材料力学第九节

1、材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9-2 两端铰支细长杆的临界压力两端铰支细长杆的临界压力9-3 其他支座条件下细长杆的其他支座条件下细长杆的临界压力临界压力9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式9-5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核9-6 提高压杆稳定的措施提高压杆稳定的措施9-7 纵横弯曲的概念纵横弯曲的概念材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例：一长为例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20m

2、m 1mm 。钢的许用应力为。钢的许用应力为 =196MPa。按强度条件计。按强度条件计算得算得钢板尺所能承受的轴向压力为钢板尺所能承受的轴向压力为P = A = 3.92 KN实际上，当压力不到实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与而是与 受压时变弯受压时变弯 有关。有关。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定一、稳定平衡与不稳定平衡的概念一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 当当 F小于某一临界值小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆，撤去横向力后，杆的轴线将

3、恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是线形态下的平衡是稳定平衡稳定平衡。 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定FF(a)QcrFFcrFF(b)当当 F增大到一定的临界值增大到一定的临界值Fcr，撤去横向力后，杆的，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的压杆在原来直线形态下的平衡是平衡是 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 第九章第九章

4、 压杆稳定压杆稳定两端球形绞支，长为两端球形绞支，长为 L的的等截面等截面细长细长 中心受压直杆。中心受压直杆。9-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定vcrFx2llxABcrF( )crM xyFmmyByx材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定压杆任一压杆任一 x 截面沿截面沿 y 方向的方向的位移为位移为 y = f (x)该截面的弯矩为该截面的弯矩为( )crM xyF杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为( )crEIyM xyF crF()crMxyFmmyByx材料力学材料力学 第九章第九章

5、压杆稳定压杆稳定其中其中 I 为压杆横截面的为压杆横截面的最小形心主惯性矩。最小形心主惯性矩。令令则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方程02yykPcryPxMcr)(mmyByx2kEIFcr yFxMEIycr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定其通解为其通解为kxBkxAycossinA，B，k 三个待定常数由该挠三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。曲线的三个边界条件确定。02yky2kEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定边界条件：边界条件：ox 0y2lx y得得B=02sinklAkxBkxAycossin材料力学材料力学 第九章

6、第九章 压杆稳定压杆稳定B=0 ，2sinklAlx 0y2cos2sin2sin0klklklkxBkxAycossin边界条件：边界条件：材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2220klklklcossinsin 要想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下平衡只有平衡只有02coskl)5 ,3 , 1(22nnkl2cos2sin2sin0klklkl要想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下平衡只有平衡只有材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定其最小解为其最小解为 n = 1 的解的解crk llEIF2crEIFk)5 ,3 , 1(22nnkl材料力学材料力学 第

7、九章第九章 压杆稳定压杆稳定即得即得这就是两端绞支等截面细长中心这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）（欧拉公式）lEIFlkcr22lEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定1两端绞支两端绞支2一端固定另端绞支一端固定另端绞支C为拐点为拐点 l ABcrPCl7 . 09-3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力22lEIFcr227 . 0 lEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 l ABcrP3两端固定两端固定C，D为为拐点拐

8、点CD2l225 . 0 lEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定4一端固定另端自由一端固定另端自由crPll 222lEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定表表7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 两端绞支两端绞支一端固定另绞支端一端固定另绞支端两端固定两端固定220 5( .)crEIFl220 7(.)crE IFl一端固定另端自由一端固定另端自由222()crE IFl22crE IFl支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度系数长度系数 = 1 = 0.7 = 0

9、.5 = 2材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定欧拉公式欧拉公式 的统一形的统一形式式为压杆的长度系数为压杆的长度系数; l 为相当长度。为相当长度。讨论：讨论：（1）相当长度）相当长度 l 的物理意义的物理意义1压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当相当长度长度 l 。2 l是各种支承条件下，细长压杆是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中失稳时，挠曲线中相当于相当于半波正半波正弦弦曲线的一段曲线的一段长度长度22lEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 为长度系数为长度系数 l 为相当长度为相当长度（2

10、）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。应取最小的形心主惯性矩。22lEIFcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对为其相应的对中性轴的惯性矩。中性轴的惯性矩。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-3-1： 图示各杆材料和截面均相同，试问

11、哪一根杆能承受图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，的压力最大， 哪一根的最小？哪一根的最小？al2)(1al3 . 1)(2aal12. 16 . 17 . 0)(3aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a 321 lll因为因为又又22lEIPcr可知可知321crcrcrPPP（1）杆承受的压力最小，最先失稳；）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。）杆承受的压力最大，最稳定。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定F aAB a2c aalAB5 . 05 . 0解解： aalBC35. 05 . 07 . 022220 50 35(

12、.).ABBCcrcrEIEIFFaa故取故取220 5.crEIFa例例9-3-2：已知：图示压杆已知：图示压杆EI,且杆在且杆在B支承处不能转动支承处不能转动 求：临界压力求：临界压力材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-3-3：由由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支， z = 1，长长度为度为 l1 。在。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.6 ，长度为，长度为 l2 。求

13、。求 Fcr。zy22126624材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定zy22126624解：解：在在xy平面内失稳时，平面内失稳时，z为中性轴为中性轴）（）（23315622262212122412121zI21221211 lEIlEIzzzcrF材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定在在xz平面内失稳时，平面内失稳时，y为中性轴为中性轴zy221266243322612121224121yI2226 . 0 lEIFycr21,mincrcrcrFFF 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定一、欧拉公式的应用范围一、欧拉公式的应用范围(1) 压杆的临界应力

14、公式压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）（临界应力欧拉公式）压杆受临界力压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。计算。9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 经验公式经验公式材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为压杆横截面上的应力为为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径2222/ilEAlEIAFcrcrAIi 材料力学材料力学

15、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。临界应力的影响。il2222/ilEAlEIAFcrcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 越大，相应的越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。若若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算，并按较大者计算压杆的临界应力压杆的临界应力 cr

16、 。22EcrcrcrAF材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(2) 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围只有在只有在 cr P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的计算压杆的临界力临界力 Fcr（临界应力（临界应力 cr ）。）。PcrE22或或12ppEE材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 当当 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。欧拉公式。 当当 1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。 用经验公式用经验公式A 3 钢钢 ( = 0123 )16 锰锰

17、钢钢 ( = 0102 )200666. 0235cr20142. 0343cr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定右图称为欧拉临界右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。，虚线部分无意义。 1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可钢，可取取 E=206MPa， p=200MPa，得，得右图称为欧拉临界右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。，虚线部分无意义。1001pE 1

18、 的大小取决于压杆的力的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于学性能。例如，对于Q235钢，可取钢，可取 E=206MPa， P=200MPa，得，得右图称为欧拉临界应力曲右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部适用范围的曲线，虚线部分无意义。分无意义。22Ecr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定二、压杆的临界应力总图二、压杆的临界应力总图1Pscr)(il o22Ecr经验公式经验公式材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：424126411dddAIidldlil111124/5 . 0例例

19、9-4-1 截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。同，求两杆的长度之比及临界力之比。 圆形截面杆：圆形截面杆：材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定ddll21322所以所以321ll正方形截面杆：正方形截面杆：由由 1 = 2 得得12241212dddAIidldlil22223212/1材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定ldEldEEcr12422222212122112132

20、1llEE21dl 211dl 32221222222222212CrcrldEE4412221221111ddAAAAppcrcrcrcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定Fcr 压杆的临界压力压杆的临界压力nw 压杆的稳定安全系数压杆的稳定安全系数压杆稳定条件：压杆稳定条件：9-5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核F工作压力工作压力wcrnFF wcrnFFn材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定stcrstn ：稳定系数：稳定系数,主要与柔度主要与柔度有关有关 压杆的强度条件压杆的强度条件 (强度许用应力强度许用应力) 压杆的稳定性条件压杆的稳定性条件 (稳定许用应力

21、稳定许用应力) st 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-5-1 两端铰支中心受压直杆，材料两端铰支中心受压直杆，材料 、截面形、截面形状状 、求：、求：4410306mmIz4410235mmIy解：解： 1 . 计算截面的惯性半径计算截面的惯性半径 i (取最小取最小) 查表算得组合截面对其形心主轴查表算得组合截面对其形心主轴 y、 z的的惯性矩惯性矩 st材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 MPa8 .97st 3. 计算稳定许用应力计算稳定许用应力st 根据根据=97，查表得，查表得=0.575，代，代 入公式可得压杆的稳定许用应力为入公式可得压杆的稳

22、定许用应力为zyII mm9 .30AIiiyymin zyii 且为等截面，且为等截面， 故故 2 . 计算杆件柔度计算杆件柔度 (取最大取最大) 97ilminmax 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-5-2 一连杆尺寸如图，材料为一连杆尺寸如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力钢，承受的轴向压力为为 P=120KN，取稳定安全系数，取稳定安全系数 nw =2，校核连杆的稳定性。，校核连杆的稳定性。在在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。在在 xz 面内失稳近似两端固定，长度面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。z

23、yxb=25h=60材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定在在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，面内失稳连杆两端为绞支，长度长度 l =940 。zyxb=25h=60解：解：(1) 求柔度求柔度 cmhbhAbhIizz732. 1321233 .54732. 1941izzlil 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定在在 xz 面内失稳近似两端固定，面内失稳近似两端固定，长度长度 l 1=880 。zyxb=25h=60il cmbbhAhbIiyy722.0321233 .5461722. 0885 . 0zyyil杆在杆在 xz 面内先失稳，应用面内先失稳，应用 y

24、 计算临界力。计算临界力。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定zyxb=25h=60（2）求临界力，作稳定校核）求临界力，作稳定校核因为因为 y = 61 123，用经验公式计算，用经验公式计算MPacr21000666. 02352压杆是稳定的压杆是稳定的kNAFcrcr315wcrnFFn63. 2120315材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定zyxb=25h=60（3）如果要求连杆在两平面内）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等失稳时的临界力相等crcrAP22EcrAlIzxy1AIlyxz15.0llIIyz2124ll1IIyz4材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-5-3 两端绞支压杆，材料为两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环，钢，截面为圆环，P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数，稳定安全系数nw=2.5，计算钢管壁厚，计算钢管壁厚t 。PPlrt材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定PPlrt解：按薄壁管考虑解：按薄壁管考虑trA2tIr3mmrtrtir4 .4222312359 il用经验