空间几何体的表面积与体积课件

1、人教A版高中数学必修二第一章1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积Page 2学习目标学习目标(1)(1)通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：程中所用的基本数学思想方法：“分割分割求和求和化为准确和化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。代数学知识。(2)(2)能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。(3)(3)培养学生的空间思维能力和空间想象能力。培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 Page 3创设情景，揭示课题

2、创设情景，揭示课题生活中常见的球体：生活中常见的球体：Page 4思考：思考： 一一 球的概念是什么？球的概念是什么？ 二二 球有哪些性质？球有哪些性质？ 三三 如何求球的体积如何求球的体积 和表面积？和表面积？Page 5互动交流互动交流 研讨新知研讨新知1.球的概念球的概念ABORC 如图所示，半圆以它的直径为旋如图所示，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做转轴，旋转所成的曲面叫做球面球面. . 球球面所围成的几何体叫做面所围成的几何体叫做球体球体，简称，简称球球. . 半圆的圆心叫半圆的圆心叫球心球心, ,图中点图中点O O. . 连结连结球心和球面上任意一点的线段叫做球心和球面上

3、任意一点的线段叫做球球的半径，的半径，图中线段图中线段R R. . 连结球面上两连结球面上两点并且经过球心的线段叫做点并且经过球心的线段叫做球的直径球的直径，图中线段图中线段ABAB. .Page 6QPO 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆（如图中红色（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆小圆（如图中（如图中绿色部分）绿色部分）. . 球面上两点之间最短连线的长球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个两点间的一段劣弧的长度，这个弧长

4、叫做两点的弧长叫做两点的球面距离球面距离（如图（如图中中 的长度就是的长度就是P P、Q Q两点之间的两点之间的球面距离球面距离 ）. .PQPage 72.球的性质球的性质do1o2Rr 用一个平面（如图中平面用一个平面（如图中平面 ）去截一个球，截面是圆）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：面，球的截面有下面的性质：、球心和截面圆心的连线、球心和截面圆心的连线 垂垂直于截面（如图直线直于截面（如图直线o1o2o1o2垂直于垂直于平面平面 ）；）；、球心到截面的距离、球心到截面的距离d d与球与球的半径的半径R R及截面的半径及截面的半径r r有下有下面的关系：面的关系：22drR

5、Page 8我们先来回忆圆面积计算公式的导出方我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法：法：联想 把一个半径为把一个半径为R R的圆分成若干等分后重新拼接起来，就的圆分成若干等分后重新拼接起来，就可以近似的看成是边长分别为可以近似的看成是边长分别为 R R和和R R的矩形，所以圆的面积的矩形，所以圆的面积近似等于近似等于 . .2R3.球的体积球的体积Page 9AO球的体积球的体积 类似的，我们也可以用这种方类似的，我们也可以用这种方法导出球的体积公式法导出球的体积公式. .如图所示，如图所示，把半球的垂直于底面的半径把半球的垂直于底面的半径OAOA作作n n等分，过这些等分点用一组平行于等分，

6、过这些等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成底面的平面把半球切割成n n层层. .每一每一层都近似于圆柱形的层都近似于圆柱形的“小圆片小圆片”，这些这些“小圆片小圆片”的体积之和就是半的体积之和就是半球的体积球的体积. .上面求圆的面积所用的方法为：上面求圆的面积所用的方法为：分割分割近似求和近似求和化成准确值化成准确值Page 10球的体积球的体积AOO1O2RriB“小圆片小圆片”的厚度为的厚度为 ，Rn22ir(1) ,1,2,., .RRiinn32211 () ,1,2,iiRRiVrinnnn第第i i层层“小圆片小圆片”的下底面半径的下底面半径12nVVVV半球3222212(

7、1)Rnnnn321(1)(21)6Rnnnnnn Page 116)12)(1(11 23 nnnR 球的体积球的体积6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球343VRR半径是 的球的体积为：定理：Page 124.球的表面积球的表面积 我们再次运用推导球的体积公式时的方法，推导球的我们再次运用推导球的体积公式时的方法，推导球的表面积公式表面积公式. .（1 1）、）、分割分割. .如下图如下图. .把球把球O O的表面分成的表面分成n n个小网格，设它个小网格，设它们的表面积分别是们的表面积分别是S1S1，S2 S2 ， ，Sn

8、Sn，显然，球，显然，球的表面积是的表面积是S= S= S1+ S1+ S2 +S2 + + SnSn. . 把球心把球心O O和每个小网格的顶点连接起来，整个球体就和每个小网格的顶点连接起来，整个球体就被分割成被分割成n n个个“小锥体小锥体”. .Page 13oSi 球的表面积球的表面积以第以第i i个网格为底面的个网格为底面的“小锥体小锥体”，其底面为球面，其底面为球面的一部分，的一部分，所以是曲的，但如果每个小网所以是曲的，但如果每个小网格都非常小，就近似于格都非常小，就近似于“平平”的，每个的，每个“小棱体小棱体”就近似于就近似于棱锥，它们的高近似于球半径棱锥，它们的高近似于球半径

9、R.R.oPage 14 球的表面积球的表面积(2)(2)、近似求和近似求和. .O OiSiV由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 Page 15 球的表面积球的表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小锥体小锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥. .RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：23441,33RR SSR从 而Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 iS iVihRSiVi（3

10、 3）、）、化为准确值化为准确值Page 16质疑答辩，排难解惑，发展思维质疑答辩，排难解惑，发展思维例例1.1.一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢钢的密度是的密度是7.9g/cm2)7.9g/cm2)ORx答答: :空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.4.5cm.14234)25(349.733x3351423()11.327.94x由计算器算得由计算器算得: :24. 2 x24.5x 解解: :设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是Page 17例

11、例2 2、 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. .求证：求证：（1 1） 球的表面积等于球的表面积等于 圆柱的侧面积；圆柱的侧面积；（2 2） 球的表面积等于球的表面积等于 圆柱全面积的圆柱全面积的2/3.2/3.OR证明证明：（：（1 1）设球的半径为）设球的半径为 R R，则圆柱的底面半径，则圆柱的底面半径 为为R R，高为，高为2R2R，得，得圆柱面2S2 R 2R=4 R .球圆柱面SS.圆柱全222426,SRRR球24.SR球圆柱全2.3SS(2)(2)Page 18巩固深化，反馈矫正巩固深化，反馈矫正 1 1、已知球、已知球O1O1、球

12、、球O2O2、球、球O3O3的体积比为的体积比为 1 1：8 8：2727，则它们的半径比为，则它们的半径比为 .3 3、火星的半径约是地球半径的一半，、火星的半径约是地球半径的一半， 地球表面积约是火星表面积的地球表面积约是火星表面积的倍倍. .2 2、赤道上有、赤道上有A A、B B两点，它们的经度相差两点，它们的经度相差 ，则它们的，则它们的球面距离为球面距离为-（地球半径约（地球半径约6370km,6370km,精确到精确到1km1km）. .1：2：34606667km课堂练习课堂练习Page 19归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识l了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割了解球的体积、表面积