺盛的生长，形成粗大的主干。而侧芽也生长成侧枝，侧枝再分枝。单轴分枝的主干一般比较挺直，各级侧枝的生长都不如它。杨树、水杉等植物均为单轴分枝。B：顶芽形成一段枝条后，停止发育，由离其较近的两个对生的腋芽同时发育为一对对生侧枝，然后这对侧枝上的顶芽、腋芽的生长活动又重复着同样的过程。丁香、石竹、七叶树等植物均在此列。C顶

20、芽经过一段时间的生长后，生长速度减慢或死亡，或分化为花芽，用顶芽下面的腋芽代替顶芽的生长，形成一段枝条。之后，这种分枝上的顶芽又停止生长，其下面的腋芽又来代替，就这样重复生长。合轴分枝节间较短，常呈曲折状。苹果树、梨树、桃树、杏树等大多数被子植物存在这种分枝方式。我们采用基于L系统的植物建模改进方法，它是由美国生物学家A.L.D于1968年提出，后由S为模拟植物而将其引入计算机图形学。基于L系统的植物建模改进方法侧重于植物拓扑结构的表达，试图用抽象出来的规则描述植物的形态及生长规律。通过观察树木的整体发现，树木都是由主干 、分枝、树叶这些基本元素组成。之后按照递归规律，即：主干由主干上分生出第

21、一层分支，再由第一层分支上生出第二层分支，一层层分下去直至树叶。然而，由于现实中树木第二层以后的分布往往不具有规律性，也就是不一定呈现单轴分枝的情形了，但是一般都在一定范围波动。所以综上，除了特定参数外，我们加上了主侧枝长度衰减，主侧枝长度衰减的参数，这样与实际更相符。Table4参数名称类型范围主干长度衰减系数double(0,1)主干宽度衰减系数double(0,1)侧枝长度衰减系数double(0,1)侧枝宽度衰减系数double(0,1)枝条顶底半径比double (0,1) 分支数int(2,n)层次数int (0,n) 侧枝角度double(0,90位置分布随机数组double(0

22、,1)通过榆树生长特点的调整确定了随机的具体范围：Table5参数名称类型范围主干长度衰减系数double(0,1)主干宽度衰减系数double(0,1)侧枝长度衰减系数double(0,1)侧枝宽度衰减系数double(0,1)枝条顶底半径比double (0,1) 分支数int(3,12)层次数int (0,6) 侧枝角度double(30,80位置分布随机数组double(0,1)最终随机模拟生成了榆树的形态：Figure 8对于树叶：通过查阅资料，我们选取四种常见树叶，来求单片树叶的面积。以榆树叶为例我们运用插值和积分的思想拟合出上下曲线函数和，横坐标范围为a,b，则由积分法得到面积公

23、式为： (1)如图9（a）, 图9（b）插值图：Figure9（a）实物对比图：Figure9（b）通过计算可以得到树叶的面积。函数见附录1为了减少误差，选取N片同棵树相同高度的树叶，用同样的方法计算他们的面积，然后取他们面积的平均值作为每种树叶的单片叶片的面积值： （2）由于叶片的年龄结构百分比，大小，密度都存在一定的差异，导致不同层数的树叶的叶面积不相同，因此我们在这里将其分为三部分考虑：新年叶，壮年叶，老年叶，上式已经得到壮年叶的单片叶片的面积，则用同样的方法可以计算出新年叶的单片叶片的面积，老年叶的单片叶片的面积。最后得到整棵树的单片叶子的平均质量为： （3）我们选取了十片叶子（Tab

24、le5），Table6叶片编号面积（cm）119.35218.26319.36420.41519.42617.44719.33821.37918.421022.31通过公式（1）（2）（3），计算得到了壮年叶片的面积；同理计算得到 ， 下面我们给出一组参数表，如下Table7变量名称数值19.56711.740215.653657%23%20%0.17 0.14 0.12我们经过对树生长的随机模拟，得到了N=338564片叶子，则该树的树叶总质量为：代入数据后，=897.1kgWeaknesses and strengths of the model我们对叶形的聚类用了因子分析法，减少了变量的

25、数目，简化我们研究的工作量。我们利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系。我们运用L系统模型抓住了树木生长的规律，较好地估计了一棵树的树叶的质量。对于单片叶子面积的计算，考虑了叶片的年龄结构百分比，大小，密度，使结果更接近实际，但是没有考虑到叶子的蜷曲的影响。由于时间紧迫，我们仅对一些植物进行了模拟，没有找到大量的数据对我们的理论进行验证。Reference1 M 一项有趣的观察叶形与树形的相关 吕政涛 山东省莱芜市2 M A Correlation Cluster Analysis of Metasequoia Numerical Characters, Lu Xudong

26、 Li Shunwen Xu Dongheng Yan Yizang3 M 西瓜数量性状间的相关聚类分析，崔光泉，山东省德州农科所4 J 中国西瓜甜瓜，1989，第2期5 M 湿地松数量性状间的相关聚类分析，涂忠虞，潘明建，樊丛梅，邱龙广江苏省林业科学研究所6 M Study on simulating virtual growth modeling of Sabian vulgaris 姜真杰7 J 基于L系统的植物建模方法改进，中国图像图形学报，20028 M 叶序与叶镶嵌，王科，张淑华，吉林9 M 叶片空间分布对叶片形状的影响，李正雄，裘哲勇，冯学蕊，浙江杭州Appendix1：f1=

27、p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4;p1 = -0.000119;p2 = 0.04887;p3 = -6.732;p4 = 321.9;f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4p1 = -6.917e-005 p2 = 0.0128 p3 = -0.9604 p4 = 148第一段上方函数0 145p1 = -6.793e-007 p2 = 0.0003849 p3 = -0.07429 p4 = 5.598 p5 = 81.26f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5下方函数f(x) = p1*x5 + p2*

28、x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6p1 = 6.377e-008 (-2.975e-006, 3.102e-006) p2 = -2.928e-005 (-0.001487, 0.001428) p3 = 0.005018 (-0.2666, 0.2766) p4 = -0.3741 (-24.91, 24.16) p5 = 8.201 (-1065, 1081) p6 = 278.9 (-1.79e+004, 1.845e+004)s1= 1.0732e+004第二段上方函数145 221f(x) = p1*x7 + p2*x6 + p3*x5 + p4*x4 +

29、p5*x3 + p6*x2 + p7*x + p8 p1 = -2.057e-009 p2 = 2.681e-006 p3 = -0.001492 p4 = 0.4597 p5 = -84.66 p6 = 9322 p7 = -5.68e+005 p8 = 1.478e+007s1= 6.8797e+006下方函数f(x) = p1*x8 + p2*x7 + p3*x6 + p4*x5 + p5*x4 + p6*x3 + p7*x2 + p8*x + p9; p1 = -4.824e-011 p2 = 6.906e-008 p3 = -4.309e-005 p4 = 0.0153 p5 = -3.38 p6 = 476 p7 = -4.17e+004 p8 = 2.078e+006 p9 = -4.51e+007第三段上方函数221 264f(x) = p1*x7 + p2*x6 + p3*x5 + p4*x4 +