函数的插值法5v

1、北京科技大学数理学院北京科技大学数理学院 卫宏儒卫宏儒计算方法计算方法第第7 7章章 插值法插值法 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用的应用 。在生产和实验中，函数。在生产和实验中，函数f(x)f(x)或者其表达或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值点的函数值( (或其导数值或其导数值) ) ，此时我们希望建立一，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数个简单的而便于计算的函数 ( (x x) )，或为各种离散，或为各种离散数据建立连续模型，使其近似的代替数据建立连续模型

2、，使其近似的代替f(x)f(x)，具体，具体有有很很多种插值法，其中以拉格朗日多种插值法，其中以拉格朗日( (LagrangeLagrange) )插值和插值和牛 顿牛 顿 ( ( N e w t o nN e w t o n ) ) 插 值 为 代 表 的 多插 值 为 代 表 的 多项式插值最有特点，常用的插值还有项式插值最有特点，常用的插值还有HermitHermit插值，插值，分段插值和样条插值。分段插值和样条插值。 求近似函数的方法求近似函数的方法: :由实验或测量的方法得到所求函数由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) y=f(x) 在互异点在互异点x x0 0 , x ,

3、x1 1, . , x, . , xn n 处的值处的值 y y0 0 , y, y1 1 , , , , y yn n , ,构造一个简单函数构造一个简单函数 p(x) p(x) 作为函数作为函数 y=f(x) y=f(x) 的近似表达式的近似表达式y= f(x) y= f(x) p(x) p(x)使使 p(xp(x0 0)=y)=y0 0 , p(x , p(x1 1)=y)=y1 1 , , , p(x, p(xn n)=y)=yn n , , (a)(a)这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。 f(x) f(x) 称为称为被插值函数被插值函数，p(x) p(x) 称为称为插值函数插

4、值函数， x x0 0 , x , x1 1, . , x, . , xn n 称为称为插值节点插值节点。(a)(a)式称为式称为插值条件插值条件。常用的插值函数是多项式。常用的插值函数是多项式。基本概念基本概念 估计估计f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b中某点中某点 的值的值时，当时，当 属于包含结点属于包含结点 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。称为外插。 在某一逼近函数类中选取的一组线性无关的在某一逼近函数类中选取的一组线性无关的函数函数 ，此时对应的插值函数，此时对应的插值函数 为：为： 由插值条件确定由插值条件确定函数组函

5、数组 称为插值基函数。称为插值基函数。 xxx012,nxxxx,0,1,2,iin px 0011( )nnp xcxcxcx(0,1,2, )ic in ,0,1, 2,ixin 最简单的插值函数是代数多项式最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)这时插值问题变为这时插值问题变为:求求n次多项式次多项式Pn(x),使满足插值条件使满足插值条件 pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系数的系数a0 ,a1, an即可即可, ,为此由插值条件为此由插值条件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系数满足下列的

6、系数满足下列n+1n+1个代数方程构成的线性方程组个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .a0+a1xn+anxnn=yn (3) 而而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是的系数行列式是Vandermonde行列式行列式 = (4)由于由于xi互异，所以互异，所以(4)右端不为零，从而方程组右端不为零，从而方程组(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可构就可构造出来了。但遗憾的是造出来了。但遗憾的是方程组方程组(3)是病态方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越越

7、高时，病态越重高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)(Lagrange插值插值 一、一、Lagrange插值多项式插值多项式 先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)(n=1)开始。这开始。这时插值问题时插值问题(2)(2)就是求一次多项式就是求一次多项式L1(x)=a0+a1x 使它满足条件使它满足条件L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,令令L1(x)=

8、l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于由于l0(x0)=1, l0(x1)=0,l1(x0)=0, l1(x1)=1. 这样这样l0(x)含有因子含有因子x-x1, 令令 l0(x)=(x-x1), 再利用再利用 l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到确定其中的系数，结果得到x-x1 l0(x)=- ,x0-x1类似的可得到类似的可得到 x-x0 l1(x)=- , x1-x0这样这样 。 (5) l0(x), l1(x)称为以称为以x0 , x1 为节点的为节点的插值基函数插值基函数。101001011)(yxxxxyxxxxxL 线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确线性插值仅仅用两个节

9、点以上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题三点的插值问题： 作二次多项式作二次多项式 L2(x)=a0 + a1x + a2x2使其满足条件使其满足条件L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2令令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 。由。由l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 ,l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 ,l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 .这样这样 l0(x)含有含有 x-

10、x1 , x-x2 两个因子，令两个因子，令 l0(x)=(x-x1)(x-x2) ,利用利用 l0(x0)=1 确定其中的系数确定其中的系数，得，得 (x-x1)(x-x2)l0(x)= - , (x0-x1)(x0-x2) 类似的可以得出类似的可以得出 l1(x) , l2(x) : (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) l1(x)=- , l2(x)=- . (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)于是于是 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) L2(x)=-y0 + -y1 + -y2 .(6) (x0-x1)(x0

11、-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以称为以 x0 , x1 , x2为节点的为节点的插值基函数插值基函数。 仿照线性插值和二次插值的办法，仿照线性插值和二次插值的办法， 进一步讨论一般形进一步讨论一般形式的式的 n 次多项式次多项式 Ln(x)=a0 +a1x +a2x2 + + anxn ,使其满足使其满足 Pn(x0)=y0 , Pn(x1)=y1 , . , Pn(xn)=yn (7)我们仍从构造我们仍从构造插值插值基函数基函数着手，先对某个固定的下着手，先对某个固定的下标标 i，作，作 n 次多项式次多项

12、式 li(x) ,使其满足条件使其满足条件 (8)容易求得容易求得 (x-x0)(x-x1).(x-xi-1)(x-xi+1).(x-xn) li(x)=-= (xi-x0)(xi-x1).(xi-xi-1)(xi-xi+1).(xi-xn) 0,()1,ijijijl x0njjijijxxxx001110011100( )( )( )()().()().()( )()().()().()()innjjjnjjnnjjjjjjjjjnnnijijjiijxxxxxxxxxxlylLxxxxxyLxx xxxxxxxxxyxx 将代入中得 .(9)公式（公式（9）就是）就是Lagrange插值

13、多项式，插值多项式，li(x)称为称为以以x0 , x1,. , xn为节点的为节点的Lagrange插值基函数插值基函数。 二二 、 Lagrange插值的截断误差插值的截断误差定理定理: 设设Ln(x)是过点是过点x0 ，x1 ，x2 ，xn的的 n 次插次插值多项式，值多项式， ，f(n+1)(x)在在a，b上存上存在，其中在，其中a，b是包含点是包含点x0 ，x1 ，x2 ，,xn的任的任一区间，则对任意给定的一区间，则对任意给定的x a，b，总存在一点总存在一点（a，b）（依赖于）（依赖于x）使）使 (10)其中其中 ，f(n+1)( ) 是是f(x)的的n+1阶微商在阶微商在 的值

14、。的值。 ,)(baCxfn(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnRxf xLxxnf101( )()().()nnxxxxxxx证明证明: 记记Rn(x) = f(x) - Ln(x) 显然显然 Rn(xi ) =0 ,i=0,1,n, 故可设故可设Rn(x)=K(x) n+1(x)现在现在a,b上任意固定一点上任意固定一点x,引进辅助函数引进辅助函数 g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1(t), (*)则则g(t)在在a,b上具有上具有n阶连续导数，在阶连续导数，在(a,b)内存内存在在n+1阶导数，在阶导数，在 t= x0, x1, xn, x诸点处皆等诸点

15、处皆等于零于零,即即g(t)在在a,b中有中有n+2个零点个零点,由由Rolle定理定理知知g(t)在在a,b中有中有n+1个零点个零点,如此反复，最后如此反复，最后可推知可推知g(n+1)(t)在在a,b中有中有1个零点个零点, ，即有，即有 g(n+1)( )=0, a b.因 为因 为 n + 1( t ) 是是 n + 1 次 多 项 式 ，次 多 项 式 ， n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因为又因为Ln(t)是是次数次数为为n的多项式的多项式,因此因此Ln (n+1)(t) = 0 。这样，由。这样，由(*)式便有式便有 由此由此得得 K(x)=f(n+1)( )/(n+1

16、)! .代入代入Rn(x)=K(x) n+1(x),定理得证定理得证. ( 1)( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( ) 0nnnnngfLK x上式称为带余项的上式称为带余项的Lagrange插值公式插值公式,只要只要f(x)具有具有n+1阶导阶导数数,就有上式成立就有上式成立,其余项为其余项为 特别，当特别，当n=1时，取时，取x0=a,x1=b，则有，则有令令x1-x0=b-a=h, x= x0+t h , 0 t 1 则则易证，当易证，当0 t 1时时,|t(1-t)|的最大值为的最大值为1/4， 1(1)( )(1)!( )( )( )nnfnf xp xxabn )(

17、)(1)!1()()1(xxRnnfnn)(!2)()(21xfxR 22)1 ()(httx|)(|8|)(|)2(21fhxR 应当指出，余项表达式只有在应当指出，余项表达式只有在 f(x) 的高阶导数存在的高阶导数存在时才能应用。时才能应用。 在在 （a，b）内的具体位置通常不可能）内的具体位置通常不可能给出，如果我们可以求出给出，如果我们可以求出 那么插值多项式那么插值多项式pn(x)逼近逼近f(x)的截断误差是的截断误差是(11) 性质：假设性质：假设x0 ,x1,xn 是是n+1个互异节点个互异节点,函数函数f(x)在这在这组节点的值组节点的值f(xk)(k=0,1,n)是给定的，

18、那么存在唯一是给定的，那么存在唯一的的n 次次多项式次次多项式pn (x)满足满足 pn (xk)=f(xk), k=0,1,nMfnnbxax1)1)(max)()!1(11)(xnnMxRnn例题：例题： 已给已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。的值并估计截断误差。 解：解： 由题意取由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。

19、 用线性插值及抛物插值计算，取用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34 , 又由公式得又由公式得 y1 - y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367 -x0) x1 - x0 0.01892=0.314567+ (0.0167) =0.330365 . 0.02其截断误差得其截断误差得其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx，可取可取，于是，于是 R1(0.3367) = sin 0.3367 L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033) 0.92 105，若取若取x1=0.34，x2=

20、0.36为节点，则线性插值为为节点，则线性插值为，)(2)(1021xxMRxxx)(/10max2xfxxxM330387. 0)0033. 0(02. 0018787. 0333487. 0)3367. 0(3367. 010.3367sin112121)(xxxyyyL3335. 0)(110)(max2xSinxxxxSinM其截断误差为其截断误差为，其中其中于是于是 用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367时，可得时，可得)(2)(2121xxMxxxR3523.0)(/102maxxfMxxx51036.1)0233.0)(0023.0)(3523.0(21)3367.0(

21、3367.0sin)3367.0(11LR330374. 00008. 0105511. 0352274. 00004. 01089. 3333487. 00008. 0107689. 0314567. 0)3367. 0()()()()()()(3367. 0sin4442120210221012012010210yLxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxxx这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得其中其中于是于是828. 0)(0co

22、s/20max3xxMfxxx62210178. 0)0233. 0)(033. 0)(0167. 0)(828. 0(61)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(LR)()(6| )(21031|xxxxxxxMR2022-6-8例例2: 已测得某地大气压强随高度变化的一组数据已测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 .压强压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求试用二次插值法求1200米处的压强值米处的压强值.解：设解：设x为高度

23、，为高度，y为大气压强的值，为大气压强的值， 选取选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三点构造二三点构造二次插值多项式次插值多项式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=- - y0 + - y1 + - y2 (x0- x1)(x0-x2) (x1 -x0)(x1 -x2) (x2-x0)(x2- x1)代入已知的数值，得代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200- 2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200

24、-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2) 用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。插值。 对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个点上的一张函数表后，要

25、构造一个多项式个点上的一张函数表后，要构造一个多项式p(x)，满，满足下面两个条件：足下面两个条件： (1) p(x)是一个不超过是一个不超过 n 次的多项式；次的多项式； (2) 在给定的点在给定的点xi( I =0,1, ,n)上与上与 f(xi)取相同值，取相同值，即即 p(xi)=yi (I=0,1, ,n)。 我们称我们称p(x) 为为 f(x) 的的，点，点 xi 为为。 插值函数是计算方法的基本工具。插值函数是计算方法的基本工具。若若 n 次多项式次多项式 li(x) (i=0,1, ., n)在在n+1个节点个节点 x0 x1 . xn上满足条上满足条件件就称这就称这n+1个个

26、n次多项式次多项式l0(x), l1(x), ,ln(x) 为节点为节点x0，x1，,xn上的上的0,()( ,0,1,., )1,ijiji jnijl x ：若在：若在a，b上用上用pn(x)近似近似 f（x）, 则截断误差为则截断误差为 Rn(x)=f(x) -pn(x) , 也称为插值多也称为插值多项式的项式的。 =xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)(形如形如的插值多项式的插值多项式Ln(x)称为称为。0( )( )nj jnjxy lxL插值基函数性质插值基函数性质(1)10001( )( )( )( ) 1(

27、 )(1)!( ) 10( )nnnnininniiiiL xRxfl xxnl xl x 0( )nkkiiil xxx0()( 1)kkkjjkjiijkxxx xj 则有：则有：0000000()( )( 1) ( )( 1)( 1)(0(1)nnkkkjjkjiiiiiijkkkjkjkjkjjnjjiiijkkkjjkxx l xx xl xjkkxxjjkxx l xxj Newton插值 拉格朗日插值多项式形式对称，计算较方便但由于拉格朗日插值多项式形式对称，计算较方便但由于p(x)依赖于全部基点，若算出所有依赖于全部基点，若算出所有p(x)后又需要增加基点后又需要增加基点，则必

28、须重新计算，为了克服这个缺点，我们引进牛顿，则必须重新计算，为了克服这个缺点，我们引进牛顿差商插值多项式。差商插值多项式。 为了使为了使Newton插值多项式具有承袭性，令插值函数具插值多项式具有承袭性，令插值函数具有下列形式：有下列形式：式中式中称为称为Newton插值基函数。为求出插值基函数。为求出Nn(x),利用插值条件，利用插值条件，我们先给出差商概念。我们先给出差商概念。001 110011( )()()()()nnnonnN xccccc x xc x xx xx x01( )1,( )()( ), 11iixxxxxini 差商及其性质差商及其性质定义给定一个函数表定义给定一个函

29、数表记记 一般的一般的, f(x)关于关于xi,xi+1,xi+k的的k 阶差商记作阶差商记作 fxi,xi+1,xi+k )(.)()(.1010nnxfxfxfxxx时当其中jixxji,.,.,1 ,0),(nixfxfii的零阶差商。关于称为ixxf)(fxi的一阶差商定义为关于xiixxf,)(1iixff1i1i1iixxfxx,xii 1i ki 1i 2i kii 1i k-1kx,x ,.,xfx ,x ,.,xx,x ,.,xxiiffx 定理定理:差商具有如下性质差商具有如下性质 (1)差商与函数值的关系为差商与函数值的关系为 (2)差商的值与结点排列顺序无关差商的值与结

30、点排列顺序无关0101(),.,()nininifxfxxxx00, , ,ijnjinf xxxxf xxxx 01(3)( ) , , , , , ,nf xa bnx xxa ba b设在上有 阶导数, 且 则存在使下式成立。!)(,.,)(10nxxxffnn,)(10101000nnxxxfcxxfcxfxfc10010012010011,( )(),(),()(),()()()onnnncccNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxx将代入得到：，)()(,)()()(,)()(,)()()()(1010101000100100kkkkxxxxxxxxfxNxNx

31、xxxfxNxxxxfxfxNxfxN 因此，每增加一个结点，因此，每增加一个结点，NewtonNewton插值多插值多项式只增加一项，克服了项式只增加一项，克服了 LagrangeLagrange插值的插值的缺点。缺点。 必须注意，n次代数插值问题的解是存在且唯一的，因此，Newton插值与Lagrange 插值只是形式上不同，若将它们按x的幂展开，所得的多项式是完全一样的。x xy yf f X Xi i, ,X Xj j f f X Xi i, ,X Xj j, ,X Xk k f f X X0 0, ,X X1 1, , , ,X Xn n X X0 0 Y Y0 0X X1 1 Y

32、Y1 1 f f X X0 0, ,X X1 1 X X2 2 Y Y2 2 f f X X1 1, ,X X2 2 f f X X0 0, ,X X1 1, ,X X2 2 X X3 3 Y Y3 3 f f X X2 2, ,X X3 3 f f X X1 1, ,X X2 2, ,X X3 3 X Xn n Y Yn n f f X Xn n- -1 1, ,X Xn n f f X Xn n- -2 2, ,X Xn n- -1 1, ,X Xn n f f X X0 0, ,X X1 1, , , ,X Xn n 插插 商商 表表 例例1:给定数据表给定数据表f(x)=lnx数据表数

33、据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表构造差商表 2.用二次用二次Newton差商插值多项式，近似计算差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值的值 3.写出四次写出四次Newton差商插值多项式差商插值多项式N4(x) 解解:差商表差商表 2.200.788462.400.875470.435052.600.955510.400100.0873752.80 1.029620.370550.0738750.022503.001.098610.344950.064000

34、.016460.00755iixf x1阶差商2阶差商3阶差商4阶差商073875. 037055. 002962. 180. 240010. 095551. 060. 287547. 040. 2二阶差商一阶差商iixfxN2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60) f(2.65) N2(2.65)N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x

35、-2.60)(x-2.80)1111,1 !miii mmyf xxmh111,1 !miii mmyf xxmh所以有： 121111111111,1 !1 !1!ii miii miii mi mimmiimmmmiimmimf xxf xxxf x xxxxyymhmhmhyym hym h结论成立。 0002001200112!nnnnyNxf xxxhyxxxxhyxxxxxxn h 01111 !nnnnRxRxthft ttn hn0,nx x余项为： 在实际问题中，往往会遇到某函数在实际问题中，往往会遇到某函数f(x) 是是用表格表示的，用通常的导数定用表格表示的，用通常的导数

36、定义无法求导，因此要寻求其他方法近似义无法求导，因此要寻求其他方法近似求导。插值法是我们找到的一个最简单求导。插值法是我们找到的一个最简单的方法的方法. 因为用因为用f(x)的代数插值的代数插值函数函数p(x)来代替来代替它，它，提醒我们用提醒我们用p(x) 的导的导数数来代替来代替f(x)导数作近似计算导数作近似计算。插值型求导公式插值型求导公式1(1)( )(1)!( )( )( )nnfnf xp xxabn 设设pn(x)是是f(x)的的过点过点x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的的 n 次插值多项式，由次插值多项式，由Laglange插值余项知对插值余项知对任意给定的任意给定的x

37、a，b，总存在总存在如下关系式如下关系式:若取数值微分公式若取数值微分公式( )( )nfxpx(1)(1)11( )( )( )( )( )( )( )(1)!(1)!nnnnnnR xf xp xdxxndxnff误差为误差为:(1)1( )( )( )( )( )(1)!nniininiR xf xpxxnf(1)1(1)1( )( ),(1)!( )( )0,(1)!nnnnidxdxndxdxnff中 是未知的其误差不能估计注意到在插值节点处此时的余项为:( )( )0,1,.,inifxpxin 因此插值型求导公式常用因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值。于求节点处的导数值。

38、常用的数值微分公式是常用的数值微分公式是n=1,2,3的插值型微分公式的插值型微分公式,如如:当当n=1时时,有有(2)112( )()()()()2!iiiiRxfxpxxf10110()()()()0,1iif xf xfxpxixx012020202012120012222203 ()4 ()()()()()()( )( )()4 ()3 ()()()f xf xf xfxp xxxf xf xfxpxxxf xf xf xfxp xxx 当当n=2时时,有有v一.问题描述 v二.定义v三.定理v四.构造函数v五.例题v六.一般插值 假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)是在是在a,b

39、a,b上有一定上有一定光滑性的函数光滑性的函数, ,在在x xo oxxn n处是处是n+1n+1个异个异点点,f(x),f(x)在这些点上取值在这些点上取值y yo o.y.yn n. .求一求一个确定的函数个确定的函数p(x)p(x)在上面在上面n+1n+1个点上满足个点上满足p(xp(xi i)=y)=yi i i=0,1,n. i=0,1,n.这是最简单的插这是最简单的插值问题值问题, ,如果除了知道如果除了知道f(x)f(x)在插值基点上在插值基点上的取值外的取值外, ,还知道还知道f(x)f(x)在插值基点上的其在插值基点上的其他描述他描述( (如知道如知道f(x)f(x)在插值基

40、点上的导数在插值基点上的导数值值) )。如何来构造插值函数呢。如何来构造插值函数呢? ? f(x) 是区间是区间 a, b 上上 n+1个互异节点个互异节点a=x0 x1x2xn=b ， 定义在定义在a,b上的函数上的函数f(x) 在节在节点上满足点上满足 f(xi) = yi f(xi)=y i i=0,1,2n 求一个次数不高于求一个次数不高于2n+1次的插值多项式次的插值多项式H(x)满足满足2n+2个条件个条件 H(xi) = yi H (xi)= y i i=0,1,2n 若若H(x)存在，则称为函数存在，则称为函数f(x) 的的Hermite插值多项式。插值多项式。因为因为 H(x

41、)是一个次数不高于是一个次数不高于2n+1次的多项式，常记为次的多项式，常记为H2n+1(x).定理一定理一:满足插值条件满足插值条件 H(xi)= yi H(xi)= yi i=0,1,2n 且次数不大于且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。的多项式是唯一的。 定理二定理二 :f(x)在区间在区间a,b存在存在2n+2阶导数阶导数,则其则其Hermite插值余项为插值余项为: 2121(22)21( )( )( )( )( )( , )(22)!nnnnRxf xHxfxa bn 101nnxxxxxxx 设设Hermite插值函数插值函数 n n H2n+1(x) = Li(x) yi +

42、 hi(x) yi i=0 i=0 Li(x)，hi(x)都是不高于都是不高于2n+1次的次的多项式，类似多项式，类似Lagrange插值，利用插值，利用Hermite插值条件可得：插值条件可得： Li(xj)= ij hi(xj) = 0 Li(xj)=0 hi(xj)= ij i,j=0,1,2n 从而可设从而可设 Li(x)= (aix+bi)li(x)2 hi(x)= (cix+di)li(x)2这里这里 l li i(x)(x)=(x-x=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1) )(x-x(x-xi-1i-1)(x-x)(x-xi+1i+1) )(x-x(x-xn n) ) a

43、ai i,b,bi i ,c,ci i,d,di i为待定系数为待定系数, ,分别由分别由L Li i(x(xi i)=1)=1 和和L Li i(x(xi i)=0)=0 及及h hi i(x(xi i)= 1)= 1 (i=0,1,2 (i=0,1,2,n),n)确定确定. .三次三次HermiteHermite插值函数的构造插值函数的构造(n=1,2n+1=3(n=1,2n+1=3) )已知数表：已知数表：x x x x0 0 x x1 1 y y y y0 0 y y1 1 y y y y0 0 y y1 1 求一个三次求一个三次HermiteHermite插值函数插值函数H H3 3

44、(x)(x). .解解: :H H3 3(x)=(x)=y y0 0L L0 0(x)+(x)+y y1 1L L1 1(x)+ (x)+ y y0 0h h0 0(x)+ (x)+ y y1 1h h1 1(x)(x) 对对 x=xx=x0 0, ,有有 L L0 0(x(x0 0)=1 )=1 L L1 1(x(x0 0)=0)=0 h h0 0(x(x0 0)=0)=0 h h1 1(x(x0 0)=0)=0 L L0 0(x(x0 0)=0 )=0 L L1 1(x(x0 0)=0)=0 h h0 0(x(x0 0)=1 )=1 h h1 1(x(x0 0)=0)=0 对对 x=xx=

45、x1 1, ,有有 L L0 0(x(x1 1)=0)=0 L L1 1(x(x1 1)=1 )=1 h h0 0(x(x1 1)=0)=0 h h1 1(x(x1 1)=0)=0 L L0 0(x(x1 1)=0)=0 L L1 1(x(x1 1)=0)=0 h h0 0(x(x1 1)=0)=0 h h1 1(x(x1 1)=1)=1 L L0 0(x)= (a(x)= (a0 0 x+bx+b0 0)(x-x)(x-x1 1) )2 2h h0 0(x)= a(x-x(x)= a(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1) )2 2解之得解之得L L0 0(x)=1+2(x)=1+2* *(x-x(x-x0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)2 2h h0 0(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)2 2同理有同理有L L1 1(x)=1+2(x)=1+