计算机控制第02讲

1、第二章第二章：计算机控制系统的信号计算机控制系统的信号授课人：李会军授课人：李会军中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军2计算机控制系统中的信号种类计算机控制系统中的信号种类计算机控制系统结构图计算机控制系统结构图信号种类：从时间信号种类：从时间(轴轴)和幅值两方面分析和幅值两方面分析时间上区分：连续时间信号 离散时间信号幅值上区分：模拟量 离散量 数字量中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军3理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述采样过程描述采样过程描述采样时间采样时间p：采样“开关”不能瞬时打开或闭合，需要一定长度的

2、时间采样周期采样周期T：采样“开关”相邻两次闭合之间的时间间隔，单位是秒采样频率采样频率fs：采样周期的倒数，即fs=1/T，单位是赫兹理想采样过程理想采样过程：近似认为采样瞬时完成，即p0均匀采样与非均匀采样均匀采样与非均匀采样：采样周期T是否变化中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军4理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域数学描述 函数的定义和性质定义方法：矩形脉冲定义法、采样函数定义法、原始定义法中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军5理想采样过程的数学描述理想采样过程的

3、数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域数学描述 函数的定义和性质矩形脉冲定义法假设宽度为 ，高度为 的矩形脉冲，其面积为1。当 时，此矩形脉冲的极限即为单位脉冲函数 ：其中， 为单位阶跃函数，即：p1 p0p ( ) t01( )lim22ssppptututp sut 1,00,0stutt中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军6理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域数学描述 函数的定义和性质直接定义法狄拉克(Dirac)给出了 函数的直接定义如下：当脉冲函数出现在 时刻时，如下所示：单位脉冲函

4、数单位脉冲函数：脉冲强度为1。如果脉冲强度不为1，应在图上标示。,0( )( )10,0ttt dtt0tt0000,()()10,tttttt dttt中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军7理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域数学描述 函数的定义和性质采样性质上式表明： 函数和任意连续有界函数乘积的积分，能筛选出脉冲发生时函数和任意连续有界函数乘积的积分，能筛选出脉冲发生时刻的函数值；刻的函数值；理想采样开关：由于理想采样开关具有瞬时闭合并打开的功能，而且只让采样时刻的输入信号通过，其它时刻的信号阻断，因

5、此可用 函数的组合来描述理想采样开关00( ) ( )(0)() ( )( )t f t dtfandttf t dtf t( )()()()( )()()TkttkTtkTtTttTtkT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军8理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样开关( )()()()( )()()TkttkTtkTtTttTtkT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军9理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域

6、数学描述理想采样过程中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军10理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号的时域数学描述理想采样信号数学描述：在实际系统中，当 时，时间函数 ，并且 只在脉冲发生时刻才有有效输出，所以上式可化简为：上式表明，一个连续信号经过理想采样之后，得到的是一个强度强度(不是幅不是幅值值)为 的脉冲信号序列。0t *( )( )( )( )()Tkftf ttf ttkt( )f t( )0f t *00( )( )( )( )()( )()() ()Tkkkftf ttf ttktf ttktf kT

7、tkt()f kT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军11理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性傅里叶级数给定任意一个周期为T的函数，如果它在有限区间内有界、且只有有限个间断点，则可将其展开成傅里叶级数如下：其中：上式中， 是基波角频率01( )cossin2kskskaf taktbkt22222( )cos()0,1,2,2( )sin()0,1,2,TksTTksTaf tkt dtkTbf tkt dtkT2sT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军12理想采样过程的

8、数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性傅里叶级数欧拉公式：可将傅里叶级数变换为复数形式：其中， 称为傅里叶系数1sin2cossin1cos2jjjjjeejejee 221ssjtkkTjktTkf tC eCf t edtTkC中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军13理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性理想采样开关的傅里叶级数理想采样开关函数：理想采样开关函数的傅里叶系数计算如下：理想采样开关函数的傅里叶级数为： TkttkT 2222221111sssTTTjktj

9、ktjktTTTkkCf t edttkT edtt edtTTTT 1sjtTkteT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军14理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的一种推广形式，表示如下： 称为 的频谱线性性质：时移性质：频移性质：00j tf ttFje 112j tjk tFjwf tf t edtf tFjFjedtFF 00jtf t eFjj 1212aftbftaFjbFj f tFj中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军15理

10、想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性理想采样信号的频谱理想采样信号：对理想采样信号进行傅里叶变换，得到其频谱如下： *1sjktTkkftf ttf ttkTf teT *11111111122sssjktjktkkjktskkssssFjftf tef t eTTf t eFjjkTTFjjFjjFjFjjFjjTTTTTFFFF中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军16理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性连续信号频谱与采样信号频谱之间的关系当 时， ，该项

11、称为采样信号的基本频谱，它正比于原来连续信号 的频谱 ，只是幅值相差 ；当 时，派生出以 为周期的高频频谱分量 ，称为旁带。每隔1个 就重复基本频谱 一次；如果连续信号的频谱带宽有限，最高频率为 ，而采样频率 ，则采样后派生出的高频频谱和基本频谱不会重叠；反之，当 时，则各频谱之间将会出现混叠现象。0k*FjFjT f tFj1 Ts0ksm2smFjT2smsF jjkT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军17理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军18采样定理及其讨论采样定理及其

12、讨论频谱混叠现象频谱混叠现象采样信号的频谱除了与连续信号成比例的基本频谱 外，还派生出了无限个以 为周期的高频频谱分量 。如果基本频谱和高频频谱是分离的，则可以通过一个理想滤波器滤除所有高频分量，保留基本频谱，并乘以系数T，从而连续信号的频谱就可以从采样信号的频谱中不失真地获得；否则，将会发生频谱混叠现象。FjTssF jjkT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军19采样定理及其讨论采样定理及其讨论频谱混叠现象频谱混叠现象不失真获取连续信号频谱的条件频谱不混叠频谱不混叠+理想带通滤波器理想带通滤波器=不失真的连续信号频谱不失真的连续信号频谱产生频谱混叠现象的

13、两种情况连续信号带宽有限时： ，出现频谱混叠；连续信号带宽无限时：必然出现频谱混叠，实际中的信号大多如此；临界频率点奈奎斯特频率 ，如果连续信号的最高频率超过这个频率，必然会产生频谱混叠现象；2sm2s中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军20采样定理及其讨论采样定理及其讨论采样定理采样定理(香农定理香农定理)定理：如果连续信号是有限带宽的，且它所含的频率分量的最大值为 ，当采样频率 时，原来的连续信号可以用其采样信号来表征，或者说采样信号可以不失真地代表原来的连续信号。物理含义：对于最高频率为 的连续信号，如果采样频率满足采样定理，即 ，则对应的采样周期：

14、：采样周期； ：最高频率的正弦分量的周期也就是说：如果采样频率足够大，使得连续信号的最高频率的正弦分量在如果采样频率足够大，使得连续信号的最高频率的正弦分量在一个周期内能够被采样一个周期内能够被采样2次以上，则采样信号就能不失真地反映连续信号次以上，则采样信号就能不失真地反映连续信号的特性；的特性；m2smm2smmT221 21222smsmmTTsT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军21采样定理及其讨论采样定理及其讨论前置滤波器前置滤波器假频现象：对一个频率很高的正弦信号进行采样，如果采样频率较低，不满足采样定理的要求，在采样间隔内就会丢失很多信息，将

15、高频信号采样成低频信号，从而出现假频现象；例如，用1Hz的采样频率采样7/8Hz的正弦信号，将得到1/8Hz的低频信号中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军22采样定理及其讨论采样定理及其讨论前置滤波器前置滤波器高频信号的副作用：在实际控制系统中，如果有用信号混杂了高频干扰信号，而采样频率相对于干扰信号的频率又不满足采样定理，那么这些干扰信号经采样后，将变成低频信号(由于假频现象)夹杂在有用信号中进入系统，从而影响系统的正常输出；解决方法根据干扰信号的频率选择采样频率 ：采样频率过高，难以实现；在进行采样之前，加入模拟低通滤波器，滤除高频信号：既能避免频谱混叠

16、现象，又能滤除高频干扰；s中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军23采样定理及其讨论采样定理及其讨论中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军24信号的恢复与重构信号的恢复与重构理想恢复过程理想恢复过程要想将采样信号不失真地恢复成连续信号，需要满足以下3个条件：采样前连续信号的频谱必须具有有限带宽，即 ；采样频率满足采样定理 ；具有理想的低通滤波器，其特性为：其中， 为理想低通滤波器的截止频率，可取 ，从而保留采样信号的基频分量，滤除旁带，无失真地恢复原来的连续信号。因为理想低通滤波器物理不可实现，所以理想恢复过程也不可实现因为理

17、想低通滤波器物理不可实现，所以理想恢复过程也不可实现m2smc,0,ccTHj2cs中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军25信号的恢复与重构信号的恢复与重构非理想恢复过程非理想恢复过程(物理可实现物理可实现)采样点上的函数值已知，采样点间的函数值可用幂级数展开。采样时刻kT和(k+1)T之间的信号，可表示如下：其中：物理恢复时，只用第一项，称为零阶保持器零阶保持器；只用前两项，称为一阶保持一阶保持器器；用到的导数项越多，精度越高，实现越困难，时间延迟越大； 22!kfkTftf kTfkTtKTtkT1212fkTf kTfkTTfkTf kTfkTfkTT

18、中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军26信号的恢复与重构信号的恢复与重构零阶保持器零阶保持器时域方程：如果为零阶保持器输入脉冲信号 ，其输出必然在一个采样周期内保持幅值为1的方波信号。脉冲响应函数： ， 为单位阶跃信号 1 kftf kTkTtkT t 0hssgtututT sut中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军27信号的恢复与重构信号的恢复与重构零阶保持器零阶保持器脉冲响应函数的拉氏变换，即为系统的传递函数：零阶保持器的频率特性函数如下： 00111( )sTsThhsseGsgtututTesssLLL2222022cossincossin12222sinsin2sin2222sTTjjTTj TjjhTTjjjsssTTTTjjeeeGjeejjjTTeTeeT中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会