保险精算第三讲

1、第五讲1 死亡即刻赔付2 计算基数死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险1 死亡即刻赔付 1.1 n年期定期寿险基本符号n 投保年龄 的人。n 人的极限年龄n 保险金给付函数。n 贴现函数。n 保险给付金在保 单生效时的现时值)(xxtbtvtztttvbz1、n年定期寿险n定义：保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。n假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险)(x , 0

2、 , 1 , 0 , 0 , ttttt ttvvtvtnzbvtnbtntn2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.2 终身寿险1 死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：1:nxA1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险xxttxn 1:0( )ttttx nxt

3、tttttnttttxx ts xts xttAvqvs xs xts xtttvts xtvs xts xs xts xtvtvpdts xts x 1:000( )( )nx nttTnntttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt趸缴纯保费的厘定1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 ( )Ttxtxx ts xs xtftqs xp 1.2 终身寿险现值随机变量的方差n方差公式n记（相当于利息力翻倍以后求n年

4、期寿险的趸缴保费）n所以方差等价为 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.1n设n计算( ) 1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1

5、.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.1答案055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险

6、1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险2、终身寿险n定义n保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定： 岁的人，保额1元终身寿险n基本函数关系)(x , 0,01 , 0 ttttt ttvvtzbvv tbt1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.1 n年期定期寿险n符号：n厘定：xA000( )( )xxttTxxtttxx

7、ttxx tAE zz f t dtv pdtepdt趸缴纯保费的厘定1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险n方差公式n记n所以方差等价为 22220( )( )( )( )( )tttxtTtVar zE zE zef t dtE z220( )xtxTAeft dt22)()(xxtAAzVar现值随机变量的方差1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年

8、期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.2n设(x)投保终身寿险，保险金额为1元n保险金在死亡即刻赔付n签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为n计算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.2答案0606002260220

9、120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060 xtxTttxxtxAef t dteedtVar zAAedtAee（）1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.2答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvf t dtvve1 死亡即刻赔

10、付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险3、延期终身寿险n定义n保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定： 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险n基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.

11、1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.4 n年期生存保险n符号：n厘定：xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxxmAE zz f t dtz f t dtz f t dtAA趸缴纯保费的厘定1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险n方差公式n记n所以方差等价于2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt

12、22( )()txxmmVar zAA现值随机变量的方差1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.3n假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。n保险金在死亡即刻赔付。n已知n求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.

13、8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.3答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS x tf teS xAeedtedteAeedtVar zAA1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险4、n

14、年定期生存保险n定义n被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。n假定： 岁的人，保额1元，n年定期生存保险n基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn1 死亡即刻赔付 1.4 n年期生存保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.5 n年期两全保险2 计算基数n符号：n趸缴纯保费厘定n现值随机变量的方差：1: x nA1:( )nnx ntnxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxn

15、xx nx nVar zvpvpAA趸缴纯保费的厘定1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.2 终身寿险5、n年定期两全保险n定义：被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。n假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险n基本函数关系)(x , , , , 1 , 0tttntt tntvtnv

16、vtnzbvvtnvtnbt1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.5 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.4 n年期生存保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定记：n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知则: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnxnE zE zE zAAA1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终

17、身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险因为所以31212121212( )( )( )( ,)( )( )()( )( )Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE z zE zE z120z z 11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA现值随机变量的方差1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.4n设

18、n计算( ) 1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险例3.4答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar

19、 zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险6、延期m年n年定期两全保险n定义n被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险n假定： 岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险n基本函数关系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttt tm ntvtm ntmvvtm nzbvvtm

20、ntmvtm nbtm 1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.7 递增寿险n符号：n厘定:mxnA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA趸缴纯保费的厘定1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险n记：m年延期n年定期寿险现值随机变量为

21、 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 已知则1z2z3z312zzz31211:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA现值随机变量的方差1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险n证明：7、递增终身寿险n定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数n特别：n一年递增一次n一年递增m次n一年递增无穷次（连续递增）1 死

22、亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险 1.6 延期m年的 n年期两全保险一年递增一次n现值随机变量n趸缴保费厘定1ttztv011()( )1xtxttxx tkxttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险一年递增m次n现值随机变量n趸

23、缴保费厘定1ttmtzvm1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险()01111111111111()( )111xmtxttxx tkxttxx tkkskmxmttxx tksskmm ksmmttxx tksm ksmmtIAE zvpdtmmtvpdtmmtvpdtmm ksvpdtm 连续递增n现值随机变量n趸缴保费厘定ttztv0()( )txttxx tIAE ztvpdt1 死亡即刻赔付2 计算基数 1

24、.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险8、递减定期寿险n定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数n特别：n一年递增一次n一年递增m次n一年递增无穷次（连续递增）1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险一年递减一次n现值随机变量n

25、趸缴保费厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx txnknttxx tkkDAE znt vpdtn kvpdt 1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险一年递减m次n现值随机变量n趸缴保费厘定,0,tttmnvtnzmtn1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险

26、 1.1 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险()1:0111111111111()( )11nmtttxx tx nknttxx tkkskmnmttxx tksskmm ksmnmttxx tksm ksmmtDAE znvpdtmmtnvpdtmmtnvpdtmsnkvpdtm 连续递减n现值随机变量n趸缴保费厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()tx nnttxx tDAE znt vpdt1 死亡即刻赔付2 计算基数 1.4 n年期生存保险 1.5 n年期两全保险 1.6 延期m年的 n年期两全保险 1.2 终身寿险 1.7 递增寿险 1.8 递减寿险 1.1

27、 n年期定期寿险 1.3 延期m年 终身寿险n 3. 设 , , , 试计算：n （1） 。n （2） 。0.25xA200.40 xA:200.55xA1:20 xA1:20 xAn 4 试证在UDD假设条件下：n (1) 。n n (2) 。11:x nx niAA11:xx nnx niAA11:011001100110011001:knttxxtx nkkntykykykxxykknkykxyxkxykknkykxyxkknkykxxkkx np udtp udyppudypqdyp qdyi An试证1:1:xnxx nx ntxx nx tx t n tAAE AAAE An 5 (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，