第07章 应力与应变分析(20151版)

1、材料力学材料力学第七章第七章 应力与应变分析应力与应变分析7.1 一点的应力状态一点的应力状态7.2 平面应力状态分析平面应力状态分析7.3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力7.4 任意点的应变及应变分量的坐标变换任意点的应变及应变分量的坐标变换* *7.5 平面应变状态分析平面应变状态分析7.6 广义胡克定律广义胡克定律7.7 复杂应力状态下的应变比能复杂应力状态下的应变比能第七章第七章 应力与应变分析应力与应变分析7.1 一点的应力状态一点的应力状态一、概述一、概述二、一点的应力状态二、一点的应力状态三、应力状态的表示方法三、应力状态的表示方法四、应力状态的分类四、应力状态

2、的分类五、应力状态的实例五、应力状态的实例7. .1 一点的应力状态一点的应力状态前面讨论了：前面讨论了： 杆件在四种基本变形情况下杆件在四种基本变形情况下横截面上的应力横截面上的应力 并根据并根据横截面上的最大应力横截面上的最大应力建立了强度条件建立了强度条件例如：例如：一、概述一、概述7. .1 一点的应力状态一点的应力状态1. .轴向拉伸轴向拉伸( (压缩压缩) )|maxNmax AF2. .剪切剪切0 4. .弯曲弯曲|maxmax zWM0 |pmaxmax WT|*maxmaxQmax bISFzz3. .扭转扭转QQ AF0 7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 铸铁在拉伸

3、时铸铁在拉伸时 低碳钢在扭转时低碳钢在扭转时 按照上述强度条件，在进行计算时认为：按照上述强度条件，在进行计算时认为：实际上，有实际上，有一些杆件是沿横截面破坏的一些杆件是沿横截面破坏的例如：例如：杆件是杆件是沿横截面破坏沿横截面破坏的的7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 按照上述强度条件，在进行计算时认为：按照上述强度条件，在进行计算时认为： 而另而另一些杆件是沿斜截面破坏的一些杆件是沿斜截面破坏的例如：例如： 铸铁在压缩时铸铁在压缩时 铸铁在扭转时铸铁在扭转时前面建立的强度条件不能解释构件前面建立的强度条件不能解释构件沿斜截面破坏沿斜截面破坏的原因的原因因此，针对这些杆件因此，针对这

4、些杆件需要建立需要建立新的新的强度条件强度条件实际上，有实际上，有一些杆件是沿横截面破坏的一些杆件是沿横截面破坏的杆件是杆件是沿横截面破坏沿横截面破坏的的7. .1 一点的应力状态一点的应力状态梁在弯曲变形时，横截面上的应力为：梁在弯曲变形时，横截面上的应力为：不同点的应力情况是不一样的不同点的应力情况是不一样的.CABFbISFzzBB*Q zBBBIyM zAAWM 0 C 0 A AFCCQ23 二、二、一点的应力状态一点的应力状态上述表明：上述表明：7. .1 一点的应力状态一点的应力状态杆在轴向拉伸时，斜截面上的应力为：杆在轴向拉伸时，斜截面上的应力为： 2cos12)( .mm F

5、 2sin2 不同斜截面上的应力情况也是不一样的不同斜截面上的应力情况也是不一样的.FFmm 任意两个斜截面上的应力有必然的联系任意两个斜截面上的应力有必然的联系二、二、一点的应力状态一点的应力状态上述表明：上述表明：7. .1 一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态： 受力杆件内的一点在受力杆件内的一点在各个截面各个截面上的应力状况的集合上的应力状况的集合称为称为该点的应力状态该点的应力状态。 例如例如：在轴向拉伸：在轴向拉伸( (压缩压缩) )时时 2cos12)( 2sin2 由于铸铁的抗切能力较弱由于铸铁的抗切能力较弱 0max 245max 铸铁在轴向压缩时的破坏实

6、际上是由铸铁在轴向压缩时的破坏实际上是由 max引起的引起的.FF max7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 单元体单元体 边长为无穷小的边长为无穷小的长方体长方体单元体的特点：单元体的特点： 1. .边长无穷小，相邻面垂直，相对面平行；边长无穷小，相邻面垂直，相对面平行； 2. .各面上的应力均匀分布；各面上的应力均匀分布； 3. .相平行面上的应力相等。相平行面上的应力相等。三、三、应力状态的表示方法应力状态的表示方法7. .1 一点的应力状态一点的应力状态FF 围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力。围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力。AF 表示方法：表示方法：7. .1

7、一点的应力状态一点的应力状态.CABF AAzAAWM AFCCQ23 bISFzzBB*Q zBBBIyM BBB CC 围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力表示方法：表示方法：7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 主平面主平面 主应力主应力.CABF 围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力表示方法：表示方法： AA BBB CC切应力为零的平面切应力为零的平面主平面上的正应力主平面上的正应力7. .1 一点的应力状态一点的应力状态可以证明：可以证明： 受力构件内任一点可以找到三个相互垂直的主平面受力构

8、件内任一点可以找到三个相互垂直的主平面即：即：受力构件内任一点有三个主应力受力构件内任一点有三个主应力主单元体主单元体规定：规定：主应力主应力按按代数值代数值大小排列成大小排列成 321 AA受主应力作用的单元体受主应力作用的单元体7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 1 3 2单向应力状态单向应力状态只有一个主应力不等于零的应力状态只有一个主应力不等于零的应力状态二向应力状态二向应力状态 有有 二个主应力不等于零的应力状态二个主应力不等于零的应力状态三向应力状态三向应力状态 三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态四、四、应力状态的分类应力状态的分类7. .1 一点的应力

9、状态一点的应力状态单向应力状态单向应力状态简单应力状态简单应力状态二向应力状态二向应力状态平面应力状态平面应力状态三向应力状态三向应力状态空间应力状态空间应力状态复杂应力状态复杂应力状态 四、四、应力状态的分类应力状态的分类7. .1 一点的应力状态一点的应力状态1. .单向应力状态单向应力状态.FFA0 ,321 A FA 轴向拉伸杆件内的任一点轴向拉伸杆件内的任一点五、五、应力状态的实例应力状态的实例7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 锅炉或薄壁圆筒锅炉或薄壁圆筒( (tD) )压力容器壁上的任一点压力容器壁上的任一点.ptDmmnbnDtpA .ptDnn FpF NNFA 轴向应

10、力：轴向应力： AF 2N AF 环向应力：环向应力：1 2 0 3 4 tpD 2 tpD 4 2 DtDp 2 btbDp2. .二向二向应力状态应力状态7. .1 一点的应力状态一点的应力状态 在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点 AA外圈外圈滚珠滚珠FA 1 1 3 2 2 33. .三向三向应力状态应力状态第七章第七章 应力与应变分析应力与应变分析7.2 平面应力状态分析平面应力状态分析一、概述一、概述二、平面应力状态分析的解析法二、平面应力状态分析的解析法三、平面应力状态分析的图解法三、平面应力状态分析的图解法7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析一、

11、概述.CABF一、概述一、概述 平面应力状态平面应力状态是是工程中工程中常见常见的应力状态的应力状态，例如：，例如： 1. .平面弯曲的梁平面弯曲的梁 BBB7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析 平面应力状态平面应力状态是是工程中工程中常见常见的应力状态的应力状态，例如：，例如： 2. .受内受内压作用的薄壁圆筒压作用的薄壁圆筒一、概述一、概述 1. .平面弯曲的梁平面弯曲的梁.ptDA A 7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析 平面应力状态平面应力状态是是工程中工程中常见常见的应力状态的应力状态，例如：，例如： 2. .受内受内压作用的薄壁圆筒压作用的薄壁圆筒一、概述一、概述

12、 3. .扭转的轴扭转的轴A BC D M eMeABCD 1. .平面弯曲的梁平面弯曲的梁7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析 xxy yz xy yx y x xy yx二、二、平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法 xxy x y y xy xy yx yx平面应力状态通常用平面图形表示平面应力状态通常用平面图形表示7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析规定：规定： 正应力正应力拉为正拉为正 压为负压为负 切应力绕研究体切应力绕研究体顺时针转为正顺时针转为正 xxy x y y xy xy yx yx 逆时针转为逆时针转为负负 切应力的第一个下标表示作用面切应力的

13、第一个下标表示作用面 第二个下标表示第二个下标表示方向方向二、二、平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法 x面面与与x轴垂直的面轴垂直的面 y面面与与y轴垂直的面轴垂直的面7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析规定：规定： 用用截面法截面法求斜截面求斜截面be上的应力上的应力 以以 x 轴轴逆时针逆时针转到转到 x 轴时为轴时为 + + xxy x y y xy xy yx yxabcde xy1. .任一斜截面上的应力任一斜截面上的应力7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析:0 xF:0 yF x x y xy xy yxabe xydAAxd coscosd)(Ax

14、sincosd)(Axy sinsind)(Ay cossind)(Ayx 0 Ayxd sincosd)(Ax coscosd)(Axy cossind)(Ay sinsind)(Ayx 0 规定：规定： 用用截面法截面法求斜截面求斜截面be上的应力上的应力 以以 x 轴轴逆时针逆时针转到转到 x 轴时为轴时为 + +1. .任一斜截面上的应力任一斜截面上的应力7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析即即斜截面上的应力斜截面上的应力为为 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx x x y xy xy yxabe xydA7. .2 平面应力状态分析平面应力状

15、态分析即即斜截面上的应力斜截面上的应力为为 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx x x y xy xy yx xy y yx7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析即即斜截面上的应力斜截面上的应力为为 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx yxyx 结论结论1 任意相互垂直平面上的正应力之和为常量任意相互垂直平面上的正应力之和为常量90 xy 2sin2cos22xyyxyx x x y xy yx xy y xy yx7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析二、平面应力状态分析的解析法02 yx( (1) )正应力发生

16、极值的方向正应力发生极值的方向 002cos2sin22dd0 xyyxx令令 22tan 0yxxy 得到得到 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 2. .极值正应力与主平面极值正应力与主平面0 7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析 22tan 0yxxy ( (2) )主平面的方位主平面的方位00 yx结论结论2 主应力就是极值正应力主应力就是极值正应力 90 00 ，结论结论3 主应力主应力( (即主平面即主平面) )是是相互垂直的相互垂直的 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx ( (1) )正应力发生极值的方向

17、正应力发生极值的方向2. .极值正极值正应力与主平面应力与主平面7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析( (3) )极值正应力的大小极值正应力的大小 22tan 0yxxy xy xy xyxy22 0220222sin)()(xyyxxy 22022cos)()(xyyxyx 22 22minmaxxyyxyx 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 2. .极值正应力与主平面极值正应力与主平面7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析( (4) )极值正应力与主平面的对应关系极值正应力与主平面的对应关系 22tan 0yxxy max作用在作用在 xy

18、向主平面法线方向投影向主平面法线方向投影为拉伸为拉伸的那个主平面上的那个主平面上 xxy x y y xy xy yx yx 0 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 2. .极值正应力与主平面极值正应力与主平面 max max min min 22 22minmaxxyyxyx ( (3) )极值正应力的大小极值正应力的大小7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析( (1) )切应力发生极值的方向切应力发生极值的方向 22tan 0yxxy 02sin22cosdd111 xyyxyx)(令令得到得到 22tan 1xyyx 2cos2sin2 2sin2

19、cos22 xyyxyxxyyxyxx 3. .极值切应力极值切应力7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析 22tan 0yxxy ( (2) )极值切应力的大小极值切应力的大小 22tan 1xyyx 4501 2 22minmaxxyyx 2 minmaxminmax 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 3. .极值切应力极值切应力 22 22minmaxxyyxyx 12tan2tan 10 ( (1) )切应力发生极值的方向切应力发生极值的方向7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析xxyxyyxyxyyxyxmaxmaxminmin0 2c

20、os2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 3. .极值切应力极值切应力 22tan 0yxxy maxminminmax 22tan 1xyyx 2 22minmaxxyyx 4501 2 minmaxminmax 7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析解：解： 时的破坏原因。时的破坏原因。.MeMe试样内任一点处于试样内任一点处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态0 yx yxxyxy 纯剪切应力状态纯剪切应力状态peIM 例例1 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭取单元体取单元体单元体只受切应力作用的应力状态单元

21、体只受切应力作用的应力状态7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析解：解： 时的破坏原因。时的破坏原因。.MeMe试样内任一点处于试样内任一点处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态0 yx yxxy22minmax22xyyxyx xy 102 3 纯剪切应力状态为二向应力状态纯剪切应力状态为二向应力状态yxxy 22tan0450 铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏45 1 1 3 3peIM 例例1 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭取单元体取单元体7. .2 平面

22、应力状态分析平面应力状态分析由由有有 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 222222xyyxyxyxx 圆的方程圆的方程圆心为圆心为 0 ,2yx 222xyyx 半径为半径为的圆的圆应力圆应力圆莫尔圆莫尔圆应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应1. .原理原理三、平面应力状态分析的图解法三、平面应力状态分析的图解法7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析2. .应力圆的画法应力圆的画法( (1) )选取平面直角坐标系选取平面直角坐标系 ；( (2) )按比例标出按比例标出D1( ( x, , xy) )和和

23、D2( ( y, , yx) )两点；两点；( (3) )用直线连接用直线连接D1和和D2两点，交两点，交 轴于轴于C点；点；( (4) )以以C为圆心，以为圆心，以CD1或或CD2为半径画圆，即得应力圆为半径画圆，即得应力圆 xxy x y y xy xy yx yx OD x xy1 y yxD2C7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析证明证明：由此画出的圆为应力圆由此画出的圆为应力圆圆心：圆心：半径半径：BCOB 2yxy 2yx 0 C 222BDBC 222xyyx OC C R2CD OD x xy1 y yxD2CBA xxy x y y xy xy yx yx7. .2

24、平面应力状态分析平面应力状态分析3. .应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系( (1) )利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力应力圆确定单元体任一斜截面上的应力 x y xy yx BD2ACO1D 将半径将半径CD1逆时针逆时针旋转旋转2 角角E OF CFOC )( 22cos0 CEOC)( 2sin2sin2cos2cos001 CDOC 2sin2cos1ADCAOC 2sin2cos22xyyxyx x EF 07. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析3. .应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系( (1) )利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应

25、力应力圆确定单元体任一斜截面上的应力 将半径将半径CD1逆时针逆时针旋转旋转2 角角xE E EF )( 22sin0 CE)( 2cos2sin2sin2cos001 CD 2cos2sin1ADCA 2cos2sin2xyyx yx x y xy yx BD2ACO1D EF 07. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析3. .应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系( (1) )利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力应力圆确定单元体任一斜截面上的应力 将半径将半径CD1逆时针逆时针旋转旋转2 角角yxE 注意注意：单元体上逆时针转单元体上逆时针转 应力圆上逆时针转应力圆上逆

26、时针转2 xE xxy x y y xy xy yx yxabcde xy x xy x y xy yx BD2ACO1D EF 07. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析( (2) )利用应力圆确定主应力与主平面利用应力圆确定主应力与主平面 x y xy yx max minBD2A1B1A0COD11maxA 1CAOC 1CDOC 2222xyyxyx 1minB CBOC1 1CDOC 2222xyyxyx 3. .应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系( (1) )利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力应力圆确定单元体任一斜截面上的应力 EF7. .2 平面应力状态

27、分析平面应力状态分析( (2) )利用利用应力圆确定主应力与主平面应力圆确定主应力与主平面CAAD102tan 2yxxy yxxy 2 xxy x y y xy xy yx yx max max min min 03. .应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系( (1) )利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力应力圆确定单元体任一斜截面上的应力 x y xy yx max minBD2A1B1A0COD1 EF7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析( (2) )利用利用应力圆确定主应力与主平面应力圆确定主应力与主平面( (3) )利用利用应力圆确定极值应力圆确定极值切切应

28、力及其作用面应力及其作用面1maxG 2minG CD 222xyyx 2minmax 21yxGOC 3. .应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系( (1) )利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力应力圆确定单元体任一斜截面上的应力G1G2 x y xy yx max minBD2A1B1A0COD1 EF7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析例例2 试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的解：解： 主应力和主平面方位主应力和主平面方位1. .取单元体取单元体.CBDAExy2. .求主应力和主平面的方位求主应力和主平面的方位

29、zxIMy bISFzzxy*Q ( (1) )解析法解析法 minmax 极值应力：极值应力：223122xyxx 02 2x 02tan 主应力：主应力：222xyx 主平面：主平面：xxy 2 Dx x xy xy xy xy 0 1 1 3 3( (取取D点点) )7. .2 平面应力状态分析平面应力状态分析( (2) )图解法图解法223122xyxx 02 02tan xxy 2 主应力：主应力：主平面：主平面：画应力圆画应力圆 O D1xyxA1B1C 1 3 0.CBDAExy D2xy例例2 试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的

30、解：解： 主应力和主平面方位主应力和主平面方位1. .取单元体取单元体2. .求主应力和主平面的方位求主应力和主平面的方位 Dx x xy xy xy xy 0 1 1 3 3第七章第七章 应力与应变分析应力与应变分析7.3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力一、应力圆一、应力圆二、最大切应力二、最大切应力7. .3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力已知已知 1、 2、 3 与与 3的主平面垂直的斜截面上的应力仅与的主平面垂直的斜截面上的应力仅与 1和和 2有关有关 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 与与 1的主平面垂直的斜截面上的应

31、力仅与的主平面垂直的斜截面上的应力仅与 2和和 3有关有关 与与 2的主平面垂直的斜截面上的应力仅与的主平面垂直的斜截面上的应力仅与 3和和 1有关有关 A1O 2 1C1 3B1C一、应力圆一、应力圆7. .3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力研究表明：研究表明： 任意斜截面任意斜截面abc上的应力必位于上的应力必位于以以上述三个应力圆上述三个应力圆 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 为为边界边界所围成的区域内所围成的区域内 A1O 2 1C1 3B1Cabc一、应力圆一、应力圆7. .3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力研究表明

32、：研究表明： 3A1B1CO 2 1C1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3abc 1 2 3 3 D 任意斜截面任意斜截面abc上的应力必位于上的应力必位于以以上述三个应力圆上述三个应力圆为为边界边界所围成的区域内所围成的区域内一、应力圆一、应力圆7. .3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力由应力圆可知：由应力圆可知：B max1max 3min 2 31max 1 3 max45 1 1 2 2 3 345 3A1B1CO 2 1C1D二、最大切应力二、最大切应力7. .3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力注意区别：注意区别： 2 31max 1

33、 3 max45 1 1 2 2 3 345 2 minmaxmax 一点的最大切应力一点的最大切应力平面应力状态中的极值切应力平面应力状态中的极值切应力 3A1B1CO 2 1C1DB max二、最大切应力二、最大切应力7. .3 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力5020MPa3040 minmax 1 2 3 2 31max 22402203022030 )()(MPa 2 .422 .52 22 .422 .52)( MPa 2 .47 MPa 2 .52 MPa 50 MPa 2 .42 解：解：5020MPa3040 主应力：主应力：最大切应力：最大切应力：( (a)

34、 )对对( (b) )：( (b) )( (c) )对对( (a) )：例例3 试求图示一点应力状态的主应力和最大切应力。试求图示一点应力状态的主应力和最大切应力。第七章第七章 应力与应变分析应力与应变分析7.5 平面应变状态分析平面应变状态分析一、应变状态的概念一、应变状态的概念二、平面应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法三、平面应变状态分析的图解法三、平面应变状态分析的图解法四、主应变四、主应变五、极值切应变五、极值切应变六、由一点的任意三个方向线应变求主应变六、由一点的任意三个方向线应变求主应变7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析一、平面应变的概念一、平面应变的概念一

35、点的应变状态一点的应变状态 平面应变状态平面应变状态实验应力分析方法：实验应力分析方法：平面内的应变状态平面内的应变状态( (1) ) 用电阻应变计测出构件表面某点几个方向的线应变用电阻应变计测出构件表面某点几个方向的线应变( (2) ) 对对该点进行应变状态分析该点进行应变状态分析( (3) ) 根据胡克定律求出该点的应力状态根据胡克定律求出该点的应力状态情况情况的的集合集合受力受力构件内一点构件内一点沿沿各个方向应变各个方向应变 构件内某点的应变仅发生在同一构件内某点的应变仅发生在同一( (注意：注意：这里是指这里是指平面应力状态所对应的平面应变状态平面应力状态所对应的平面应变状态) )7

36、. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析一、平面应变的概念一、平面应变的概念规定：规定： 正应变正应变( (线应变线应变) )：伸长为正，伸长为正，缩短为负缩短为负 切应变切应变( (角应变角应变) )：使直角增大为正，使直角增大为正，减小为负减小为负7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析分析内容：分析内容： 已知：已知：O点的点的 x、 y、 xy 求：求：O点的点的 x 、 y 、 x y 2. .图图解法解法分析方法：分析方法：规定：规定： 逆时针为正逆时针为正，顺时针为负。顺时针为负。 1. .解析法解析法xy dxdyOyx7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析二、平面

37、应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法应用叠加原理应用叠加原理1. .线应变线应变 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds cosddxsx )( sindyy sindxxy cossinsincos22xyyx 2sin22cos22xyyxyxx ssxdd) )( ( sinddsinddcosddsxsysxxyyx 7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析二、平面应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds

38、 yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 2sin22cos22xyyxyx yxyx y 90 x应用叠加原理应用叠加原理 2sin22cos22xyyxyxx 7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析二、平面应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法2. .切应变切应变 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3321 xsxsysxxyyxdcosddcosddsind )( 2cos122sin2 x

39、yyx x轴的转角轴的转角( (顺时针方向顺时针方向) )应用叠加原理应用叠加原理7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析二、平面应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3)( 2cos122sin2 xyyxx y )( 2cos122sin2 xyyxyxyx 2cos2sinxyyxyx )(2. .切应变切应变 y轴的转角轴的转角( (顺时针方向顺时针方向) )90 x应用叠加原理应用叠加原理xy轴夹角的增量轴夹角的

40、增量7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析二、平面应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3)( 2cos122sin2 xyyxx y )( 2cos122sin2 xyyx 2cos2sinxyyxyx )(2. .切应变切应变 y轴的转角轴的转角( (顺时针方向顺时针方向) )yxyx 90应用叠加原理应用叠加原理7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析二、平面应变状态分析的解析法二、平面应变状态分析的解析法 x

41、xy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3)( 2cos122sin2 xyyxx y )( 2cos122sin2 xyyx 2cos22sin22xyyxyx 2. .切应变切应变 y轴的转角轴的转角( (顺时针方向顺时针方向) )yxyx 90应用叠加原理应用叠加原理7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析即：即： 方向的方向的应变应变为为 截面截面上上的的应力应力为为 2cos2 2sin2 2 2sin22cos22 xyyxyxxyyxyxx 2cos2sin2

42、2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 可见：可见： 27. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析三、平面应变状态分析的图解法三、平面应变状态分析的图解法xyO11 选取平面直角坐标系选取平面直角坐标系2 O2 max2 xy2 xD1D2 xy2 yC maxA1B min1 0应变圆应变圆 xy xy x y7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析四、极值线应变四、极值线应变( (主应变主应变) )主应变主应变这两个垂直方向的线应变这两个垂直方向的线应变由应变圆可知：由应变圆可知：一点某两个垂直方向之间的夹角改变为零时一点某两个垂直方向之间的夹角改变为零时 一点的一点的极值

43、线应变极值线应变即为一点的即为一点的主应变主应变7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析四、极值线应变四、极值线应变( (主应变主应变) ) max max D2COAB22 xy2 xy2 min y x 011ABD1极值线应变的大小：极值线应变的大小：22minmax222 xyyxyx 222tan0yxxy 极值线应变的方向：极值线应变的方向：主应变的方向是相互垂直的主应变的方向是相互垂直的对于对于各向同性材料各向同性材料，主应变的方向与主应力的方向相同，主应变的方向与主应力的方向相同yxxy 7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析五、五、极值极值切应变切应变极值切应变的大

44、小：极值切应变的大小：极值切应变的方向：极值切应变的方向：222minmaxminmax )(minmaxminmax 与主应变方向成与主应变方向成452222 xyyx 22)()(xyyx max max D2COAB22 xy2 xy2 min y x 011ABD17. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析六、由任意三个方向线应变求主应变六、由任意三个方向线应变求主应变 方向的应变为方向的应变为即：即：一点的应变状态可由一点的应变状态可由 x、 y、 xy( (或或 max、 min、 0) ) 三个量三个量描述描述 2cos2 2sin2 2 22sin22cos22xyyxyxx

45、yyxyxx xy dxdyOyx7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析六、由任意三个方向线应变求主应变六、由任意三个方向线应变求主应变 在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个先确定出先确定出 x、 y、 xy ，再求出该点的主应变及其方向，再求出该点的主应变及其方向不同方向的线应变不同方向的线应变xy 3 1 2312112sin22cos221 xyyxyx 222sin22cos222 xyyxyx 332sin22cos223 xyyxyx 7. .5 平面应变状态分析平面应变状态分析六、由任意三个方向线应变求主应变六、由任意三个

46、方向线应变求主应变 在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个例如：例如：直角应变花直角应变花不同方向的线应变不同方向的线应变xy45450 x90 y459002 xy( ( 1 = 0 ， 2 = 45 ， 3 = 90 ) ) 2sin22cos22xyyxyx 第七章第七章 应力与应变分析应力与应变分析7. .6 广义胡克定律广义胡克定律一、广义胡克定律一、广义胡克定律二、二、E、 、G 之间的关系之间的关系三、体积应变三、体积应变7. .6 广义胡克定律广义胡克定律一、广义胡克定律一、广义胡克定律1. .单向应力状态单向应力状态或或 E

47、E G G E 2. .纯剪切应力状态纯剪切应力状态或或. . 7. .6 广义胡克定律广义胡克定律3. .复杂应力状态复杂应力状态( (1) )主应力情况主应力情况 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 11E E12 E13 E21 E22 E23 E31 E32 E33 1 EEE321 EEE3122 EEE2133 111 7. .6 广义胡克定律广义胡克定律3. .复杂应力状态复杂应力状态( (1) )主应力情况主应力情况 1 1 2 3 3 2)()()(213313223211111 EEE 1 EEE321 EEE3122 EEE2133 7. .6 广义胡克定律广

48、义胡克定律3. .复杂应力状态复杂应力状态( (1) )主应力情况主应力情况 1 1 2 3 3 2用主应力和主应变表示的用主应力和主应变表示的广义胡克定律广义胡克定律)()()(213313223211111 EEE7. .6 广义胡克定律广义胡克定律3. .复杂应力状态复杂应力状态( (2) )一般应力情况一般应力情况 xxy y z xz zx zyz xy yx yz 对于对于各向同性材料各向同性材料： 线应变只与正应力有关线应变只与正应力有关 切应变只与切应力有关切应变只与切应力有关广义胡克定律广义胡克定律 1)(zyxxE 1)(xzyyE 1)(yxzzE Gxyxy Gyzyz

49、 Gzxzx 7. .6 广义胡克定律广义胡克定律3. .复杂应力状态复杂应力状态 平面应力状态平面应力状态0 zxyzz 平面应变状态平面应变状态0 zxyzz xxy y z xz zx zyz xy yx yz( (3) )两种平面状态两种平面状态当当当当7. .6 广义胡克定律广义胡克定律3. .复杂应力状态复杂应力状态对于平面应力状态：对于平面应力状态： xxy x y y xy xy yx yx0 zxyzz GEEExyxyyxzxyyyxx )()()(11xyxyxyyyxxGEE )()(2211或或7. .6 广义胡克定律广义胡克定律二、二、E、 、G 之间的关系之间的关

50、系对于对于纯剪切应力状态纯剪切应力状态：一方面：一方面：xy Axy xy xy xy0 yx Gxyxy 0012sin22cos22 xyyxyx xyG 21 ( (a) )另一方面：另一方面：xy 102 xy 3)(32111 ExyE 1( (b) )由由( (a) )和和( (b) )： 12 )( EG45 1 1 1 3 37. .6 广义胡克定律广义胡克定律三、三、体积应变体积应变体积应变体积应变变形后：变形后： 1xy 2 3zdxdydzxxxddd1 xxd1d1)( yyd1d2)( zzd1d3)( zyxV ddd变形前：变形前：zyxVddd zyxddd111321)()( 单位体积的体积改变单位体积的体积改变V)()(321111 7. .6 广义胡克定律广义胡克定律略去高阶微量后略去高阶微量后VV 1321)( 体积应变体积应变321 VVV 三、三、体积应变体积