大物第14章(2)

1、北极光北极光14.7 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理一一. 光的衍射现象光的衍射现象衍射屏衍射屏观察屏观察屏光源光源剃须刀边缘衍射剃须刀边缘衍射 LL单缝衍射图样单缝衍射图样光源光源衍射屏衍射屏观察屏观察屏圆孔衍射图样圆孔衍射图样衍射的共性：衍射的共性： 光沿被限制的方向扩展光沿被限制的方向扩展 光强重新分配光强重新分配衍射衍射光在传播过程中绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象光在传播过程中绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象衍射现象是否明显取决于衍射现象是否明显取决于障碍物障碍物线度与波长的对比，波长线度与波长的对比，波长越大，越大，障碍物障碍物越小，衍射越明显。越小，衍射越明显。说明说明

2、二二. 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理 同一波前上的各点发出的都是相干次波。同一波前上的各点发出的都是相干次波。设面积为设面积为s 的波面的波面 Q ，初相为零初相为零,其其上上面面元元ds 在在P点引起的振动为点引起的振动为)2 cos()d(d)(rtrskEp 各次波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。各次波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。1. 原理内容原理内容2. 原理数学表达原理数学表达ssdnrP )2 cos()d()(d)(rtrskQFEpQ取决于波面上取决于波面上ds处的波强度处的波强度, ,)(QF为倾斜因子为倾斜因子. .)(kP 处波的强度处波的

3、强度2)(0 ppEI 1, 0maxkk)(cos)()(0pptEsrtrkQFEspd) 2cos()()()(0,2k)(k2说明说明(1) 对于一般衍射问题，用积分计算相当复杂，实际中常用对于一般衍射问题，用积分计算相当复杂，实际中常用半波带法和振幅矢量法分析。半波带法和振幅矢量法分析。(2) 惠更斯惠更斯菲涅耳原理在惠更斯原理的基础上给出了次菲涅耳原理在惠更斯原理的基础上给出了次波源在传播过程中的振幅变化及位相关系。波源在传播过程中的振幅变化及位相关系。01)(k( (远场衍射远场衍射) )2. 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射( (近场衍射近场衍射) )1. 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 三三.

4、 光的衍射分类光的衍射分类OP0PS无限远光源无限远光源无限远相遇无限远相遇S光源光源O , ,观察屏观察屏E (或二者之或二者之一一) 到衍射屏到衍射屏S 的距离为有的距离为有限的衍射，如限的衍射，如图图所示。所示。光源光源O , ,观察屏观察屏E 到衍射屏到衍射屏S 的距离均为无穷远的衍射，的距离均为无穷远的衍射，如如图图所示。所示。E( 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 )( 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 )fP0C*Of BA14.8 单缝的夫琅禾费衍射单缝的夫琅禾费衍射一一. 典型装置典型装置( 单缝夫琅禾费衍射典型装置单缝夫琅禾费衍射典型装置 )x sinaAC 的光程差的光程差PBA,( a 为

5、缝为缝 AB的宽度的宽度 )k sina21)(2k sina明纹条件明纹条件暗纹条件暗纹条件?二二. 菲涅耳菲涅耳半波带法半波带法1. 衍射暗纹、明纹条件衍射暗纹、明纹条件AB2sinma 为偶数为偶数:m2m结论结论1:)4(m叠加相消形成暗纹叠加相消形成暗纹为偶数，为偶数，mBA 半波带半波带半波带半波带 AB1122D|2|2sina|2|2|2|2sina，3 , 2 , 122sin kka暗纹条件暗纹条件为奇数：为奇数：m3m结论结论2 : 当当叠加相长形成明纹叠加相长形成明纹为奇数，为奇数，m sina|2 AB|2|2，3 , 2 , 1 2) 1 2(sin kka明纹条件

6、明纹条件m既非奇数，也非偶数，如既非奇数，也非偶数，如点的强度介于明纹与暗纹之间点的强度介于明纹与暗纹之间P结论结论3 : 2/5m结论结论4 : 中央明条纹中央明条纹0sina 0 0sin a(1) 得到的暗纹和中央明纹位置精确得到的暗纹和中央明纹位置精确, ,其它明纹位置只是近似其它明纹位置只是近似(2) 单缝衍射单缝衍射和双缝干涉条纹比较。和双缝干涉条纹比较。单缝衍射条纹单缝衍射条纹双缝干涉条纹双缝干涉条纹说明说明2. 单缝衍射的特征分析单缝衍射的特征分析相邻两暗纹中心对应的衍射角之差相邻两暗纹中心对应的衍射角之差（1）条纹的宽度）条纹的宽度 角宽度角宽度 衍射屏衍射屏透镜透镜观测屏观

7、测屏011x2xof0 x1x1x1中央明纹角宽度由中央明纹角宽度由1k暗纹的位置确定暗纹的位置确定ksina 1sin a11sina时时，衍射屏衍射屏透镜透镜观测屏观测屏011x2xof0 x1x1x1中央明纹的角宽度中央明纹的角宽度 a/2210根据暗纹方程，有根据暗纹方程，有第第 k 级明纹级明纹 (次极大次极大) 角宽度角宽度kaksin) 1(sin1kak)sinsin(1kka 次级明纹角宽度次级明纹角宽度kkk1akksinsin1021 线宽度线宽度 sinfftgxakfx 观察屏上相邻两暗纹中心的间距观察屏上相邻两暗纹中心的间距衍射屏衍射屏透镜透镜观测屏观测屏011x2

8、xof0 x1x1x1afxx2210kkxxx1中央明纹线宽度中央明纹线宽度次级明纹线宽度次级明纹线宽度af 20 x中央中央明纹角宽度和线宽度均为次级明纹的两倍。明纹角宽度和线宽度均为次级明纹的两倍。（2） 衍射反比率衍射反比率 当当 a 足够足够大时，大时，afx20波长越长，条纹宽度越宽，衍射越明显波长越长，条纹宽度越宽，衍射越明显几何光学是波动光学在几何光学是波动光学在单一的明条纹单一的明条纹0a0 x0/a缝宽越小，条纹宽度越宽，衍射越明显缝宽越小，条纹宽度越宽，衍射越明显退化为几何光学退化为几何光学时的极限情形时的极限情形（3） 单缝的斜入射对衍射条纹的影响单缝的斜入射对衍射条纹

9、的影响 sinsinaaAB asinasinNax 设每个窄带在设每个窄带在P P 点引起的振幅为点引起的振幅为ENx将缝将缝 AB AB 均分成均分成 N N 个窄带，每个窄带宽度为个窄带，每个窄带宽度为f P0CBA（4） 强度分布强度分布2sinx( N 很大很大 )相邻窄带相邻窄带在在 p 点引起振动的位相差为点引起振动的位相差为2NsinapE0E N 2sin2sin0NAA2sin/2sinNdEEPpuuEsin0NuudEPsinsin)(sinau 220sinuuII 单缝衍射光强分布公式单缝衍射光强分布公式由由)(sinau 可得可得(1) 主极大（中央明纹中心）位置

10、：主极大（中央明纹中心）位置：00u，1sinuumaxIIIo(2) 极小（暗纹）位置：极小（暗纹）位置：3 , 2 , 10sin0kkuuI，由由 sin kau ksina 或或kakNsin2得得暗纹暗纹公式公式(3) 次极大位置：次极大位置：uududItg0/ 超越方程超越方程讨论讨论220sinuuII3 , 2 , 1k 22u0yuytanuy ，47. 346. 243. 1 u解得解得 相应相应 ,47. 3 ,46. 2 ,43. 1sina2) 12(sinka与半波带法得到的明纹位置与半波带法得到的明纹位置是较好的近似是较好的近似0dduIuu tan从中央明纹向

11、两侧各次极大的光强依次为从中央明纹向两侧各次极大的光强依次为:结论：结论： I（次极大）（次极大） I （主极大），绝大部分光强都集中（主极大），绝大部分光强都集中 在零级衍射斑。在零级衍射斑。0000083.0,0165.0,0472.0III023 2 3 10.30.20.50.40.0.0470.017单缝夫琅禾费单缝夫琅禾费衍射光强曲线衍射光强曲线0.0470.017sin01.oII)( 2)sin()(uuIIo (4) 各级次明纹的光强比率各级次明纹的光强比率 220sinuuIIkka)sinsin(ak sinsin), 3 , 2 , 1(k对于暗纹有对于暗纹有则则如图所

12、示，设有一波长为如图所示，设有一波长为 的单色平面波沿着与缝平面的的单色平面波沿着与缝平面的法线成法线成 角的方向入射到宽为角的方向入射到宽为 a 的单缝的单缝 AB 上。上。解解 在狭缝两个边缘处，衍射角为在狭缝两个边缘处，衍射角为 的两光的光程差为的两光的光程差为)sinsin(a例：例：AB asinasin试写出各级暗条纹对应的衍射角试写出各级暗条纹对应的衍射角 所满足的条件。所满足的条件。四四. 光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领1. 圆孔的夫琅禾费衍射圆孔的夫琅禾费衍射孔径为孔径为D衍射屏衍射屏中央亮斑中央亮斑( (爱里斑爱里斑) )相对光强曲线相对光强曲线0Lf.)! 3(41

13、)! 2(31211 (232220uuuII 强度分布公式：强度分布公式：当当00u 中央明纹：中央明纹：0II )(sinau 孔径为孔径为D衍射屏衍射屏中央亮斑中央亮斑( (爱里斑爱里斑) )相对光强曲线相对光强曲线0Lf62.1 ,12.1 ,61.0u 对应圆孔衍射的暗纹位置对应圆孔衍射的暗纹位置:a62.1 ,a12.1 ,a61.0sin D22. 1a61. 00 0da2fL61. 0sina0 0a f2dtg0 a61. 0sin0 Df44.2af22.1d 圆孔半径越小，爱里斑越圆孔半径越小，爱里斑越大，衍射越明显。大，衍射越明显。2.爱里斑的半角宽度与直径爱里斑的半

14、角宽度与直径3.光学仪器光学仪器的分辩本领的分辩本领几何光学几何光学 物点物点波动光学波动光学物点物点一一对应像点像点一一对应像斑像斑*1s2sID瑞利判据瑞利判据: 两个等光强的非两个等光强的非相干物点相干物点,若其一若其一像像斑的中心恰好落斑的中心恰好落在另一在另一像像斑的边缘斑的边缘(第一暗纹处第一暗纹处),则两则两物点被认为是恰能物点被认为是恰能被分辩。被分辩。此时两像此时两像斑中心角距离为最斑中心角距离为最小分辨角。小分辨角。 可分辨可分辨 不可分辨不可分辨刚可分辨刚可分辨 1S2S 最小分辨角最小分辨角 D22.10 光学仪器分辨本领光学仪器分辨本领22.1D1R RD RD Mi

15、croscope ：RTelescope ：提高仪器分辨本领的基本方法提高仪器分辨本领的基本方法例例 ：对于可见光，平均波长为对于可见光，平均波长为nm550直径为直径为 5.0 cm5.0 cm 的普通望远镜和直径为的普通望远镜和直径为 6.0 m6.0 m 的反射式望远的反射式望远镜的分辨本领。镜的分辨本领。，试比较物镜，试比较物镜解：解： D22.1005022111.0622122.rad.51031rad.7101112012112DD天文望远镜的分辨本领是普通望远镜的天文望远镜的分辨本领是普通望远镜的120倍。倍。12012RRD22. 1 眼睛的最小分辨角为眼睛的最小分辨角为cm

16、 120d设人离车的距离为设人离车的距离为 S 时，恰能分辨这两盏灯。时，恰能分辨这两盏灯。931055022. 120. 1100 . 522. 1DddSm 1094. 83Sd取取在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间人眼瞳，设夜间人眼瞳孔直径为孔直径为5.0 mm ，入射光波为，入射光波为 550 nm。例例人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？求求解解d =120 cmS由题意有由题意有mm 0 . 5Dnm 550 观察者观察者问题：问题：在通常亮度下，人眼的瞳孔直径为在通常亮度下，人

17、眼的瞳孔直径为 3 mm3 mm，问问 R =?R =? 如果在黑板上划两条细线，间距为如果在黑板上划两条细线，间距为2 mm2 mm，你能在多远处分辨，你能在多远处分辨它们？它们？解解D22. 1 rad41024. 2nm550)/1 (1046. 4/13radR设两细线的间距为设两细线的间距为S ，你与细线相距为，你与细线相距为L，两线对眼睛的，两线对眼睛的的张角为的张角为 ，则有，则有SLLS m9 .8 一一. 衍射光栅衍射光栅1. 光栅光栅反射光栅反射光栅透射光栅透射光栅透光宽度透光宽度不透光宽度不透光宽度2 . 光栅常数光栅常数d badab 大量等宽等间距的平行狭缝大量等宽等

18、间距的平行狭缝( (或反射面或反射面) )构成的光学元件构成的光学元件光栅宽度为光栅宽度为 l ，每毫米缝数每毫米缝数为为 m ，则，则总缝数总缝数lmN14.9 衍射光栅及光栅光谱衍射光栅及光栅光谱1 N20 N6 N5 N3 N2 N几种缝的光栅衍射几种缝的光栅衍射3.实验结果实验结果 光栅衍射的主要特征：光栅衍射的主要特征：缝数增加缝数增加明纹变细，明纹强度增加明纹变细，明纹强度增加缝数增加缝数增加明纹间的暗区扩大明纹间的暗区扩大强度分布曲线保留单缝衍射的痕迹，即曲线的包络与单缝强度分布曲线保留单缝衍射的痕迹，即曲线的包络与单缝衍射强度曲线形状相同衍射强度曲线形状相同光栅衍射光栅衍射是是

19、单缝衍射单缝衍射和和多多缝干缝干涉涉的综合结果。的综合结果。以二缝光栅为例以二缝光栅为例x2sdP1soaad3fx结论结论：1 01k10II2 2只考虑单缝衍射强度分布只考虑单缝衍射强度分布只考虑双缝干涉强度分布只考虑双缝干涉强度分布双缝光栅强度分布双缝光栅强度分布1 01k10II303k660II1二二. 光栅公式光栅公式1. 明纹条件明纹条件k 称为称为主极大级数主极大级数 sindPba Lfo讨论讨论光栅方程光栅方程 kba sin)(,2, 1 ,0k(1)baksin Nk N明纹间距增大明纹间距增大(2)一定时，一定时，当当, k一定时，一定时，当当Nk,光栅具有色散作用。

20、光栅具有色散作用。bakmax(3) 最大级数最大级数 Nmbasin)(), 12,2, 12, 1, 1,2, 1(NNNNNNm2 mN1A5A4A3A2A2. 暗纹条件暗纹条件各缝光振幅矢量各缝光振幅矢量: :NAAAA ., , ,321相邻矢量相位差相邻矢量相位差: : sin)(2 ba如果如果mbaNsin)()12 , 12 , 1, 1, 2 , 1(NNNNm), 3 ,2, 1(kkNm-6-5-4-3-2-10+1+2+3+4+5 +6I/I k多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光强大小不同，在单缝衍射光

21、强极小处的强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大主极大缺级。缺级。缺级条件缺级条件aba26, 4, 2k如如缺级缺级缺级缺级3. 缺级缺级abakk, 3 , 2 , 1 kkasinkbasin)(问题问题：如果如果aba3)(kabasin3sin)(3k当当aba3)(29, 6, 3ksina) 1(sin1kNNdkN) 1(sin1kNNdkN2)(cos111kNkNkNNd cos2kNd明设光栅常数为设光栅常数为 d ，总缝数为，总缝数为 N 的光栅的光栅, ,当入射光波长当入射光波长为为 时，分析其时，分析其夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射主主极大条纹角宽度与极大条纹角宽度与

22、N 的关系。的关系。mbaNsin)(, 1, 1, 2 , 1NNm第第 k 级主极大相邻的两暗纹有级主极大相邻的两暗纹有2)sinsin(11kNkNNdN 越大，主极大角宽越大，主极大角宽度越小，条纹越细。度越小，条纹越细。例例:解解 暗纹位置满足条件暗纹位置满足条件1 kNm1 kNm第第 k 级主极大角宽度级主极大角宽度11kNkNk三三.光栅衍射的强度公式光栅衍射的强度公式设各单缝在设各单缝在P则则点点( 对应衍射角对应衍射角)的光振动振幅的光振动振幅为为EuuEEmsin单)sin (au 0dENEm单2sin2sin0NAA2sin2sinNEEpsinsinsinNuuEm

23、单sin 2d22sinsinsinNuuIImp单单缝衍射因子单缝衍射因子缝间干涉因子缝间干涉因子 在同一单缝衍射因子调制在同一单缝衍射因子调制下的下的 N 个缝的干涉条纹个缝的干涉条纹光栅衍射的强度公式光栅衍射的强度公式五五. 斜入射的光栅方程斜入射的光栅方程主极大条件主极大条件k = 0, 1, 2, 3NAB asinsinapsin)ba(sin)ba( k)sin)(sinba(k 衍射条纹分布不对称衍射条纹分布不对称例例: : 已知单色光垂直入射到光栅上，已知单色光垂直入射到光栅上，oA5461a2b 试求：能观测到的总条纹数？试求：能观测到的总条纹数？cm/3000N 解：解：

24、 3000/1N1ba 61 . 6maxbak由于存在缺级由于存在缺级a2b aba3故可观测故可观测9条主极大明纹条主极大明纹3, 2, 1 k6, 3 k时缺级，时缺级，3kkabak例例设有设有4 4个无线电发射天线个无线电发射天线强度在空间的分布。强度在空间的分布。等距离排列在一直线上，组成一天线等距离排列在一直线上，组成一天线距离恰等于无线距离恰等于无线阵列，相邻天线间的阵列，相邻天线间的电波的电波的半波长半波长，求，求4 4束波干涉产生的束波干涉产生的解：解：根据光栅衍射的明纹条件根据光栅衍射的明纹条件22ksind sin2 故故 k 只能取零只能取零0sin2 ,0 即主极大

25、的方向角为即主极大的方向角为根据暗纹条件，可知干涉极小的光程差为根据暗纹条件，可知干涉极小的光程差为Nmsind 4msin2 2msin 1m2/2m 6/56/ 可见，此天线阵列的发射具可见，此天线阵列的发射具有较强方向性，在与阵列垂直有较强方向性，在与阵列垂直方向上强度最大，其他方向上方向上强度最大，其他方向上相对很弱。相对很弱。4msin2 第二级主极大也发生缺级，不符题意，舍去。第二级主极大也发生缺级，不符题意，舍去。每毫米均匀刻有每毫米均匀刻有100条线的光栅，宽度为条线的光栅，宽度为D =10 mm，当波，当波长为长为500 nm的平行光垂直入射时，第四级主极大谱线刚好的平行光垂

26、直入射时，第四级主极大谱线刚好消失，第二级主极大的光强不为消失，第二级主极大的光强不为 0 。(1) 光栅狭缝可能的宽度；光栅狭缝可能的宽度； (2) 第二级主极大的半角宽度。第二级主极大的半角宽度。例例(1) 光栅常数光栅常数 第四级主极大缺级，故有第四级主极大缺级，故有abak441 kmm 10110012ba求求解解时时1 kmm 105 . 24101432baa2 k时时3 kmm 105 . 7341013432baa时时(2) 光栅总的狭缝数光栅总的狭缝数 32101010baDN设第二级主极大的衍射角为设第二级主极大的衍射角为 2N ，与该主极大相邻的暗纹，与该主极大相邻的暗

27、纹( 第第2N +1 级或第级或第2N - - 1 级级 ) 衍射角为衍射角为 2N + +1 ，由光栅方程，由光栅方程及暗纹公式有及暗纹公式有NbaNN2sin)(2) 12(sin)(12NbaNN代入数据后，得代入数据后，得739. 52N742. 512N第二级主极大的半角宽度第二级主极大的半角宽度003. 0212NN符合题意的缝宽有两个，分别是符合题意的缝宽有两个，分别是2.510-3 mm 和和7.510-3 mm五五. 光栅光谱及分辨本领光栅光谱及分辨本领1. 光栅光谱光栅光谱0级级1级级2级级-2级级-1级级3级级-3级级白光的光栅光谱白光的光栅光谱2. 光栅的色分辨本领光栅

28、的色分辨本领设有相差很小的两个波长设有相差很小的两个波长 和和 +，则则色谱仪的色分辨率色谱仪的色分辨率R 将不同波长的光在谱线上将不同波长的光在谱线上分开分开的能力的能力k 设入射波长为设入射波长为和和，二者的谱线能否分开由瑞利判据，二者的谱线能否分开由瑞利判据确定确定 ， 当当级主极大正好与级主极大正好与 的第的第 的第的第1kN k 级的极小相重合时，根据光栅公式和暗纹条件，可知级的极小相重合时，根据光栅公式和暗纹条件，可知)(ksind N1kNN ksind )N1k()(k NkkNR( 光栅的色分辨本领光栅的色分辨本领 )例例: 已知双线的已知双线的黄光垂直照射黄光垂直照射nm1

29、05 . 34d800N nm6 .5892nm0 .5891的光栅上，的光栅上，（1 1）求两波长第三级谱线衍射角之差）求两波长第三级谱线衍射角之差3 . 13 . 23（2 2）哪级谱线后双线可分辨开）哪级谱线后双线可分辨开? ?98265890kNR由光栅的色分辨本领由光栅的色分辨本领解解 （1）13 . 13sind 23 . 23sind 3 . 13 . 23adr100 . 64（2）80029828001R 1级谱线后双线可分辨开级谱线后双线可分辨开X-ray 波长很短的电磁波波长很短的电磁波用普通光栅观测不到用普通光栅观测不到 X 射线衍射效应射线衍射效应02A1010: )ba(1912年，德国物理学家劳厄（年，德国物理学家劳厄（M. Vonlaue）提出：）提出：天然晶体